ความนำไฟฟ้าและเส้นผ่านศูนย์กลางในกราฟปกติ

$G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

เพิ่มเติมรูปธรรมคิดว่าฉันรู้ว่ามีขนาดเส้นผ่าศูนย์กลางไม่น้อยกว่า D สิ่งนี้บอกอะไรฉันเกี่ยวกับสื่อกระแสไฟฟ้าถ้ามีอะไร และตรงกันข้ามสมมติว่าฉันรู้ว่าสื่อกระแสไฟฟ้าอยู่ที่ส่วนใหญ่ (หรืออย่างน้อย) \สิ่งนี้บอกอะไรฉันเกี่ยวกับเส้นผ่านศูนย์กลาง (ถ้ามี)? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— โรบินสัน
แหล่งที่มา

ดูเหมือนว่าคุณสมบัติที่คุณถามคือการขยายกราฟแทนที่จะเป็นสื่อนำกระแสไฟฟ้าซึ่งถูกกำหนดเป็น

โดยที่

ถูกกำหนดเป็น

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$ ถูกกำหนดให้เป็นคุณต้องการอสังหาริมทรัพย์ประเภทใด?

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ เซียนจิช้าง - ตั้งแต่กราฟเป็นปกติผมเชื่อว่าสื่อกระแสไฟฟ้าและการขยายตัวควรจะขึ้นเดียวกันเพื่อเป็นปัจจัยการคูณของการศึกษาระดับปริญญาd

d

$d$

— robinson

อาฉันไม่ได้สังเกตว่ากราฟเป็นปกติ ขอบคุณสำหรับคำอธิบาย

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-ChihChang 張顯之: ฉันคิดว่าการขยายตัวของกราฟและความนำพาของกราฟเป็นแนวคิดเดียวกัน คุณมีการอ้างอิงถึงคำจำกัดความในความคิดเห็นของคุณหรือไม่?

— ทิม

ในฐานะที่เป็น Hsieh บันทึกความหมายของการเป็นสื่อกระแสไฟฟ้าของคุณออกจากสิ่งที่ฉันรู้โดยปัจจัยของที่เป็นระดับของกราฟปกติ สิ่งนี้เรียกว่าการขยายขอบสำหรับกราฟปกติ $d$ $d$

ความสัมพันธ์ระหว่างการขยายขอบและเส้นผ่านศูนย์กลางค่อนข้างง่ายที่จะแสดง โดยสัญชาตญาณเครื่องขยายเป็น "เหมือน" กราฟที่สมบูรณ์ดังนั้นทุกจุดจึง "ปิด" ซึ่งกันและกัน เป็นทางการมากขึ้นให้

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

ใช้ชุดของจุดยอดกับ 2มีอย่างน้อยขอบออกมาจากและตั้งแต่เป็นปกติพื้นที่ใกล้เคียงของ (รวมถึงเอง) มีขนาดอย่างน้อย. การใช้การอ้างสิทธิ์นี้เหนี่ยวนำโดยเริ่มต้นจากเราจะเห็นว่าสำหรับบาง $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ สำหรับจุดสุดยอดใด ๆ $S = \{u\}$ $u$ , 's -hop เขตมีขนาดอย่างน้อย 2ดังนั้นย่าน -hop ของจุดยอดใด ๆต้องตัดกันย่าน -hop ของหรือกราฟจะมีมากกว่าจุดยอดความขัดแย้ง ดังนั้นคุณมี $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

แน่นอนว่าตามด้วยการมีขอบเขตล่างของเส้นผ่านศูนย์กลางแสดงถึงขอบบนของการขยายขอบ

ฉันไม่คิดว่าเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็กแปลว่าสื่อนำไฟฟ้า หากคุณไม่ยืนยันในกราฟปกติ (และใช้คำจำกัดความของ Hsieh) กราฟที่สมบูรณ์สองเส้นที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นขอบเดียวจะแสดงตัวอย่างตัวอย่าง

— Sasho Nikolov
แหล่งที่มา

ฉันกำลังจะโพสต์คำตอบและตอนนี้ฉันไม่จำเป็นต้องฉันสามารถ upvote ของคุณแทน;) ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ดี!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

ฉันหวังว่าเวลารวมที่คุณและผมใช้เวลาห่างจากการวิจัยได้รับการลด :)

— Sasho Nikolov

@robinson: ความจริงที่เรียบง่ายและการผสมอย่างรวดเร็วเป็นพื้นฐานของการใช้งาน (ส่วนใหญ่?) ของตระกูลแผ่ขยายของกราฟปกติ คุณสมบัติเส้นผ่านศูนย์กลางขนาดเล็กเช่นเป็นพื้นฐานของแอปพลิเคชันในการแก้ปัญหาการเชื่อมต่อเซนต์ใน logspace

— Sasho Nikolov

คำตอบเดิมของฉันมีข้อผิดพลาด: อาร์กิวเมนต์ที่ฉันเขียนนั้นใช้สำหรับการขยายจุดสุดยอด แต่เรากำลังทำงานกับการขยายขอบที่นี่ ฉันได้แก้ไขข้อผิดพลาดและขอบเขตตอนนี้แย่ลงเล็กน้อย

— Sasho Nikolov