วิธีการพิสูจน์หลักฐานของคุณ

แนวทางทั่วไปในการตรวจสอบหลักฐานของคุณคืออะไร? ฉันเชื่อว่านี่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาอย่างฉัน ฉันรู้แล้วว่าเราต้องทำอะไรเพื่อพิสูจน์บางสิ่ง แต่คุณต้องตรวจสอบทุกสิ่งก่อนส่งออกไป แม้กระทั่งที่ปรึกษาของคุณเอง

ฉันพัฒนากลยุทธ์ด้วยตัวเองโดยการลองผิดลองถูกและได้รับคำแนะนำมากมายจากที่ปรึกษาของฉัน แต่นี่เป็นงานที่น่าเบื่อเสมอ โดยปกติเมื่อคุณทำอะไรซักอย่างเสร็จคุณก็แค่อยากจะแก้ปัญหาต่อไป แต่คุณยังต้องยึดติดกับปัญหาในปัจจุบันจนกระทั่งทุกอย่างสมบูรณ์แบบ ที่นี่ฉันนำเสนอตัวอย่างของรายการของเทคนิค:

1. กรอกรายละเอียด มีข้อผิดพลาดมากมายในสถานที่ที่คุณเขียนว่า "ชัดเจนว่า ... ", "โดยไม่สูญเสียความเป็นไปได้ ... " ฯลฯ
2. ลองตัวเลข ลองใช้กรณีที่รุนแรงเช่น "จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อฉันตั้งค่าหรือ "n = $n=1$$n=1000$
3. เก็บสมุดบันทึกที่สะอาด เขียนทุกวันและเปรียบเทียบกับโน้ตย่อของคุณ ฉันพยายามเขียนด้วยน้ำยางด้วยฉันพบข้อผิดพลาดมากมายเช่นนี้

กลยุทธ์ทั่วไปที่คุณใช้ในการตรวจสอบหลักฐานของคุณคืออะไร?

วัตถุประสงค์ของคำถามนี้คือทำให้ชุมชนเป็นวิกิ

วิศวกรซอฟต์แวร์มีแนวคิดที่เรียกว่า " รหัสกลิ่น " เหล่านี้เป็นอาการในรหัสที่อาจบ่งบอกถึงปัญหาที่ลึกกว่า วิศวกรซอฟต์แวร์รวบรวมรายชื่อของกลิ่นทางจิตที่ต้องระวัง (เช่นวิธีการที่ยาวเกินไปหรือพารามิเตอร์มากเกินไป) ไม่ได้หมายความว่ามีปัญหา แต่เพียงระบุว่าผู้เขียนอาจต้องการตรวจสอบอีกครั้ง

ฉันเสนอว่าเราควรพิจารณา"หลักฐานกลิ่น"ด้วย สิ่งนี้จะไม่ให้อัลกอริทึมสำหรับการตรวจสอบหลักฐานของคุณ แต่จะให้ภาษาและอุปมาอุปมัยสำหรับการตระหนักถึงปัญหาที่อาจเกิดขึ้นในการพิสูจน์ ตัวอย่างบางส่วนของการพิสูจน์กลิ่น:

1. คำวิเศษณ์ "ชัดเจน", "ชัดเจน" ฯลฯ
2. อ้างอิงถึงการพิสูจน์ผลลัพธ์ก่อนหน้าแทนการอ้างอิงถึงผลลัพธ์เอง
3. การใช้ผลที่ไม่คาดคิดกับเงื่อนไขทางเทคนิคจำนวนมาก

นอกจากนี้ยังมีกลิ่นที่ลึกซึ้งยิ่งขึ้น ตัวอย่างเช่นหากการพิสูจน์ใช้ทฤษฎีบททวินามเพื่อขยายการแสดงออกและหลังจากนั้นใช้ทฤษฎีบททวินามเพื่อกลับสู่รูปแบบปิดอาจจะมีการจัดการโดยตรงในรูปแบบปิดที่ให้ผลลัพธ์เดียวกัน

ข้อเสนอแนะของฉันคือการรวบรวมรายการ (เช่นจิตหรือเขียน) ของกลิ่นและตรวจสอบพวกเขาเมื่อคุณอ่านงานของคุณ ผลข้างเคียงที่ดีของวิธีการนี้คือมันจะทำให้คุณเป็นผู้อ่านที่ดีขึ้น

หมายเหตุ: ความหวังของฉันในคำตอบนี้คือการให้คำตอบที่เข้มงวดกับคำตอบที่เข้มงวดของ Lamport วิธีการเขียนหลักฐานอ้างอิงในคำตอบของ M. Alaggan

มีกระดาษที่ดีมากโดย Leslie Lamport ( วิธีเขียนหลักฐาน ) จริงๆแล้วมันเป็นข้อเสนอของเขาในรูปแบบของการเขียนบทพิสูจน์ที่มีรายละเอียดในลักษณะที่:

(1) ช่วยให้ตรวจจับข้อผิดพลาดได้อย่างตรงไปตรงมา

(2) ทำให้ชัดเจนว่าสมมติฐานและทฤษฎีบทใดที่ใช้ในส่วนใดซึ่งทำให้ง่ายที่จะเห็นว่าเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณต้องการ (ตัวอย่าง) ใช้สมมติฐานที่อ่อนแอกว่า

นอกจากนี้ยังมีประสบการณ์ชุมชนและแรงบันดาลใจความเห็นเกี่ยวกับเทคนิคนี้ใน MO ซึ่งแสดงให้เห็นประสบการณ์โดยทั่วไป (และแหล่งข้อมูลอื่น ๆ เช่นกัน)

ปรับปรุง: มีรุ่นใหม่วิธีการเขียนหลักฐานศตวรรษที่ 21

Dick Lipton มีบทความที่ดีที่ชื่อว่า ' วิธีการพิสูจน์การพิสูจน์เป็นบทพิสูจน์ '

ฉันดูเหมือนจะจำการอ่านบัญชียอดนิยมมานานแล้วว่านักฟิสิกส์จัดการกับปัญหาแบบอะนาล็อกได้อย่างไร ใครจะรู้ว่าความถูกต้องของเวอร์ชันต่อไปนี้เป็นใคร ยินดีต้อนรับการแก้ไข แต่ฉันพบกลยุทธ์พื้นฐานที่น่าทึ่งมาก

พวกเขาอธิบายว่าพวกเขาเชื่อในหลุมดำได้อย่างไร หลุมดำเป็นสิ่งก่อสร้างทางคณิตศาสตร์ล้วนๆเช่นเดียวกับสิ่งแปลกประหลาดอื่น ๆ ในวิชาฟิสิกส์เช่นหนอน กลยุทธ์ของพวกเขาโดดเด่น: พวกเขาจะโยนวัตถุอื่น ๆ ลงในวัตถุเพื่อทดสอบทางคณิตศาสตร์ Wormholes ล้มเหลวในการทดสอบของพวกเขาเพราะพวกเขาพบว่าตัวหนอนจะยุบตัวแม้ในที่ที่มีวัตถุทางกายภาพปกติอาจจะเป็นดาวเคราะห์น้อย แต่หลุมดำผ่านการทดสอบนี้หลุมดำน่าจะอยู่รอดได้โดยมีดาวเคราะห์น้อยถูกโยนทิ้งไป ดังนั้นพวกเขาจึงพยายามขว้างดาวใส่มัน ผลลัพธ์เดียวกัน ในที่สุดพวกเขาก็ขว้างหลุมดำอีกหลุมที่หลุมดำและรอดชีวิตมาได้ ด้วยเหตุนี้พวกเขาจึงมั่นใจในการมีหลุมดำมากพอที่จะเริ่มมองหาพวกมันในจักรวาลที่แท้จริง

ดังนั้นความเกี่ยวข้องและการประยุกต์ใช้กลยุทธ์ด้านบนคือการเริ่มโยนสิ่งต่าง ๆ ที่เป็นหลักฐานของคุณ มันรอดจากการตรวจสติได้หรือไม่ หากคุณลบสมมติฐานที่จำเป็นมันจะยุบตามที่ควรหรือไม่ มันยุบตามที่ควรเมื่อนำไปใช้กับกรณีที่อยู่นอกขอบเขตหรือไม่? มันทนต่อการสรุปทั่วไปและความเชี่ยวชาญหรือไม่? มีลักษณะที่เป็นรายชื่อของการวิเคราะห์พฤติกรรมใน Polya ของวิธีการแก้มัน ลองเปลี่ยนหลักฐานของคุณด้วยฮิวริสติกเหล่านี้และดูว่ามันยืนหรือไม่ตามที่ควร

ฉันคิดว่าวิธีที่ปลอดภัยที่สุดวิธีหนึ่งคือการพิสูจน์หลักฐานอิสระหลายอย่าง จากนั้นคุณสามารถมั่นใจได้ว่าผลลัพธ์หลักของคุณนั้นถูกต้องแม้ว่าคุณจะมีข้อผิดพลาดในรายละเอียดของการพิสูจน์

เทคนิคหนึ่งที่ฉันพบว่ามีประโยชน์คือการคิดเกี่ยวกับผลลัพธ์อื่น ๆ ที่กลยุทธ์การพิสูจน์จะสามารถพิสูจน์ได้ หากฉันสามารถปรับกลยุทธ์การพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายเพื่อพิสูจน์ปัญหาที่เปิดกว้างหรือแม้แต่ปัญหาที่ไม่ได้เปิดอยู่ แต่มีวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากเมื่อเทียบกับความซับซ้อนของกลยุทธ์การพิสูจน์นั่นเป็นเหตุผลใหญ่ที่สงสัย หลักฐาน

ฉันมักจะตรวจสอบอีกครั้งพิสูจน์ของฉันกับหลักฐานตรวจสอบเช่นCOQหรือISABELLE หากคุณสามารถพิสูจน์หลักฐานของคุณในภาษาการเขียนโปรแกรมเหล่านี้คุณสามารถมั่นใจได้ว่าหลักฐานของคุณถูกต้อง ง่ายเหมือนแลมบ์ดาเทอม;)