กฎ equational มาตรฐานสำหรับประเภทที่ว่างเปล่าเป็นคุณคาดการณ์ 0 นึกถึงโมเดลเซตเชิงทฤษฎีมาตรฐานโดยที่เซตถูกตีความโดยประเภท: ประเภทรวมเป็นสหภาพที่แยกจากกันและประเภทที่ว่างเปล่าคือชุดที่ว่างเปล่า ดังนั้นสองฟังก์ชั่นE , E ' : แกมมา→การ0ยังต้องเท่ากันเนื่องจากพวกเขามีกราฟที่พบบ่อย (กล่าวคือรูปแบบของกราฟว่างเปล่า) .Γ⊢e=e′:0e,e′:Γ→0
ประเภทที่ว่างเปล่าไม่มีกฎเนื่องจากไม่มีรูปแบบการแนะนำให้มัน กฎเพียง equational มันเป็นη -rule อย่างไรก็ตามขึ้นอยู่กับว่าคุณต้องการตีความอย่างเคร่งครัดว่าอะไรคือกฏกทพ. คุณอาจต้องการแยกย่อยนี้ออกเป็นηบวกกับการแปลงเป็นกระแสไฟฟ้า เข้มงวดη -rule คือ:βηηη
e=initial(e)
ความแปรปรวนในการเดินทางคือ:
C[initial(e)]=initial(e)
แก้ไข:
นี่คือเหตุผลที่ distributivity ประเภทศูนย์หมายถึงความเท่าเทียมกันของทุกแผนที่→ 0A→0
เพื่อแก้ไขโน้ตลองเขียนกันจะเป็นแผนที่ที่ไม่ซ้ำกันจาก0ไปและขอให้เขียนอีเมล์: → 0จะเป็นแผนที่จากไป0!A:0→A0Ae:A→0A0
ตอนนี้สภาพ distributivity บอกว่ามีมอร์ฟ 0 เนื่องจากวัตถุเริ่มต้นนั้นมีลักษณะเฉพาะกับมอร์ฟิซึ่มส์ซึ่งหมายความว่าA × 0เป็นวัตถุเริ่มต้น ตอนนี้เราสามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าตัวเองเป็นวัตถุเริ่มต้นi:0≃A×0A×0A
เนื่องจากเป็นวัตถุเริ่มต้นเราจึงรู้แผนที่π 1 : A × 0 → Aและ! ∘ เธ2มีค่าเท่ากันA×0π1:A×0→A!A∘π2
ตอนนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นวัตถุแรกเราต้องแสดงให้เห็นมอร์ฟระหว่างมันและ0 เลือกe : A → 0และ! A : 0 → Aเป็นองค์ประกอบของ isomorphism เราต้องการแสดงให้เห็นว่า
e ∘ ! A = i d 0และ! ∘ E = ฉันวันที่A0e:A→0!A:0→Ae∘!A=id0!A∘e=idA
แสดงว่าเป็นแบบทันทีเนื่องจากมีแผนที่ประเภท0 → 0เพียงอันเดียวและเรารู้ว่ามีแผนที่ประจำตัวอยู่เสมอe∘!A=id00→0
ในการแสดงทิศทางอื่นให้สังเกต
idA===π1∘(idA,e)!A∘π2∘(idA,e)!A∘eProduct equationsSince A×0 is initialProduct equations
ดังนั้นเราจึงมีมอร์ฟิซึ่มและดังนั้นAจึงเป็นวัตถุเริ่มต้น ดังนั้นแผนที่→ 0จะไม่ซ้ำกันและดังนั้นหากคุณมีE , E ' : → 0แล้วE = อี 'A≃0AA→0e,e′:A→0e=e′
แก้ไข 2: ปรากฎว่าสถานการณ์ดูดีกว่าที่ฉันคิดไว้ ฉันเรียนรู้จาก Ulrich Bucholz ว่ามันชัดเจน (ในแง่ของคณิตศาสตร์ของ ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่น่ารัก:
Hom((A+B)×C,(A+B)×C)≃≃≃≃≃Hom((A+B)×C,(A+B)×C)Hom((A+B),C→(A+B)×C)Hom(A,C→(A+B)×C)×Hom(B,C→(A+B)×C)Hom(A×C,(A+B)×C)×Hom(B×C,(A+B)×C)Hom((A×C)+(B×C),(A+B)×C)