ฉันสามารถโยงความสำคัญของเซตได้หรือไม่ถ้าการทดสอบความเป็นสมาชิกในนั้นสมบูรณ์หรือไม่

ฉันต้องการที่จะมีความผูกพันกับความสำคัญของชุดของกราฟดิสก์ยูนิตด้วย $N$ จุด เป็นที่ทราบกันดีว่าการตรวจสอบว่ากราฟเป็นสมาชิกของชุดนี้คือ NP-hard หรือไม่ สิ่งนี้นำไปสู่ข้อ จำกัด ด้านล่างของ cardinality หรือไม่สมมติว่า P $\neq$ NP?

ตัวอย่างเช่นสมมติว่ามีการเรียงลำดับบนกราฟทั้งหมดด้วย $N$ จุด ความแข็งของ NP จะบ่งบอกถึงความสำคัญของหัวใจที่เกินกว่า $2^N$ ในที่อื่นคุณสามารถทดสอบการเป็นสมาชิกในเวลาพหุนามด้วยการทำการค้นหาแบบไบนารีผ่านชุด? ฉันคิดว่านี่น่าจะสันนิษฐานได้ว่าคุณเก็บชุดไว้ในหน่วยความจำอย่างใด ... สิ่งนี้อนุญาตหรือไม่

Defintion: กราฟเป็นกราฟดิสก์ยูนิตหากแต่ละจุดยอดสามารถเชื่อมโยงกับดิสก์ยูนิตในระนาบได้นั่นคือจุดเชื่อมต่อนั้นจะเชื่อมต่อทุกครั้งที่ดิสก์ของพวกเขาตัดกัน

นี่คือข้อมูลอ้างอิงเกี่ยวกับความแข็งของการทดสอบการเป็นสมาชิกสำหรับกราฟดิสก์ยูนิต: http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— เดวิดชอย
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยว่ามีตัวอย่างที่เทคนิคนี้ให้ขอบเขตล่างที่รู้จักกันดีที่สุดกับขนาดของบางชุดหรือไม่? นั่นจะเป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีความซับซ้อนเชิงอ้อมโดยเด็ดขาด

— Sasho Nikolov

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือ. คำตอบทั้งสองนั้นมีประโยชน์และลึกซึ้ง ฉันจะยอมรับคนใดคนหนึ่งในที่อื่น ๆ

— David Choi

คำตอบ:

ฉันไม่แน่ใจว่าคุณกำลังถามคำถามเกี่ยวกับเทคนิคหรือคำตอบนี้หรือไม่ แต่มีรายงานล่าสุดโดย McDiarmid และ Mueller ซึ่งพวกเขาแสดงจำนวนกราฟหน่วยดิสก์ (บนฉลาก) บน $n$ จุดยอดคือ $2^{(2 + o(1))n}$ ; ดูhttp://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf

— Bart Jansen
แหล่งที่มา

ทฤษฎีบทของมาห์นีย์ระบุว่าเซต NP-complete ที่กระจัดกระจายมีอยู่ iff P = NP ดังนั้นสมมติว่า $P \neq NP$ หมายถึงขอบล่างพหุนามต่ำสุดกับจำนวนอินสแตนซ์ของขนาด $n$ ใน $NP$ - ชุดที่สมบูรณ์แบบสำหรับคนมากมาย $n$ . นั่นคือถ้า $P \neq NP$ จากนั้นก็ได้ $NP$ - ชุดที่สมบูรณ์จะต้องมีบางอย่าง $\epsilon \gt 0$ เช่นนั้นสำหรับจำนวนเต็มจำนวนอนันต์ $n\ge 0$ ชุดประกอบด้วยอย่างน้อย $2^{n^{\epsilon}}$ สายยาว $n$ .

H. Buhrman และ JM Hitchcock พิสูจน์ขอบเขตล่าง ( $2^{n^{\epsilon}}$ ) แน่นยกเว้นลำดับชั้นพหุนามจะยุบ

[1] H. Buhrman และ JM Hitchcock, ชุด NP-Hard มีความหนาแน่นแบบทวีคูณเว้นแต่จะเป็น coNP ⊆ NP / โพลี, ในการประชุม IEEE ด้านการคำนวณที่ซับซ้อนหน้า 1–7, 2008

[2] Eric Allender, รายงานสถานะเกี่ยวกับคำถาม P Versus NP, ความก้าวหน้าในคอมพิวเตอร์, เล่มที่ 77, 2009, หน้า 117-147

— Mohammad Al-Turkistany
แหล่งที่มา

[Mah82] SR Mahaney ชุดสมบูรณ์แบบกระจัดกระจายสำหรับ NP: คำตอบของการคาดคะเนโดย Berman และ Hartmanis , วารสารคอมพิวเตอร์และระบบวิทยาศาสตร์ 25: 130-143, 1982

— Marzio De Biasi

ชุด NP- สมบูรณ์แต่ละชุดมีความสำคัญเชิงอนันต์นับไม่ถ้วน คุณอาจหมายถึงว่า P ≠ NP หมายถึงขอบเขตต่ำสุดของพหุนามกับจำนวนอินสแตนซ์ที่มีขนาด

n

$n$ สำหรับคนมากมาย

n

$n$ . ทราบด้วยว่า

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$ เป็นซุปเปอร์พหุนามโดยไม่ต้องอยู่ในรูปแบบที่คุณให้

— András Salamon

ขอบคุณAndrásความคิดเห็นของคุณรวมอยู่ในคำตอบ

— Mohammad Al-Turkistany

@ Mohammad: ทำให้ขอบเขตล่าง

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$ , หรือ

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$ : นั่นคือความหมายของพหุนาม

— Sasho Nikolov

@Sasho, H. Buhrman และ JM Hitchcock ได้พิสูจน์ขอบเขตล่าง (

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$ ) ฉันพูดถึงคำตอบของฉันเว้นแต่ว่าลำดับชั้นพหุนามยุบ H. Buhrman และ JM Hitchcock, ชุด NP-Hard มีความหนาแน่นแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลยกเว้น coNP ⊆ NP / โพลี, ในการประชุม IEEE เรื่องความซับซ้อนในการคำนวณ, หน้า 1–7, 2008

— Mohammad Al-Turkistany