แก้ไขระยะห่างระหว่างสองพาร์ติชัน

ฉันมีสองส่วนคือ$[1 \ldots n]$และฉันกำลังมองหาระยะทางแก้ไขระหว่างพวกเขา

โดยสิ่งนี้ฉันต้องการค้นหาจำนวนการเปลี่ยนผ่านครั้งเดียวของโหนดเป็นกลุ่มที่แตกต่างกันซึ่งจำเป็นต้องเปลี่ยนจากพาร์ติชัน A ไปยังพาร์ติชัน B

ตัวอย่างเช่นระยะทางจาก{0 1} {2 3} {4}เป็น{0} {1} {2 3 4}สอง

หลังจากค้นหาฉันพบบทความนี้แต่) ฉันไม่แน่ใจว่าพวกเขากำลังพิจารณาลำดับของกลุ่ม (สิ่งที่ฉันไม่สนใจ) ในระยะทางของพวกเขา b) ฉันไม่แน่ใจว่ามันทำงานอย่างไรและ c) ไม่มีการอ้างอิง

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชม

ปัญหานี้สามารถเปลี่ยนเป็นปัญหาการมอบหมายซึ่งเป็นที่รู้จักกันว่าปัญหาการจับคู่สองฝ่ายที่มีน้ำหนักสูงสุด

โปรดทราบว่าระยะทางแก้ไขเท่ากับจำนวนองค์ประกอบที่ต้องเปลี่ยนจากชุดหนึ่งไปอีกชุดหนึ่ง นี่เท่ากับจำนวนองค์ประกอบทั้งหมดลบด้วยจำนวนองค์ประกอบที่ไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลง ดังนั้นการค้นหาจำนวนขั้นต่ำขององค์ประกอบที่ไม่เปลี่ยนแปลงนั้นเทียบเท่ากับการหาจำนวนสูงสุดของจุดยอดที่ไม่เปลี่ยนแปลง

ให้= { 1 , 2 , . . , k }และB = { B 1 , บี2 , . . , B L }เป็นพาร์ติชัน[ 1 , 2 , . . , n ] นอกจากนี้หากไม่มีการสูญเสียความสามารถทั่วไปให้k ≥ l (อนุญาตเพราะe d i t$A = \{ A_1, A_2, ..., A_k \}$$B = \{ B_1, B_2, ..., B_l \}$$[1, 2, ..., n]$$k \ge l$ ) จากนั้นให้ B l + 1 , B l + 2 , ... , B kทั้งหมดเป็นเซตว่าง ดังนั้นจำนวนสูงสุดของจุดยอดที่ไม่เปลี่ยนแปลงคือ:$edit(A, B) = edit(B, A)$$B_{l+1}$$B_{l+2}$$B_k$

$\max_f \sum_{i=1}^k |A_i \cap B_{f(i)} |$

ที่คือการเปลี่ยนแปลงของk][ 1 , 2 , . . , k $f$$[1, 2, ..., k]$

นี่เป็นปัญหาการกำหนดที่จุดยอดคือ , ... , , , ... ,และขอบคือคู่มีน้ำหนัก. นี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาA k B 1 B $A_1$$A_k$$B_1$$B_k$| A i ∩ B j | O ( | V | 2บันทึก| V | + | V | | E |$(A_i, B_j)$$|A_i \cap B_j|$$O(|V|^2 \log |V| + |V||E|)$

ดู PDF ของเอกสารนี้

http://www.ploscompbiol.org/article/info:doi/10.1371/journal.pcbi.0030160

ความหมายของระยะทางในการแก้ไขคือสิ่งที่คุณต้องการฉันคิด พาร์ติชั่น 'การอ้างอิง' จะเป็นหนึ่งในสองพาร์ติชั่นของคุณโดยพลการอื่นจะเป็นพาร์ติชั่นอื่น นอกจากนี้ยังมีการอ้างอิงที่เกี่ยวข้อง

สุดยอดร็อบ

ความคิดตอนเช้าวันอาทิตย์ที่บ้าๆบอ ๆ ที่อาจจะใช่หรือไม่ถูกต้อง:

Wlog ให้เป็นพาร์ติชั่นที่มีเซตมากกว่านี้อีกอัน ก่อนอื่นให้กำหนดชื่อที่แตกต่างกันเป็นคู่ให้กับชุดคุณ จากนั้นค้นหาการตั้งชื่อที่ดีที่สุดสำหรับชุดตามกฎต่อไปนี้:P 2 n 1 ( S ) ∈ Σ P 1 n 2 ( S ) P $P_1$$P_2$$n_1(S) \in \Sigma$$P_1$$n_2(S)$$P_2$

• S ∈ P 2 S ∩ S ′ S ′ ∈ P $n_2(S) := n_1(S')$สำหรับมีในบรรดา ; เลือกหนึ่งรายการที่สร้างความขัดแย้งน้อยที่สุดหากมีทางเลือกหลายทาง$S \in P_2$$S \cap S'$$S' \in P_1$
• หากตอนนี้สำหรับบางตัวให้กำหนดองค์ประกอบที่ใช้องค์ประกอบน้อยลงด้วยชื่อของชุดจะแชร์องค์ประกอบที่สองมากที่สุดด้วยเช่นให้แข่งขันกับชื่อของชุดนั้นS ≠ S ′ S ″ , n 1 ( S ″ ) = n 2 ( S ) P $n_2(S) = n_2(S')$$S \neq S'$$S'', n_1(S'') = n_2(S)$$P_1$
• หากไม่สามารถใช้กฎเดิมได้ให้ตรวจสอบทั้งสองชุดว่าพวกเขาสามารถแข่งขันเพื่อดูชื่อชุดอื่น ๆ ที่พวกเขาแบ่งปันองค์ประกอบน้อยลงได้ด้วย (พวกเขาอาจยังมีองค์ประกอบเพิ่มเติมจากชุดมากกว่าชุดที่ได้รับมอบหมาย ชื่อ!). หากเป็นเช่นนั้นให้กำหนดชื่อนั้นให้กับหนึ่งในที่แบ่งปันองค์ประกอบเพิ่มเติมกับชุดที่เกี่ยวข้องซึ่งพวกเขาสามารถแข่งขันได้ อีกชื่อหนึ่งเก็บชื่อที่ขัดแย้งกันไว้ก่อนหน้านี้ S , S $S'' \in P_1$$S, S'$
• ทำซ้ำขั้นตอนนี้จนกว่าความขัดแย้งทั้งหมดจะได้รับการแก้ไข เนื่องจากมีชุดน้อยกว่าจึงมีชื่อเพียงพอ$P_1$$P_2$

ตอนนี้คุณสามารถพิจารณาบิตสตริงขององค์ประกอบของคุณ wrt พาร์ทิชันอย่างใดอย่างหนึ่งคือและ ( กับ ) จากนั้นปริมาณที่ต้องการคือคือระยะทาง Hamming ระหว่างสตริงบิต$w_1 = n_1(1) \cdot \dots \cdot n_1(n)$$w_2 = n_2(1) \cdot \dots \cdot n_2(n)$$n_j(i) = n_j(S), i \in S \in P_j$$d_H(w_1, w_2)$