อะไรคือกฎเท่าเทียมกันสำหรับประเภทศูนย์?

ข้อจำกัดความรับผิดชอบ : ในขณะที่ฉันสนใจทฤษฎีประเภทฉันไม่คิดว่าตัวเองเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีประเภท

ในแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ไว้ชนิด zeroไม่มีตัวสร้างและตัวกำจัดที่ไม่ซ้ำกัน:

\frac{Γ ⊢ M : 0}{Γ ⊢ i n i t i a l (M) : A}

$\frac{\Gamma \vdash M \colon 0}{\Gamma \vdash initial (M) \colon A}$

จากจุด denotational ในมุมมองของสมการที่ $initial (M_1) = initial(M_2)$ จะเห็นได้ชัด (เมื่อชนิดทำให้ความรู้สึก)

แต่จากมุมมองที่ฉันยังสามารถอนุมานว่าเมื่อ $M,M' \colon 0$ แล้ว: $M = M'$ 'การหักนี้ดูแข็งแกร่งขึ้นถึงแม้จะมีรุ่นใดรุ่นหนึ่งที่แสดงว่ามันทำให้ฉันหลง

(ฉันมีสัญชาตญาณเชิงทฤษฎีที่พิสูจน์ว่า: มันไม่สำคัญว่าคุณใช้ความขัดแย้งเพื่อให้ได้มาซึ่งพลเมือง แต่อาจมีหลักฐานที่แตกต่างกัน)

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

อะไรคือกฎหมายสมการมาตรฐานสำหรับประเภทศูนย์?
มีใครบ้างที่จำแนกเป็น $\eta$ หรือ $\beta$ กฎหมาย?

— Ohad Kammar
แหล่งที่มา

คำตอบ:

กฎ equational มาตรฐานสำหรับประเภทที่ว่างเปล่าเป็นคุณคาดการณ์ 0นึกถึงโมเดลเซตเชิงทฤษฎีมาตรฐานโดยที่เซตถูกตีความโดยประเภท: ประเภทรวมเป็นสหภาพที่แยกจากกันและประเภทที่ว่างเปล่าคือชุดที่ว่างเปล่า ดังนั้นสองฟังก์ชั่นยังต้องเท่ากันเนื่องจากพวกเขามีกราฟที่พบบ่อย (กล่าวคือรูปแบบของกราฟว่างเปล่า) . $\Gamma \vdash e = e' : 0$ $e,e' : \Gamma \to 0$
ประเภทที่ว่างเปล่าไม่มีกฎเนื่องจากไม่มีรูปแบบการแนะนำให้มัน กฎเพียง equational มันเป็น -rule อย่างไรก็ตามขึ้นอยู่กับว่าคุณต้องการตีความอย่างเคร่งครัดว่าอะไรคือกฏกทพ. คุณอาจต้องการแยกย่อยนี้ออกเป็นบวกกับการแปลงเป็นกระแสไฟฟ้า เข้มงวด -rule คือ: $\beta$ $\eta$ $\eta$ $\eta$

$e = i n i t i a l (e)$ $e = \mathrm{initial}(e)$
ความแปรปรวนในการเดินทางคือ:

$C [i n i t i a l (e)] = i n i t i a l (e)$ $C[\mathrm{initial}(e)] = \mathrm{initial}(e)$

แก้ไข:

นี่คือเหตุผลที่ distributivity ประเภทศูนย์หมายถึงความเท่าเทียมกันของทุกแผนที่ 0 $A \to 0$

เพื่อแก้ไขโน้ตลองเขียนกันจะเป็นแผนที่ที่ไม่ซ้ำกันจากไปและขอให้เขียนจะเป็นแผนที่จากไป0 $!_A : 0 \to A$ $0$ $A$ $e : A \to 0$ $A$ $0$

ตอนนี้สภาพ distributivity บอกว่ามีมอร์ฟ 0เนื่องจากวัตถุเริ่มต้นนั้นมีลักษณะเฉพาะกับมอร์ฟิซึ่มส์ซึ่งหมายความว่าเป็นวัตถุเริ่มต้น ตอนนี้เราสามารถใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าตัวเองเป็นวัตถุเริ่มต้น $i : 0 \simeq A \times 0$ $A \times 0$ $A$

เนื่องจากเป็นวัตถุเริ่มต้นเราจึงรู้แผนที่และมีค่าเท่ากัน $A \times 0$ $\pi_1 : A \times 0 \to A$ $!_A \circ \pi_2$

ตอนนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นวัตถุแรกเราต้องแสดงให้เห็นมอร์ฟระหว่างมันและ0เลือกและเป็นองค์ประกอบของ isomorphism เราต้องการแสดงให้เห็นว่า และ $A$ $0$ $e : A \to 0$ $!_A : 0 \to A$ $e \circ !_A = id_0$ $!_A \circ e = id_A$

แสดงว่าเป็นแบบทันทีเนื่องจากมีแผนที่ประเภทเพียงอันเดียวและเรารู้ว่ามีแผนที่ประจำตัวอยู่เสมอ $e \circ !_A = id_0$ $0 \to 0$

ในการแสดงทิศทางอื่นให้สังเกต

\begin{array}{lcll} i d_{A} & = & π_{1} \circ (i d_{A}, e) & Product equations \\ = & !_{A} \circ π_{2} \circ (i d_{A}, e) & Since A \times 0 is initial \\ = & !_{A} \circ e & Product equations \end{array}

$\begin{array}{lcll} id_A & = & \pi_1 \circ (id_A, e) & \mbox{Product equations} \\ & = & !_A \circ \pi_2 \circ (id_A, e) & \mbox{Since $A\times 0$ is initial} \\ & = & !_A \circ e & \mbox{Product equations} \end{array}$

ดังนั้นเราจึงมีมอร์ฟิซึ่มและดังนั้นจึงเป็นวัตถุเริ่มต้น ดังนั้นแผนที่จะไม่ซ้ำกันและดังนั้นหากคุณมีแล้ว ' $A \simeq 0$ $A$ $A \to 0$ $e,e' : A \to 0$ $e = e'$

แก้ไข 2: ปรากฎว่าสถานการณ์ดูดีกว่าที่ฉันคิดไว้ ฉันเรียนรู้จาก Ulrich Bucholz ว่ามันชัดเจน (ในแง่ของคณิตศาสตร์ของ ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ที่น่ารัก: $\newcommand{\Hom}{\mathrm{Hom}}$

\begin{array}{lcl} H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) & ≃ & H o m ((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A, C \to (A + B) \times C) \times H o m (B, C \to (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m (A \times C, (A + B) \times C) \times H o m (B \times C, (A + B) \times C) \\ ≃ & H o m ((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) & \simeq & \Hom((A + B) \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A + B), C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A , C \to (A + B) \times C) \times \Hom(B, C \to (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom(A \times C, (A + B) \times C) \times \Hom(B \times C, (A + B) \times C) \\ & \simeq & \Hom((A \times C) + (B \times C), (A + B) \times C) \end{array}$

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

เกี่ยวกับ 1: ฉันคิดว่าประเภทศูนย์เป็นวัตถุเริ่มต้น วัตถุเริ่มต้นอาจจะมีลูกศรหลายเข้าไปในพวกเขา แต่เพียงสามารถมีลูกศรออกของพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันไม่เห็นเหตุผลใด ๆ ทันทีว่าทำไมการเป็น bi-CCC หมายถึง 0 ถึงเป็น subterminal มีไหม

— Ohad Kammar

ใช่: ข้อเท็จจริงที่ว่า STLC ที่มีผลรวมนั้นต้องการbi-CCC แบบกระจาย ( ) เพื่อตีความและเอกลักษณ์ของ 0 type มาเป็นรุ่น nullary (ลองจดการตีความกฎการกำจัดเพื่อหาผลรวมและคุณจะเห็น)

(X \times A) + (X \times B) ≃ X \times (A + B)

$(X \times A) + (X \times B) \simeq X \times (A+B)$

— Neel Krishnaswami

ฉันไม่ทำตาม การแจกแจงมีค่าเป็นจำนวนมีค่าผกผัน เหตุใดจึงบอกเป็นนัยว่ามีค่ากึ่งกลาง

i n i t i a l : 0 \to A \times 0

$initial : 0 \to A\times 0$

0

$0$

— Ohad Kammar

Aha! ขอบคุณสำหรับการพิสูจน์! และสำหรับความอดทนเช่นกัน!

— Ohad Kammar

เกี่ยวกับการแก้ไข 2: adjoints ซ้ายรักษา colimits ถ้าหมวดหมู่คือคาร์ทีเซียนปิดแล้วเป็น adjoint ซ้ายดังนั้นคือผลรวมC

(-) \times C

$(-)\times C$

(-)^{C}

$(-)^C$

(A + B) \times C

$(A+B)\times C$

A \times C + B \times C

$A\times C + B\times C$

— Ohad Kammar

สมการเพียงจับข้อเท็จจริงที่ว่ามีองค์ประกอบมากที่สุดหนึ่งดังนั้นฉันไม่คิดว่า Neel จับเรื่องราวทั้งหมด ฉันจะ axiomatize ประเภทว่างดังนี้ $e = e' : 0$ $0$ $0$

ไม่มีกฎการแนะนำ กฎการกำจัดคือสมการก็คือที่และ\ ตลอดเป็นประเภทใดก็ได้ สมการมีแรงจูงใจดังนี้: หากคุณจัดการเพื่อสร้างคำว่าดังนั้นจะเป็นที่อยู่อาศัยของแต่นี่เป็นเรื่องไร้สาระดังนั้นสมการทั้งหมดจึงถือเป็น อีกวิธีหนึ่งในการบรรลุผลที่เหมือนกันก็คือการสร้างสมการ

\frac{e : 0}{{m a g i c}_{τ} (e) : τ} .

$\frac{e : 0}{\mathtt{magic}_\tau(e) : \tau}.$

{m a g i c}_{τ} (e) = e^{'} : τ

$\mathtt{magic}_\tau(e) = e' : \tau$

e : 0

$e : 0$

e^{'} : τ

$e' : \tau$

τ

$\tau$

{m a g i c}_{τ} (e)

$\mathtt{magic}_\tau(e)$

0

$0$

e

$e$

x : 0, Γ ⊢ e_{1} = e_{2} : τ

$x : 0, \Gamma \vdash e_1 = e_2 : \tau$ ซึ่งอาจไม่ดีนักเพราะมันเล่นกับบริบท ในทางกลับกันมันแสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นว่าเรากำลังระบุความจริงที่ว่า morphisms สองอันใด ๆ จากถึงเท่ากัน (เป็นการเบี่ยงเบนความสนใจใน CCC)

0

$0$

τ

$\tau$

Γ

$\Gamma$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

สวัสดี Andrej สมการที่คุณแนะนำนั้นเป็นไปได้จากการแปลงที่ผมให้ มาจากเนื่องจากไม่จำเป็นต้องเกิดขึ้นจริง ในระยะซ้าย การเปรียบเทียบคือที่ไม่ได้ใช้ผลลัพธ์ของการวิเคราะห์กรณีก็โอเคถ้าคุณทำเช่นเดียวกันในทั้งสองสาขา

m a g i c (e) = e^{'}

$\mathtt{magic}(e) = e'$

C [m a g i c (e)] = m a g i c (e)

$C[\mathtt{magic}(e)] = \mathtt{magic}(e)$

m a g i c (e)

$\mathtt{magic}(e)$

C [c a s e (e, x . e^{'}, y . e^{″})] = c a s e (e, x . C [e^{'}], y . C [e^{″}])

$C[\mathtt{case}(e,x.\;e',y.\;e'')] = \mathtt{case}(e, x.\;C[e'], y.\;C[e''])$

— Neel Krishnaswami

ฉันควรเพิ่มว่าฉันชอบงานนำเสนอที่มีบริบทดีกว่า - แน่นอนฉันคิดว่าโดยทั่วไปแล้วมันจะดีที่สุดถ้าคุณยอมให้สมการกับค่าผลรวมในบริบท! นั่นเป็นสิ่งที่ดีกว่าสำหรับการพิสูจน์ที่แท้จริงมากกว่าเกมที่มีการแปลง IMO (IIRC นี่เทียบเท่ากับการเพิ่มข้อสันนิษฐานเพิ่มเติมของ coproducts ที่เสถียร แต่สำหรับทุกรุ่นที่ฉันสามารถเห็นการดูแลเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้อย่างมีเหตุผล)

— Neel Krishnaswami

อ่าใช่เยี่ยมมาก มันสายเกินไปที่ฉันจะคิดเกี่ยวกับการเปลี่ยนเส้นทางดังนั้นฉันจึงแกล้งทำเป็นว่าคุณไม่ได้เขียนบทนั้น ตอนนี้ Ohad สามารถเลือกของเขา

— Andrej Bauer

ฉันตรวจสอบความถูกต้องของโครงสร้าง ( ,ฯลฯ ) ในคลาสของแบบจำลอง ในขณะที่ฉันรู้ว่าชุดของสมการที่ฉันให้ไม่สมบูรณ์ (คุณต้องการ CBPV ที่มีค่าที่ซับซ้อนและสแต็คสำหรับเรื่องนั้น) อย่างน้อยฉันก็ต้องการจับสมการมาตรฐานที่จะใช้ในการพิสูจน์ความสมบูรณ์ถ้าฉันมีสมการที่เพียงพอ กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันต้องการกฎหมายสมการมาตรฐานสำหรับประเภทศูนย์

η

$\eta$

β

$\beta$

— Ohad Kammar

ไม่มีกฎหมายสมการมาตรฐานสำหรับประเภทศูนย์ นักบันทึกมักจะกลัววาทกรรมที่ว่างเปล่าของจักรวาลและนักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์มักจะกลัวชนิดที่ว่างเปล่า พวกเขายังตั้งชื่อประเภทที่ไม่ว่าง "โมฆะ" เพื่อปฏิเสธประเภทที่ว่างเปล่า

— Andrej Bauer