ความซับซ้อนของการใช้การเรียงสับเปลี่ยนในสถานที่

ด้วยความประหลาดใจของฉันฉันไม่สามารถหาเอกสารเกี่ยวกับเรื่องนี้ - อาจค้นหาคำหลักที่ผิด

ดังนั้นเรามีอะไรหลายอย่างและฟังก์ชั่นในดัชนีของมัน fคือการเรียงสับเปลี่ยน$f$$f$

เราจะจัดลำดับอาร์เรย์ใหม่ตามด้วยหน่วยความจำและ runtime ใกล้เคียงกับO ( 1 )และO ( n )มากที่สุดเท่าที่เป็นไปได้หรือไม่$f$$O(1)$$O(n)$

มีเงื่อนไขเพิ่มเติมหรือไม่เมื่องานนี้ง่ายขึ้น? เช่นเมื่อเรารู้อย่างชัดเจนว่าฟังก์ชันเป็นค่าผกผันของf ?$g$$f$

ฉันรู้ว่าอัลกอริทึมที่ติดตามวัฏจักรและลัดวงจรสำหรับแต่ละดัชนีเพื่อตรวจสอบว่ามันน้อยที่สุดในวัฏจักรของมันหรือไม่ แต่อีกครั้งมันมีช่วงเวลาที่เลวร้ายที่สุดแม้ว่าโดยเฉลี่ยดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดีขึ้น ..$O(n^2)$

ตัวเลือกที่ 0: อนุญาตให้ใช้งานในสถานที่ (1995) โดย Faith E. Fich, J. Ian Munro, Patricio V. Poblete เวลาO ( log 2 n )พื้นที่$O(n \log n)$$O( \log^{2} n )$

ตัวเลือกที่ 1: โกงโดยการบีบอัดการเปลี่ยนแปลงของคุณไปยังโครงสร้างข้อมูลรวบรัดดูมันโร http://www.itu.dk/people/ssrao/icalp03-a.pdf

ตัวเลือกที่ 2: ใช้การสลายตัวแบบไพรม์รอบเพื่อเก็บใบอนุญาตอย่างรัดกุมและใช้พื้นที่พิเศษนั้นเพื่อโกงhttp://oeis.org/A186202

ตัวเลือก 3: ติดตามดัชนีที่ใหญ่ที่สุดของแต่ละรอบที่จัดการ สำหรับการวนซ้ำแต่ละครั้งให้ใช้ดัชนีที่มองไม่เห็นที่ใหญ่ที่สุดเพื่อย้ายทุกอย่างในวัฏจักรของมันทีละหนึ่ง ถ้ามันกระทบกับดัชนีที่เห็นจะยกเลิกการทำงานทั้งหมดเพราะวงจรได้รับการจัดการแล้ว เวลาO ( # รอบ* บันทึกn )พื้นที่$O(n^2)$$O(\#\text{cycles} * \log n)$

ตัวเลือก 4: ติดตามดัชนีที่ใหญ่ที่สุดของแต่ละรอบที่มีการจัดการ แต่จะทำเฉพาะในกลุ่มของความยาวรอบที่แตกต่างกัน สำหรับการวนซ้ำแต่ละครั้งให้ใช้ดัชนีที่มองไม่เห็นที่ใหญ่ที่สุดเพื่อย้ายทุกอย่างในรอบนั้นทีละรายการ หากมันกระทบกับดัชนีที่เห็นว่ายกเลิกการทำงานทั้งหมดเพราะวงจรนั้นได้รับการจัดการแล้ว เวลาO ( ( # รอบ_ กับ_ เดียวกัน_ ขนาด) * บันทึกn )พื้นที่$O(n^2 * \text{distinct}\_\text{cycle}\_\text{lengths})$$O((\#\text{cycles}\_\text{with}\_\text{same}\_\text{size}) * \log n)$

ตัวเลือกที่ 5: จากกระดาษเดียวกันโดยมันโรเป็นตัวเลือกที่ 0, สำหรับหมุนรอบของp ( i )ถ้าiเป็นดัชนีที่ใหญ่ที่สุดในรอบนั้น O ( n 2 )เวลาและO ( บันทึกn )พื้นที่$i = 1 .. n$$p(i)$$i$$O(n^2)$$O(\log n)$

หากคุณใช้การแทนวัฏจักรของการเปลี่ยนรูปคุณต้องมีองค์ประกอบอาร์เรย์เพิ่มเติม 1 รายการเพื่อจัดเก็บรายการที่ถูกเปลี่ยนแปลงในขณะนี้และคุณสามารถเรียกใช้รอบได้ในการดำเนินการ O (N) ที่แย่ลง

การเปลี่ยนรูปของ N รายการใด ๆ สามารถเปลี่ยนเป็นการเปลี่ยนรูปแบบอื่น ๆ โดยใช้ N-1 หรือแลกเปลี่ยนน้อยกว่า กรณีที่แย่ที่สุดสำหรับวิธีนี้อาจต้องใช้การโทร O (n ^ 2) ไปที่ oracle ของคุณ, F () เริ่มจากตำแหน่งที่น้อยที่สุด ให้ x เป็นตำแหน่งที่เราแลกเปลี่ยนอยู่ในขณะนี้

ถ้า F (x)> = x ให้สลับตำแหน่ง x และ F (x) อื่นเราต้องค้นหาว่ารายการที่อยู่ในตำแหน่ง F (x) อยู่ในรายการในขณะนี้ เราสามารถทำได้ด้วยการทำซ้ำต่อไปนี้ ให้ y = F (x) ทำจนกระทั่ง y> = x: y = F (y): End Do ตอนนี้แลกเปลี่ยนตำแหน่ง x และ y

วิธีนี้ใช้ค่าผกผันของ F และต้องการหน่วยเก็บข้อมูล n บิต หาก x คือตำแหน่งของรายการในอาร์เรย์เดิมให้ G (x) เป็นตำแหน่งของรายการในอาร์เรย์ที่เรียงลำดับ ให้ B เป็นอาร์เรย์ n บิต ตั้งค่าบิตทั้งหมดของ B เป็น 0

สำหรับ x = 1 ถึง n-1: ถ้า B (x) == 0 แล้ว: y = G (x): ทำจนกระทั่ง x == y: สลับตำแหน่ง x และ y: B (y) = 1: y = G ( y): LOOP: ENDIF: NEXT X

วิธีนี้จะทำการแลกเปลี่ยนไอเท็มในตำแหน่ง x ไปยังตำแหน่งสุดท้ายของไอเท็ม ลูปด้านในจะสิ้นสุดลงเมื่อรายการที่ถูกต้องถูกเปลี่ยนเป็นตำแหน่ง x เนื่องจากการสลับแต่ละครั้งย้ายอย่างน้อยหนึ่งไอเท็มไปยังตำแหน่งสุดท้ายของไอเท็มวนรอบ Do Do จะไม่สามารถ excute มากกว่า n-1 ครั้งในระหว่างการรัน ฉันคิดว่าวิธีนี้เป็นเวลา O (n) และพื้นที่