ปัญหา combinatorial ที่เรียบง่าย (?)

ขอให้เราแก้ไขและจำนวนเต็ม 0 $0<E<1$ $t>0$

สำหรับใด ๆและสำหรับเวกเตอร์เช่นนั้น $n$ $\bar{c} \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

ฉันไม่รู้ว่าธรรมบัญญัติเป็นจริงหรือไม่ ฉันคิดว่ามันเป็นเรื่องจริง

สัญชาตญาณของฉันมาจากการสังเกตว่าสำหรับเวกเตอร์ (ด้วยคุณสมบัติที่น่าเบื่อเกี่ยวกับผลรวม) เรามี $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ ; ในกรณีนี้เราสามารถเลือกชุดย่อยจากชุด} $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

ในกรณีอื่น ๆ เราสามารถสร้างชุดย่อยที่ดี (st รวมมากกว่าแล้ว ) โดยใช้พิกัดในแต่อาจใช้พิกัดน้อยจากเซตเราสามารถสร้างฉากดีๆได้! $E \times t$ $\{ i ~|~ c_i > E \}$ $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

ดังนั้นพิสูจน์หรือค้นหาข้อผิดพลาด! หวังว่ามันจะเป็นเกมที่ตลกสำหรับคุณ!

แรงจูงใจของคำถาม :

สมมติว่าคุณมีตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นมาตรวัดโดยทั่วไปของ "จำนวนสุ่ม" ที่มีอยู่ในคือ min-entropy $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

ในแง่ที่เข้าใจง่าย min-entropy เป็นกรณีที่เลวร้ายที่สุดของ Shannon Entropy ที่มีชื่อเสียง (นั่นคือกรณีทั่วไป )

เราสนใจที่จะลดระดับค่าต่ำสุดของตัวแปรสุ่มโดยที่กระจายอย่างสม่ำเสมอในชุด } $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

พูดอย่างถ้าเราโชคดีที่เราสามารถจับบิตของที่มี "เอนโทรปีดี" และเพื่อให้เราถ้าแล้ว $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

ความน่าจะเป็นที่เราโชคดีคืออะไร?

ปัญหาคือการศึกษาที่ดีและมีวรรณกรรมมากมายเช่นดู Lemma A.3 ในการเข้ารหัสคีย์สาธารณะแบบ Leakage-Resilient ในโมเดล Bounded-Retrieval

co.combinatorics it.information-theory

— AntonioFa
แหล่งที่มา

ฉันสับสนด้วยคำศัพท์

)

เนื่องจาก

ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็มมันจะกำหนดได้อย่างไร?

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— Dave Clarke

แรงจูงใจคืออะไร?

— Anthony Labarre

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

การคาดเดาในโพสต์ไม่ได้ถือ แต่การคาดเดาที่อ่อนแอ (เกี่ยวกับพื้น) กล่าวถึงในความคิดเห็นที่จะถือ อันที่จริงมีบางสิ่งที่แข็งแกร่งกว่า

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

$n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

$\lfloor E\, n \rfloor$

$0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

$a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

$S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

$S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

$a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— โอนีลยัง
แหล่งที่มา