อะไรคือกฎเท่าเทียมกันสำหรับประเภทศูนย์?


13

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ : ในขณะที่ฉันสนใจทฤษฎีประเภทฉันไม่คิดว่าตัวเองเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีประเภท

ในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ไว้ชนิด zeroไม่มีตัวสร้างและตัวกำจัดที่ไม่ซ้ำกัน:

ΓM:0Γinitial(M):A

จากจุด denotational ในมุมมองของสมการที่ initial(M1)=initial(M2)จะเห็นได้ชัด (เมื่อชนิดทำให้ความรู้สึก)

แต่จากมุมมองที่ฉันยังสามารถอนุมานว่าเมื่อM,M:0แล้ว: M=M ' การหักนี้ดูแข็งแกร่งขึ้นถึงแม้จะมีรุ่นใดรุ่นหนึ่งที่แสดงว่ามันทำให้ฉันหลง

(ฉันมีสัญชาตญาณเชิงทฤษฎีที่พิสูจน์ว่า: มันไม่สำคัญว่าคุณใช้ความขัดแย้งเพื่อให้ได้มาซึ่งพลเมือง แต่อาจมีหลักฐานที่แตกต่างกัน)

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

  1. อะไรคือกฎหมายสมการมาตรฐานสำหรับประเภทศูนย์?
  2. มีใครบ้างที่จำแนกเป็นηหรือβกฎหมาย?

คำตอบ:


12
  1. กฎ equational มาตรฐานสำหรับประเภทที่ว่างเปล่าเป็นคุณคาดการณ์ 0 นึกถึงโมเดลเซตเชิงทฤษฎีมาตรฐานโดยที่เซตถูกตีความโดยประเภท: ประเภทรวมเป็นสหภาพที่แยกจากกันและประเภทที่ว่างเปล่าคือชุดที่ว่างเปล่า ดังนั้นสองฟังก์ชั่นE , E ' : แกมมา→การ0ยังต้องเท่ากันเนื่องจากพวกเขามีกราฟที่พบบ่อย (กล่าวคือรูปแบบของกราฟว่างเปล่า) .Γe=e:0e,e:Γ0

  2. ประเภทที่ว่างเปล่าไม่มีกฎเนื่องจากไม่มีรูปแบบการแนะนำให้มัน กฎเพียง equational มันเป็นη -rule อย่างไรก็ตามขึ้นอยู่กับว่าคุณต้องการตีความอย่างเคร่งครัดว่าอะไรคือกฏกทพ. คุณอาจต้องการแยกย่อยนี้ออกเป็นηบวกกับการแปลงเป็นกระแสไฟฟ้า เข้มงวดη -rule คือ:βηηη

    e=initial(e)

    ความแปรปรวนในการเดินทางคือ:

    C[initial(e)]=initial(e)

แก้ไข:

นี่คือเหตุผลที่ distributivity ประเภทศูนย์หมายถึงความเท่าเทียมกันของทุกแผนที่ 0A0

เพื่อแก้ไขโน้ตลองเขียนกันจะเป็นแผนที่ที่ไม่ซ้ำกันจาก0ไปและขอให้เขียนอีเมล์: 0จะเป็นแผนที่จากไป0!A:0A0Ae:A0A0

ตอนนี้สภาพ distributivity บอกว่ามีมอร์ฟ 0 เนื่องจากวัตถุเริ่มต้นนั้นมีลักษณะเฉพาะกับมอร์ฟิซึ่มส์ซึ่งหมายความว่าA × 0เป็นวัตถุเริ่มต้น ตอนนี้เราสามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าตัวเองเป็นวัตถุเริ่มต้นi:0A×0A×0A

เนื่องจากเป็นวัตถุเริ่มต้นเราจึงรู้แผนที่π 1 : A × 0 Aและ! เธ2มีค่าเท่ากันA×0π1:A×0A!Aπ2

ตอนนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นวัตถุแรกเราต้องแสดงให้เห็นมอร์ฟระหว่างมันและ0 เลือกe : A 0และ! A : 0 Aเป็นองค์ประกอบของ isomorphism เราต้องการแสดงให้เห็นว่า e ! A = i d 0และ! E = ฉันวันที่A0e:A0!A:0Ae!A=id0!Ae=idA

แสดงว่าเป็นแบบทันทีเนื่องจากมีแผนที่ประเภท0 0เพียงอันเดียวและเรารู้ว่ามีแผนที่ประจำตัวอยู่เสมอe!A=id000

ในการแสดงทิศทางอื่นให้สังเกต

idA=π1(idA,e)Product equations=!Aπ2(idA,e)Since A×0 is initial=!AeProduct equations

ดังนั้นเราจึงมีมอร์ฟิซึ่มและดังนั้นAจึงเป็นวัตถุเริ่มต้น ดังนั้นแผนที่0จะไม่ซ้ำกันและดังนั้นหากคุณมีE , E ' : 0แล้วE = อี 'A0AA0e,e:A0e=e

แก้ไข 2: ปรากฎว่าสถานการณ์ดูดีกว่าที่ฉันคิดไว้ ฉันเรียนรู้จาก Ulrich Bucholz ว่ามันชัดเจน (ในแง่ของคณิตศาสตร์ของ ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่น่ารัก:

Hom((A+B)×C,(A+B)×C)Hom((A+B)×C,(A+B)×C)Hom((A+B),C(A+B)×C)Hom(A,C(A+B)×C)×Hom(B,C(A+B)×C)Hom(A×C,(A+B)×C)×Hom(B×C,(A+B)×C)Hom((A×C)+(B×C),(A+B)×C)

1
เกี่ยวกับ 1: ฉันคิดว่าประเภทศูนย์เป็นวัตถุเริ่มต้น วัตถุเริ่มต้นอาจจะมีลูกศรหลายเข้าไปในพวกเขา แต่เพียงสามารถมีลูกศรออกของพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันไม่เห็นเหตุผลใด ๆ ทันทีว่าทำไมการเป็น bi-CCC หมายถึง 0 ถึงเป็น subterminal มีไหม
Ohad Kammar

ใช่: ข้อเท็จจริงที่ว่า STLC ที่มีผลรวมนั้นต้องการbi-CCC แบบกระจาย ( ) เพื่อตีความและเอกลักษณ์ของ 0 type มาเป็นรุ่น nullary (ลองจดการตีความกฎการกำจัดเพื่อหาผลรวมและคุณจะเห็น)(X×A)+(X×B)X×(A+B)
Neel Krishnaswami

ฉันไม่ทำตาม การแจกแจงมีค่าเป็นจำนวนมีค่าผกผัน เหตุใดจึงบอกเป็นนัยว่ามีค่ากึ่งกลาง initial:0A×00
Ohad Kammar

Aha! ขอบคุณสำหรับการพิสูจน์! และสำหรับความอดทนเช่นกัน!
Ohad Kammar

เกี่ยวกับการแก้ไข 2: adjoints ซ้ายรักษา colimits ถ้าหมวดหมู่คือคาร์ทีเซียนปิดแล้วเป็น adjoint ซ้ายดังนั้นคือผลรวมC ()×C()C(A+B)×C A×C+B×C
Ohad Kammar

8

สมการเพียงจับข้อเท็จจริงที่ว่ามีองค์ประกอบมากที่สุดหนึ่งดังนั้นฉันไม่คิดว่า Neel จับเรื่องราวทั้งหมด ฉันจะ axiomatize ประเภทว่างดังนี้e=e:000

ไม่มีกฎการแนะนำ กฎการกำจัดคือสมการก็คือที่และ\ ตลอดเป็นประเภทใดก็ได้ สมการมีแรงจูงใจดังนี้: หากคุณจัดการเพื่อสร้างคำว่าดังนั้นจะเป็นที่อยู่อาศัยของแต่นี่เป็นเรื่องไร้สาระดังนั้นสมการทั้งหมดจึงถือเป็น อีกวิธีหนึ่งในการบรรลุผลที่เหมือนกันก็คือการสร้างสมการ

e:0magicτ(e):τ.
magicτ(e)=e:τ
e:0e:ττmagicτ(e)0e
x:0,Γe1=e2:τ
ซึ่งอาจไม่ดีนักเพราะมันเล่นกับบริบท ในทางกลับกันมันแสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นว่าเรากำลังระบุความจริงที่ว่า morphisms สองอันใด ๆ จากถึงเท่ากัน (เป็นการเบี่ยงเบนความสนใจใน CCC)0τΓ

1
สวัสดี Andrej สมการที่คุณแนะนำนั้นเป็นไปได้จากการแปลงที่ผมให้ มาจากเนื่องจากไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นจริง ในระยะซ้าย การเปรียบเทียบคือที่ไม่ได้ใช้ผลลัพธ์ของการวิเคราะห์กรณีก็โอเคถ้าคุณทำเช่นเดียวกันในทั้งสองสาขา magic(e)=eC[magic(e)]=magic(e)magic(e)C[case(e,x.e,y.e)]=case(e,x.C[e],y.C[e])
Neel Krishnaswami

ฉันควรเพิ่มว่าฉันชอบงานนำเสนอที่มีบริบทดีกว่า - แน่นอนฉันคิดว่าโดยทั่วไปแล้วมันจะดีที่สุดถ้าคุณยอมให้สมการกับค่าผลรวมในบริบท! นั่นเป็นสิ่งที่ดีกว่าสำหรับการพิสูจน์ที่แท้จริงมากกว่าเกมที่มีการแปลง IMO (IIRC นี่เทียบเท่ากับการเพิ่มข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมของ coproducts ที่เสถียร แต่สำหรับทุกรุ่นที่ฉันสามารถเห็นการดูแลเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้อย่างมีเหตุผล)
Neel Krishnaswami

อ่าใช่เยี่ยมมาก มันสายเกินไปที่ฉันจะคิดเกี่ยวกับการเปลี่ยนเส้นทางดังนั้นฉันจึงแกล้งทำเป็นว่าคุณไม่ได้เขียนบทนั้น ตอนนี้ Ohad สามารถเลือกของเขา
Andrej Bauer

1
ฉันตรวจสอบความถูกต้องของโครงสร้าง ( ,ฯลฯ ) ในคลาสของแบบจำลอง ในขณะที่ฉันรู้ว่าชุดของสมการที่ฉันให้ไม่สมบูรณ์ (คุณต้องการ CBPV ที่มีค่าที่ซับซ้อนและสแต็คสำหรับเรื่องนั้น) อย่างน้อยฉันก็ต้องการจับสมการมาตรฐานที่จะใช้ในการพิสูจน์ความสมบูรณ์ถ้าฉันมีสมการที่เพียงพอ กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันต้องการกฎหมายสมการมาตรฐานสำหรับประเภทศูนย์ ηβ
Ohad Kammar

1
ไม่มีกฎหมายสมการมาตรฐานสำหรับประเภทศูนย์ นักบันทึกมักจะกลัววาทกรรมที่ว่างเปล่าของจักรวาลและนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักจะกลัวชนิดที่ว่างเปล่า พวกเขายังตั้งชื่อประเภทที่ไม่ว่าง "โมฆะ" เพื่อปฏิเสธประเภทที่ว่างเปล่า
Andrej Bauer
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.