ค่าใช้จ่ายในการดำเนินการประมาณ ค้นหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในข้าม quadtree

หมายเหตุ : คำถามได้รับการปรับปรุงใหม่ในคำตอบของฉัน: สมมติว่าตอนนี้เราสามารถหาบรรพบุรุษที่ต่ำที่สุดในเวลาแล้ว ANN สามารถทำได้ในหรือไม่$O(1)$$O(\log n)$

Quadtrees เป็นดัชนีเชิงพื้นที่ที่มีประสิทธิภาพ ฉันมีปริศนาที่มีการใช้การค้นหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในโครงสร้างควอดทรีบีบอัดตามที่อธิบายไว้ใน [2] (โดยไม่ต้องลงรายละเอียดการค้นหาจะเลื่อนจากบนลงไปตามสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีระยะเท่ากันซึ่งสิ้นสุดในโหนดหางของเส้นทางที่มีระยะเท่ากันในรูปภาพที่แนบนี้อาจเป็นโหนดใด ๆ ในภาคตะวันออกเฉียงใต้ที่เต็มไปด้วยจุด)

สำหรับอัลกอริทึมในการทำงานเราจะต้องรักษาแต่ละโหนด - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มี quadrants ไม่ว่างอย่างน้อยสองตัว - พอยน์เตอร์สำหรับแต่ละโหนดที่ต่ำที่สุด (ใกล้เคียงที่สุดในลำดับชั้น) โหนดบรรพบุรุษในแต่ละสี่ทิศทาง (ทิศเหนือทิศตะวันตกทิศใต้ ตะวันออก) ลูกศรสีเขียวเหล่านี้ถูกระบุด้วยลูกศรสีเขียวสำหรับโหนดบรรพบุรุษทางทิศตะวันตกของโหนด (ลูกศรชี้ไปที่ศูนย์กลางของจัตุรัสบรรพบุรุษ)

กระดาษที่อ้างว่าตัวชี้เหล่านี้สามารถอัปเดตใน O (1) ระหว่างการแทรกจุดและการลบ อย่างไรก็ตามเมื่อดูที่การแทรกจุดสีเขียวดูเหมือนว่าฉันจำเป็นต้องอัปเดตพอยน์เตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ในกรณีนี้พวกเขาหกคน

ฉันหวังว่าจะมีเคล็ดลับในการอัปเดตตัวชี้นี้ในเวลาที่แน่นอน อาจมีรูปแบบของการอ้อมที่สามารถใช้ประโยชน์ได้หรือไม่?

แก้ไข:

ส่วนที่เกี่ยวข้องจากกระดาษคือ 6.3 ที่อ่าน: "ถ้าเส้นทางมีโค้งแล้วนอกจากบรรพบุรุษที่ต่ำที่สุดของเราควรพิจารณาแต่ละทิศทางต่ำสุด บรรพบุรุษของที่ไปสู่ทิศทางนั้น [... ] การหาสี่เหลี่ยมเหล่านี้จากสามารถทำได้ในเวลาต่อหนึ่งตารางถ้าเราเชื่อมโยงพอยน์เตอร์เพิ่มเติมกับแต่ละตารางในชี้ไปที่บรรพบุรุษที่ใกล้ที่สุดสำหรับแต่ละทิศทาง ตัวชี้เหล่านี้ยังสามารถปรับปรุงได้ในเวลาในระหว่างการแทรกหรือการลบจุด "q 2 d q q O ( 1 ) 2 d Q 0 O ( 1 $log(c/ε)$$q$$2^d$$q$$q$$O(1)$$2^d$$Q_0$$O(1)$

[2]: Eppstein, D. และ Goodrich, MT และ Sun, JZ,“ The Quad Quadtree: โครงสร้างข้อมูลแบบไดนามิกอย่างง่ายสำหรับข้อมูลหลายมิติ,” ในการประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ยี่สิบเอ็ดเรื่องเรขาคณิตเชิงคำนวณ, หน้า 296–305 พ.ศ. 2548

เช่นเดียวกับดาวิดฉันไม่รู้ว่าทำไมโจนาธานพูดถึงเรื่องพอยน์เตอร์ 2 ^ d พวกเขาไม่ต้องการ ดังที่ David ได้กล่าวไว้ข้างต้นคุณสมบัติที่สำคัญคือเมื่อเราทำตำแหน่งชี้ไปที่ leaf v ใน Q_0 มันก็เพียงพอที่จะจำโหนด sibling (และกล่องของพวกเขา) ใน skip quadtree เมื่อเราประมวลผลกล่องจาก P เราทำตำแหน่งจุดสำหรับกล่องใบไม้ใกล้กับจุดสอบถามของเราแทรกกล่องพี่น้องเมื่อเราลงไป ดูเหมือนว่าจะมีคำตอบของคุณไม่มากก็น้อย นอกจากนี้ขั้นตอนนี้คล้ายกันมากตัวอย่างเช่นวิธีการระบุตำแหน่งโดยประมาณในบทความต่อไปนี้: อารี, นิลและเมา, เดวิดเอ็มและเนทันยาฮู, นาธานเอสและซิลเวอร์แมน, รู ธ และวู, แองเจลาวาย "อัลกอริธึมที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการประมาณเพื่อนบ้านที่ใกล้เคียงกับการค้นหามิติที่คงที่", JACM, 1998. อันที่จริง,

ใคร ๆ ก็นึกถึงการข้าม quadtree เป็นการนำข้ามรายการโครงสร้างข้อมูลที่เก็บคะแนนตามลำดับ z ของพวกเขา มันคือ (arguably) อย่างน้อย conceptually ง่าย ...

ดูบทที่ 2 ที่นี่: http://goo.gl/pLiEO

และใช่สมมติว่าคุณสามารถดำเนินการตามคำสั่ง z พื้นฐานในเวลาคงที่คุณสามารถทำ ANN ในเวลาลอการิทึมแน่นอน บทที่กล่าวมานี้ยังแสดงให้เห็นว่าไม่มีทางที่จะหลีกเลี่ยงการทำงานที่แปลกประหลาดหากต้องการควอดทรีอัด โปรดทราบว่าการดำเนินการ LCA นั้นไม่จำเป็น ...

ฉันรู้สึกอย่างสังหรณ์ใจว่าใคร ๆ ก็สามารถมีชีวิตอยู่ได้โดยปราศจากพอยน์เตอร์เหล่านั้นและในขณะที่ฉันต้องคงโหนดทั้งหมดไว้ในฮาร์ดดิสก์ในบางจุดการลดพอยน์เตอร์ใด ๆ ก็ยอดเยี่ยม

ความคิดของฉันคือประมาณดังนี้นอกเหนือจากจุดที่ผู้สมัครที่ดีที่สุด (ใบ)เรายังติดตามของระยะทางที่เลวร้ายที่สุดในแต่ละรอบ{} ระยะทางที่แย่ที่สุดจะเป็นระยะทางสูงสุดของทุกมุมของโหนดไปยังจุดสอบถามไม่ว่าถ้าอยู่ภายในสี่เหลี่ยมหรือนอก r m a x d i s t ′ ( v , q ) q v $l_{best}$$r_{max}$${dist}'(v,q)$$q$$v$$v$

รอบเป็นเช่นนี้: ถ้าว่างเปล่าให้ส่งคืนถ้ามี มิฉะนั้นลบนาทีให้ปัจจุบันในQ_0เตรียมข้อมูลถึง (หรือตั้งค่าเป็นหากยังไม่พบผู้สมัครที่ดีที่สุด) ครั้งแรกที่ทดสอบเด็กแต่ละคนไม่ว่างเปล่าของในQ_0หาก child นี้เป็น leaf ให้อัพเดตและหากจำเป็น ถ้าเป็นโหนดให้คำนวณและซึ่งระยะหลังเป็นระยะทางที่ดีที่สุด: ทั้งศูนย์ถ้าl b e s t p 0 Q 0 r m a x l b e s t ∞ p 0 Q 0 q l b e s t r m a x q d ฉันs t ′ ( q , v ) d i s t ( q , v ) v q q $P$$l_{best}$$p_0$$Q_0$$r_{max}$$l_{best}$$\infty$$p_0$$Q_0$$q$$l_{best}$$r_{max}$$q$${dist}'(q,v)$${dist}(q,v)$$v$อยู่ภายในหรือระยะทางที่สั้นที่สุดของทุกมุมของที่จะวี$q$$q$$v$

หากลืมหรือเก็บไว้ ถ้าจำนวนโหนดที่เก็บรักษาไว้เป็นดันโหนดเหล่านั้นเข้าสู่Pจบรอบ q ≥ 2 ${dist}(q,v) > r_{max}$$q$$\geq 2$$P$

มิฉะนั้นดำเนินการคล้ายกับการค้นหาดั้งเดิม: ค้นหา , โหนดที่สอดคล้องกับในสูงที่สุดที่เป็นไปได้และเริ่มจากที่นั่น: อีกครั้งแทนที่จะขอให้เด็กที่มีระยะเท่ากันลงไปทดสอบเด็กทั้งหมดตามขั้นตอนก่อนหน้า , ที่อยู่, ข้ามผู้ที่มีระยะทางที่ดีที่สุดเกิน{} หากหลังจากการทดสอบนี้เด็กยังคงลงไปและทำซ้ำ หากไม่มีเด็กอยู่ให้ไปที่แล้วทำซ้ำ หากการทดสอบดำเนินการเป็นรอบจะเสร็จสิ้นp 0 Q j r m a x Q j - 1 Q $q$$p_0$$Q_j$$r_{max}$$Q_{j-1}$$Q_0$

ในขณะนี้ฉันรู้ว่าถ้าสิ่งนี้รับประกันว่าจะหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดในทุกกรณีที่เป็นไปได้หรือว่ามันทำงานได้ดีเท่ากับอัลกอริทึมดั้งเดิม นอกจากนี้หากการเริ่มต้นของเพียงพอหรือไม่ และสิ่งที่ควรให้ความสำคัญใน - ยังคงเป็นระยะทางที่ดีที่สุด?$r_{max}$$P$

แก้ไข (เมษายน 2013)

ตอนนี้ฉันได้ทำการทดลองเพิ่มเติมกับการอธิบายอัลกอริธึมด้านบนซึ่งใช้คำนิยามของโหนด 'equipotent' แทนโหนด equistabbing ตามคุณสมบัติที่ลงไปยังโหนดดังกล่าวจะไม่เปลี่ยนพื้นที่ที่ครอบคลุมโดยรูปร่างแบบสอบถามปัจจุบันขอบเขต{}$r_{max}$

น่าเสียดายที่เราสามารถสร้างกรณีทางพยาธิวิทยา (ดูภาพด้านล่างจุดสอบถามอยู่ตรงกลางด้านล่าง) ที่ประสิทธิภาพลดลงเป็นรอบ$O(\sqrt n)$

ตอนนี้ฉันได้นำอัลกอริธึมที่ใช้ Equistabbing มาใช้แล้วซึ่งบรรพบุรุษที่เป็นพี่น้องน้อยที่สุดกำลังค้นหา brute-force (ก่อนที่จะพยายามหาตัวแปร O (1)) เพื่อตรวจสอบจำนวนรอบสูงสุดที่อ้างในทฤษฎีบท 13:1}))$O(\epsilon^{1−d}(\log n+\log \epsilon^{−1}))$

ฉันใช้ตัวอย่าง "พยาธิวิทยา" จากคำตอบก่อนหน้าของฉัน รูทสแควร์รูต 2 มิติมีความยาวด้านข้าง 512 ซึ่งพิกัดกลางคือ (256, 256) พิกัดจะได้รับในจำนวนเต็มนำไปสู่ตรงไปข้างหน้า1 จุดจะถูกวางระยะห่างเท่ากันในแนวนอนข้ามรูตสแควร์และจุดสอบถามอยู่ที่ (256, 511) (โปรดทราบว่า 512 อยู่นอกรูทสแควร์แล้ว)$\epsilon = 1$$v$

ในรูปด้านล่างต้นไม้เต็มจะปรากฏขึ้นและจำนวนคะแนนในตัวอย่างนี้คือ 16 โครงร่างสีน้ำเงินสี่เหลี่ยมระบุสี่เหลี่ยมที่น่าสนใจซึ่งจะถูกผลักไปยังคิวลำดับความสำคัญและตัวเลขที่อยู่ตรงกลางระบุตัวเลขใน ซึ่งพวกเขาถูกผลัก จุดที่ค้นพบใบไม้จะถูกระบุด้วยหมายเลขรอบที่พวกเขาจะคิด วงกลมสีน้ำเงินโปร่งใสสามวงแสดงรัศมี NN ที่รู้จักหลังจากรอบที่ 1, 2 และรอบที่ 7 (เพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดจะเห็นเป็นครั้งแรกในรอบที่ 7) มีทั้งหมด 12 รอบ (6 ป๊อปอัพสแควร์ล่าสุดเท่านั้นจากคิว แต่ไม่ต้องเพิ่มสแควร์สใหม่)$Q_0$

ฉันใช้ตัวอย่างนี้กับชุดของรูทสแควร์รูทขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ และจำนวนจุดซึ่งระยะห่างของคะแนนยังคงเท่าเดิม (32) นี่เป็นการยืนยันสิ่งที่เห็นได้จากสัญชาตญาณจากภาพ: อัลกอรึทึมต้องการรอบในขณะที่ทฤษฎีบท 13 ที่มีและระบุว่าต้องมีเพียงรอบเท่านั้นd=2ϵ=1O(บันทึกn$O(\sqrt n)$$d = 2$$\epsilon = 1$$O(\log n)$

ดังนั้นหากฉันขาดสิ่งที่สำคัญไปแล้วอัลกอริทึมก็ไม่สามารถบรรลุความเร็วที่ระบุไว้ได้ ความคิดเห็นหรือความคิดใด ๆ