ความซับซ้อนของคุณสมบัติทอพอโลยี

ฉันเป็นนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่เรียนวิชาทอพอโลยี (โทโพโลยีของการตั้งค่าจุดที่ปรุงแต่งอย่างหนักด้วยทฤษฎีความต่อเนื่อง) ฉันมีความสนใจในปัญหาการตัดสินใจทดสอบคำอธิบายของพื้นที่ (โดยง่าย) สำหรับคุณสมบัติทอพอโลยี; ที่เก็บรักษาไว้ถึง homeomorphism

มันเป็นที่รู้จักตัวอย่างเช่นการกำหนดสกุลของปมอยู่ใน PSPACE และเป็น NP-Hard (Agol 2006; Hass, Lagarias, Pippenger 1999)

ผลงานอื่น ๆ ที่มีมากขึ้นในความรู้สึกทั่วไปมากขึ้น: AA มาร์คอฟ (ลูกชายของมาร์คอฟ) แสดงให้เห็นว่าในปี 1958 การทดสอบสองช่องว่างสำหรับ homeomorphism ในมิติ5$5$หรือสูงกว่าเป็นที่ตัดสินไม่ได้ (โดยการแสดง undecidability สำหรับ 4 manifolds) น่าเสียดายที่ตัวอย่างสุดท้ายนี้ไม่ใช่แบบอย่างที่สมบูรณ์แบบสำหรับคำถามของฉันเนื่องจากมันเกี่ยวข้องกับปัญหาโฮมมอร์ฟีเองมากกว่าคุณสมบัติที่เก็บรักษาไว้ภายใต้โฮมมอร์ฟิซึม

ดูเหมือนจะมีงานจำนวนมากใน "ทอพอโลยีมิติต่ำ": ทฤษฎีปมและกราฟ ฉันสนใจผลการค้นหาจากโทโพโลยีมิติต่ำ แต่ฉันสนใจผลการค้นหาทั่วไปมากกว่า (สิ่งเหล่านี้ดูเหมือนจะหายาก)

ฉันสนใจปัญหามากที่สุดซึ่งเป็นปัญหา NP-Hard โดยเฉลี่ย แต่รู้สึกว่าควรระบุปัญหาที่ไม่เป็นที่รู้จัก

ผลลัพธ์ใดบ้างที่ทราบเกี่ยวกับความซับซ้อนในการคำนวณของคุณสมบัติทอพอโลยี?

โทโพโลยีการคำนวณครอบคลุมร่างกายของการวิจัยขนาดใหญ่ การสรุปที่สมบูรณ์ของผลลัพธ์ความซับซ้อนทุกอย่างเป็นไปไม่ได้ แต่เพื่อให้คุณได้ลิ้มรสเล็ก ๆ ขอผมขยายตัวอย่างของคุณ

ในปี 1911 Max Dehn โพสต์ปัญหาคำสำหรับกลุ่มที่นำเสนออย่างประณีต : รับสายอักขระตัวสร้างมันเป็นตัวแทนองค์ประกอบตัวตน? หนึ่งปีต่อมา Dehn อธิบายอัลกอริทึมสำหรับปัญหาคำในกลุ่มพื้นฐานของพื้นผิวที่ปรับทิศทางได้ เท่ากัน Dehn อธิบายวิธีการตัดสินใจว่ารอบที่กำหนดบนพื้นผิว orientable ให้เป็นสัญญา ดำเนินการอย่างถูกDehn ของขั้นตอนวิธีการทำงานในเวลา ในกระดาษ 1912 เดียวกัน Dehn ให้ความเห็นว่า "การแก้ปัญหาคำศัพท์สำหรับทุกกลุ่มอาจเป็นไปไม่ได้เช่นเดียวกับการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด"$O(n)$

ในปี 1950 ทัวริงพิสูจน์ว่าปัญหาคำศัพท์ในเซกเมนต์ที่นำเสนออย่างละเอียดนั้นไม่สามารถตัดสินใจได้โดยการลดปัญหาการหยุดชะงัก (แปลกใจประหลาดใจ)

การสร้างผลงานของทัวริงมาร์คอฟพิสูจน์ในปี 2494 ว่าทรัพย์สินที่ไม่มีการนำเสนอของกลุ่มเซกเมนต์ที่นำเสนออย่างไร้ขีด จำกัด นั้นไม่สามารถตัดสินใจได้ คุณสมบัติของกลุ่มนั้นเป็นเรื่องไม่สำคัญหากบางกลุ่มมีคุณสมบัติและบางกลุ่มไม่มี นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎีรู้ว่าผลลัพธ์ที่คล้ายกันเกี่ยวกับฟังก์ชั่นบางส่วนเป็น "ทฤษฎีบทของข้าว"

ในปี 1952 Novikov พิสูจน์ให้เห็นว่าปัญหาคำในขอบเขตการนำเสนอกลุ่มคือ undecidable จึงพิสูจน์ว่าสัญชาตญาณของ Dehn ถูกต้อง ผลลัพธ์เดียวกันนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Boone ในปี 1954 และ Britton ในปี 1958

ในปี 1955 Adyan พิสูจน์ให้เห็นแล้วว่าทรัพย์สินที่ไม่น่าไว้วางใจของกลุ่มที่มีการนำเสนออย่างสมบูรณ์นั้นไม่สามารถจำแนกได้ ผลเดียวกันได้พิสูจน์อิสระโดยราบินในปี 1956 (ใช่ว่าราบิน.)

ในที่สุดในปี 1958 มาร์คอฟอธิบายอัลกอริทึมในการสร้างคอมเพล็กซ์เซลล์ 2 มิติและแมนิโฟลด์ 4 มิติกับกลุ่มพื้นฐานที่ต้องการได้รับการนำเสนอกลุ่มเป็นอินพุต ผลลัพธ์นี้บอกเป็นนัย ๆ ว่าปัญหาทอพอโลยีจำนวนมากไม่สามารถตัดสินใจได้รวมถึงสิ่งต่อไปนี้:

• วัฏจักรที่ได้รับในคอมเพล็กซ์ 2 มิติที่กำหนดนั้นสามารถหดได้ (นี่คือปัญหาคำ)
• 2-complex ที่ให้มานั้นเชื่อมต่อกันหรือไม่? ("กลุ่มนี้มีความสำคัญหรือไม่")
• เป็นรอบที่กำหนดใน 4-manifold ที่กำหนดหรือไม่?
• 4-manifold ที่กำหนดเป็นสัญญาหรือไม่?
• เป็น homeomorphic 4-manifold ให้กับ 4-manifold เฉพาะ (สร้างโดย Markov)?
• เป็น homeomorphic 5-manifold ให้กับทรงกลม 5 (หรืออื่น ๆ คงที่ 5-manifold ที่คุณเลือก)?
• มี 6 คอมเพล็กซ์หรือเปล่า?

$G$$G$$\pi_1(S^3)$$G$$G$

Ryan Budney ได้เริ่มการสนทนาที่คล้ายคลึงกันที่ MathOverFlow:

https://mathoverflow.net/questions/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

https://mathoverflow.net/questions/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

และที่ Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology