เส้นทแยงมุมจับสาระสำคัญของการแยกชั้นหรือไม่?

11

ฉันจำไม่ได้ว่าเคยเห็นการแยกชั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับผลการทแยงมุมและความสัมพันธ์ เส้นทแยงมุมยังสามารถใช้เพื่อแยกชั้นเรียนที่เหลืออยู่ได้เนื่องจากข้อโต้แย้งที่ไม่เกี่ยวข้องอาจยังคงถูกใช้ในบทสรุป diagonalization หรือในการสร้างเครื่องจักรทัวริงเส้นทแยงมุม นี่คือคำถามที่เกี่ยวข้อง:

มีหลักฐานการแยกชั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทแยงมุม?

และถ้าเป็นเช่นนั้น

เราสามารถหากลไกอ้างอิงตนเองที่อยู่เบื้องหลังพวกเขาได้ไหม

เพิ่มเติม

การแยกชั้นเรียนทุกครั้งมีข้อพิสูจน์ว่า

ถ้าเป็นเช่นนั้นเราควรพยายามหาข้อโต้แย้งที่ไม่เกี่ยวข้องกันมากกว่ารูปแบบการพิสูจน์อื่น ๆ สำหรับคำถามเปิด

ทุกหลักฐานที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมสามารถเขียนใหม่เป็นเส้นทแยงมุมได้หรือไม่?

— Ludovic Patey
แหล่งที่มา

ฉันได้แก้ไขคำถามเพื่อให้อ่านง่ายขึ้น ขอโทษถ้าฉันได้เปลี่ยนความตั้งใจของคุณ

— András Salamon

@ Andrásขอบคุณสำหรับรุ่นของคุณ ฉันมักจะไม่ชัดเจน มีการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง: ฉันหมายความว่าการทแยงมุมไม่ได้ล้มเหลวเพราะภายในเราสามารถใช้การโต้เถียงที่ไม่เกี่ยวข้องกันได้ ฉันคิดว่าความสัมพันธ์และเส้นทแยงมุมนั้นเป็นมุมฉาก และฉันไม่คิดว่ามันเป็นบทพิสูจน์ที่ไม่ได้ใช้เส้นทแยงมุมจะใช้กลไกการอ้างอิงตนเองอย่างลึกล้ำ แต่เฉพาะในความเข้าใจที่ลึกซึ้งเกี่ยวกับการพิสูจน์เราสามารถค้นพบกลไกการอ้างอิงตัวเองที่ยังไม่ได้เปิด ^^ ฉันจะแก้ไขคะแนนเฉพาะเหล่านั้นใหม่

— Ludovic Patey

T C^{0}

$TC^0$

15

ขึ้นอยู่กับวิธีทำให้เป็นเส้นทแยงมุม Kozen มีกระดาษที่แสดงการแยกชั้นความซับซ้อนใด ๆ ที่จะต้องพิสูจน์ในแนวทแยงมุม

— Lance Fortnow
แหล่งที่มา

+1 ผมคิดว่าผมอ่านในบล็อกของคุณและผมกำลังรอคำตอบของคุณ :)

— โมฮัมหมัดอัล Turkistany

5

เนื่องจากการกระจายในแนวทแยงนั้นสัมพันธ์กันความซับซ้อนใด ๆ ที่ส่งผลให้มีความสัมพันธ์ที่ไม่สอดคล้องกันนั้นไม่สามารถยึดตามแนวทแยงมุมได้ การอ้างอิงArora-Barak :

$O$ $O \subseteq \{0, 1\}^*$

$P$ $NP$ $P\ne NP$

$P^{PH} \subseteq IP$

— MS Dousti
แหล่งที่มา

2

โปรดทราบว่า Baker, Gill และ Solovay ไม่ได้บอกว่า diagonalization ไม่สามารถใช้งานได้แต่ได้สร้างข้อความที่เหมาะสมยิ่งขึ้น

— András Salamon

@Sadeq ฉันไม่เห็นด้วยว่าเส้นทแยงมุมสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่นคุณสามารถกำหนดเครื่องทแยงมุมตามคุณสมบัติที่ใช้ในคุณสมบัติการคำนวณบัญชีซึ่งไม่สัมพันธ์กัน

— Ludovic Patey

Algebrization ไม่ใช่เทคนิค แต่เป็นแนวคิดที่คล้ายคลึงกับ relativization ฉันคิดว่าคุณหมายถึง arithmetization แทน และการเชื่อมต่อกับบทพิสูจน์ทางธรรมชาติคืออะไร?

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

1

@Sadeq: BGS ชัดเจนช่วยให้มีความหมายรวมของเส้นทแยงมุมมากกว่า Arora-Barak ดูเหมือนจะตั้งใจ หากนักทฤษฎีเซตอย่างโรเบิร์ตโซโลเวย์คิดว่าอาจมีความคิดอื่น ๆ เกี่ยวกับเส้นทแยงมุมที่ไม่สัมพันธ์กันเราอาจจะเปิดโอกาสนั้นทิ้งไว้ หมายเหตุหน้า 75 ของ A&B ไม่ได้ยกเลิกความเป็นไปได้ที่แนวทแยงมุมบางประเภทใช้ข้อเท็จจริงที่ไม่เกี่ยวข้องกับเครื่องจักรทัวริง ต้นฉบับ Arora-Impagliazzo-Vazirani ที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ชี้ให้เห็นว่ามีประเด็นที่ค่อนข้างละเอียดอ่อนที่เกี่ยวข้อง cseweb.ucsd.edu/~russell/ias.ps

— András Salamon

1

มีการถกเถียงกันเกี่ยวกับเรื่องนี้: ดูตัวอย่างการตอบสนองของ Fortnow ต่อเอกสาร AIV: people.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/relative.pdf

— Suresh Venkat

5

เพื่อเพิ่มคำตอบของ Fortnow การทำงานของ Kozen อย่างต่อเนื่องNash, Impagliazzo และ Remmelทำให้ความคิดเป็นเส้นทแยงมุมที่แข็งแกร่งและให้หลักฐานอย่างเป็นทางการว่าไม่เกี่ยวข้อง เพื่อตอบคำถามแรกของคุณบางส่วนผลลัพธ์ของพวกเขาแสดงให้เห็นว่าหลักฐานการแยกชั้นบางส่วนไม่สามารถยึดตามแนวทแยงมุมที่แข็งแกร่ง นี่คือนามธรรม:

เรากำหนดและศึกษาการสร้างเส้นทแยงมุมที่แข็งแกร่งและเปรียบเทียบกับการทำแนวทแยงที่อ่อนแอโดยปริยายใน [7] ผลลัพธ์ของ Kozen ใน [7] แสดงให้เห็นว่าแทบทุกการแยกสามารถแต่งใหม่ได้เหมือนเส้นทแยงมุมที่อ่อนแอ เราแสดงให้เห็นว่ามีหลายชั้นของภาษาที่ไม่สามารถแยกออกจากกันโดยการทำให้เส้นทแยงมุมที่แข็งแกร่งและให้หลักฐานที่แสดงว่าเส้นทแยงมุมที่แข็งแกร่งไม่ได้เกี่ยวข้อง นอกจากนี้เรายังกำหนดแนวทแยงมุมอ้อมสองชนิดและศึกษาพลังของมัน

เนื่องจากเรากำหนดแนวทแยงมุมที่แข็งแกร่งในแง่ของภาษาสากลเราจึงศึกษาความซับซ้อนของภาษาเหล่านั้น เราแยกแยะและเปรียบเทียบภาษาสากลที่อ่อนแอและเข้มงวด ในที่สุดเราวิเคราะห์ความแตกต่างที่เห็นได้ชัดบางอย่างของภาษาสากลซึ่งเราเรียกว่าภาษาเทียมและแสดงให้เห็นว่าภายใต้เงื่อนไขการปิดที่อ่อนแอพวกเขาให้ภาษาสากลได้อย่างง่ายดาย

1-Nash, A. , Impagliazzo, R. , Remmel; J. "ภาษาสากลและพลังแห่งการทำให้เส้นทแยงมุม" การประชุม IEEE ประจำปีครั้งที่ 18 เรื่องความซับซ้อนในการคำนวณ (CCC'03), p. 337, 2003

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

5

มีหลักฐานการแยกชั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทแยงมุม?

ใช่มี แต่ไม่ใช่สำหรับคลาสที่มีความซับซ้อนเหมือนกัน เราไม่มีข้อโต้แย้งที่จะออกหลักฐานดังกล่าว แต่จนถึงขณะนี้การแบ่งแยกทั้งหมดระหว่างคลาสความซับซ้อนที่เหมือนกันดูเหมือนจะใช้ diagonalization ในบางสถานที่

เราสามารถหากลไกอ้างอิงตนเองที่อยู่เบื้องหลังพวกเขาได้หรือไม่?

ฉันไม่คิดว่าการแยกคลาสที่ซับซ้อนแบบไม่แปรสามารถกลายเป็นข้อโต้แย้ง "อ้างอิงตนเอง" ได้เพราะพวกเขาไม่ใช่คลาสที่สม่ำเสมอและไม่สามารถระบุได้และสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่อ้างอิงตัวเองเราต้องแจกแจงสมาชิกของคลาส

การแยกชั้นเรียนทุกครั้งมีข้อพิสูจน์ว่า

ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงโดย "บัญญัติ" AFAIK ไม่มีมติใด ๆ เกี่ยวกับคำตอบของคำถาม "เมื่อหลักฐานทั้งสองเหมือนกันในสาระสำคัญ?"

ถ้าเป็นเช่นนั้นเราควรพยายามหาข้อโต้แย้งที่ไม่เกี่ยวข้องกันมากกว่ารูปแบบการพิสูจน์อื่น ๆ สำหรับคำถามเปิด ทุกหลักฐานที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมสามารถเขียนใหม่เป็นเส้นทแยงมุมได้หรือไม่?

ตามที่คนอื่น ๆ ได้ชี้ให้เห็นคำตอบขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงโดยเส้นทแยงมุม โดยทั่วไปแล้ว (เอกสารของ Kozen เชื่อมโยงกับแลนซ์) คำตอบคือใช่สำหรับ "คลาสความซับซ้อน" สองแบบ (ตามที่นิยามไว้ในกระดาษของ Kozen) คุณสามารถเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์เป็นอาร์กิวเมนต์ "diagonalization" แต่:

สิ่งนี้ใช้ไม่ได้กับคลาสความซับซ้อนซึ่งไม่เป็นไปตามข้อกำหนดที่ระบุไว้ในกระดาษของ Kozen (เช่นไม่ใช่ Kozen "complexiy คลาส")
$P$ $PSpace$
สิ่งที่สำคัญคือยิ่งวิธีการทั่วไป จำกัด แอปพลิเคชั่นที่ จำกัด มากขึ้น (ถ้าใช้ด้วยตัวเอง) เพราะวิธีการนั้นจำเป็นต้องทำงานในกรณีที่มากขึ้นและนี่เป็นข้อ จำกัด ของวิธีการนี้เราไม่สามารถใช้วิธีเฉพาะได้ ข้อมูลที่เรามีเกี่ยวกับปัญหาหากไม่ได้แชร์หรือไม่สามารถแทนที่ด้วยสิ่งที่คล้ายกันสำหรับปัญหาอื่น ๆ ที่เราต้องการใช้วิธีการเหล่านั้น
เราสามารถเปลี่ยนข้อโต้แย้งแยกเป็นข้อโต้แย้ง "diagonalization" (พิจารณาข้อ จำกัด ที่ฉันกล่าวถึงข้างต้น) แต่ความจริงที่ว่า "ฟังก์ชั่น diagonalizing จริง ๆ แยกชั้น" ตัวเองต้องการพิสูจน์ แสดงกระดาษ Kozen ที่มีอยู่ฟังก์ชั่น diagonalizing ถ้าเรียนที่แตกต่างกัน แต่วิธีที่เราสามารถรู้ว่าการทำงานให้เป็นจริง diagonalizing? เราต้องการหลักฐาน! และกระดาษ (AFAIU) ไม่ได้ทำให้เรามีความคิดเกี่ยวกับวิธีที่จะเกิดขึ้นกับหลักฐานเหล่านั้น หากเรามีข้อโต้แย้งแยกเราสามารถเปลี่ยนเป็นหลักฐานแนวทแยงมุม แต่หลังจากนั้นเพียงมีหลักฐาน หลักฐานดั้งเดิมจะทำหน้าที่เป็นส่วนหนึ่งของการพิสูจน์แนวทแยงมุมใหม่มันจะแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นนั้นเป็นเส้นทแยงมุมจริงๆ (และในแง่หนึ่งการพิสูจน์เส้นทแยงมุมที่สร้างขึ้นจากกระดาษของ Kozen จะไม่เป็น "บัญญัติ" เนื่องจากมันจะขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ดั้งเดิมทั้งหมด)

— Kaveh
แหล่งที่มา

ฉันควรระวังคำถามที่สองของคุณให้มากขึ้น (เราจะหากลไกอ้างอิงตนเองที่อยู่เบื้องหลังพวกเขาได้ไหม) และไม่สม่ำเสมอ ฉันคิดว่าคุณต้องเจาะจงมากขึ้นเกี่ยวกับความหมายของ "กลไกการอ้างอิงตนเอง" คำว่า "การอ้างอิงตนเอง" เป็นหนึ่งในคำที่ใช้ในทางที่ผิดมาก (โดยเฉพาะในงานปรัชญา) ดังนั้นเราจึงควรระมัดระวัง กลไกการอ้างอิงตนเองตามปกติ (ในแง่ของ Godel ดูที่หนังสือของ R. Smullyan "Diagonalization and Self-Reference", 1994) จำเป็นต้องระบุวัตถุ (นี่คือ TMs) ของชั้นเรียนขนาดเล็กในภาษา แต่มีคนอื่น ๆ ที่ใช้ด้วย

— Kaveh

ใช้คำว่า "การอ้างอิงตนเอง" EgK Mulmuley ใช้มันในการตั้งค่าแบบไม่สม่ำเสมอของ GCT ในสิ่งที่เขาอ้างถึงว่าเป็น "การอ้างอิงตนเองที่ขัดแย้งกัน" แต่มันก็ยากที่จะเห็นสำหรับฉันหากนั่นคือสิ่งที่คุณมีอยู่ในใจเมื่อคุณใช้ "กลไกการอ้างอิงตนเอง"

— Kaveh