ความสัมพันธ์ระหว่างความแข็งของการรับรู้ของคลาสกราฟและการระบุลักษณะกราฟย่อยที่ต้องห้าม

ฉันกำลังพิจารณาชั้นเรียนกราฟที่สามารถโดดเด่นด้วยกราฟย่อยที่ต้องห้าม

หากคลาสกราฟมีเซตย่อยของข้อ จำกัด ที่ต้องห้ามแสดงว่ามีอัลกอริทึมการจดจำเวลาแบบโพลิโนเมียลเล็กน้อย (เราสามารถใช้กำลังดุร้าย) ได้ แต่ครอบครัวที่ไม่มีที่สิ้นสุดของ subgraphs ต้องห้ามไม่ได้บ่งบอกถึงความแข็ง: มีบางคลาสที่มีรายการ subgraphs ต้องห้ามที่ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นนั้นเพื่อให้การรู้จำสามารถถูกทดสอบในเวลาพหุนาม กราฟคอร์ดและเพอร์เฟ็กต์เป็นตัวอย่าง แต่ในกรณีเหล่านั้นมีโครงสร้างที่ "ดี" ในตระกูลต้องห้าม

มีความสัมพันธ์ระหว่างความแข็งของการจดจำชั้นเรียนกับ "พฤติกรรมที่ไม่ดี" ของครอบครัวต้องห้ามหรือไม่? ความสัมพันธ์ดังกล่าวควรมีอยู่จริง? "พฤติกรรมที่ไม่ดี" นี้ได้ถูกทำให้เป็นระเบียบที่ไหน

cc.complexity-theory graph-theory np-hardness

— Vinicius dos Santos
แหล่งที่มา

คำตอบ:

แม้ว่าจะดูเป็นเรื่องง่ายที่รายการของกราฟย่อยที่ต้องห้าม (เกิดขึ้น) สำหรับคลาสของกราฟที่มีการรับรู้ NP-hard ควรมีความซับซ้อน "ที่แท้จริง" บางอย่างฉันเพิ่งพบหลักฐานเชิงลบที่โดดเด่นบางอย่างสำหรับสัญชาตญาณนี้ $\mathscr{C}$

บางทีอาจจะง่ายที่สุดในการอธิบายเป็นดังต่อไปนี้นำมาจากบทความโดยบี Leveque, D. หลินเอฟ Maffray และเอ็น Trotignon

ให้จะเป็นครอบครัวของกราฟซึ่งจะประกอบด้วยวงจรของความยาวอย่างน้อยสี่บวกสามจุดสองที่อยู่ติดกับจุดสุดยอดเดียวกันของวงจรและเป็นหนึ่งที่อยู่ติดกับจุดสุดยอดของวงจรที่และมี ไม่ต่อเนื่องกันในรอบ (และไม่มีขอบอื่น ๆ ) $F$ $u$ $v$ $u$ $v$

ตอนนี้ขอจะเป็นครอบครัวของกราฟซึ่งจะประกอบไปตรงทางเดียวกันยกเว้นว่าคุณเพิ่มสี่จุดสองที่อยู่ติดกับจุดสุดยอดเดียวกันของวงจร (เป็นมาก่อน) แต่ตอนนี้ทั้งสองอยู่ติดกับจุดสุดยอดเดียวกันของ วงจรที่และไม่ต่อเนื่องกัน $F'$ $u$ $v$ $u$ $v$

จากนั้นคลาสของกราฟที่มีเป็น subgraphs เหนี่ยวนำที่ต้องห้ามมีการรับรู้พหุนามเวลาในขณะที่การรับรู้ของชั้นที่มีเป็น subgraphs เหนี่ยวนำที่ต้องห้ามคือ NP-hard $F$ $F'$

ดังนั้นฉันจึงพบว่ามันยากที่จะเข้าใจสภาพทั่วไปใด ๆว่ารายการ subgraphs ที่ถูกเหนี่ยวนำต้องห้ามนั้นต้องทำให้พอใจเมื่อมันส่งผลในคลาสที่มี (NP-) การจดจำอย่างหนักเมื่อพิจารณาว่าเงื่อนไขดังกล่าวจะต้องแยก "คล้ายกันมาก" และด้านบน $F$ $F'$

— Hugo Nobrega
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี - นั่นค่อนข้างบอบบาง

— Suresh Venkat

น่าสนใจ มีโอกาสที่สิ่งนี้จะเกี่ยวข้องกับการแสดงออกของตรรกะที่จำเป็นในการอธิบายรูปแบบหรือไม่? ฉันกำลังคิดถึงบางสิ่งบางอย่างเช่นภาษาที่เป็นทางการซึ่งความซับซ้อนของภาษานั้นสามารถจำแนกได้อย่างเท่าเทียมกันตามวิธีที่กำหนดไว้ (regexp, ไวยากรณ์ที่เป็นทางการ ... ) หรือเครื่องที่จำเป็นต้องจดจำ (Automaton, Pushdown ... ) หรือการแสดงออกของตรรกะที่จำเป็นในการเขียนสูตรที่อธิบายลักษณะของคำภาษา (MSO สำหรับภาษาปกติเป็นต้น)

— a3nm

นั่นเป็นความคิดที่น่าสนใจอีกครั้ง แต่ผมไม่สามารถช่วย แต่คิดว่า

และ

มีเพื่อให้ใกล้ชิดว่ามันยากที่จะจินตนาการวิธีการ "แยก" พวกเขาเช่นนั้น (พูดโดย

เป็นพรรณนาในภาษาที่

ไม่ได้ ) ฉันอาจจะเป็นเชิงลบมากเกินไปแม้ว่า .. ! ฉันยอมรับว่า "สัญชาตญาณ" ที่นี่ดังนั้นฉันยินดีที่ได้รับการพิสูจน์ว่าผิด

F

$F$

F^{'}

$F'$

F

$F$

F^{'}

$F'$

— Hugo Nobrega

@Hugo: หนึ่งความแตกต่างระหว่างพวกเขามีตัวตนเป็นสมมาตรในลักษณะของ

- มีเนื้อแท้ไม่มีวิธีการแยกความแตกต่างระหว่างจุด

และV

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณพิจารณาครอบครัว

F^{'}

$F'$

u

$u$

v

$v$

รอบความยาวอย่างน้อยสี่บวกสองจุดเพิ่มเติมที่อยู่ติดกับ Verts ไม่ต่อเนื่องกันในวงจรหรือไม่ การคืนค่าสมมาตรในทิศทาง 'อื่น ๆ ' (การลบจุดยอดออกจาก

แทนที่จะเพิ่มหนึ่งจุด) ทำให้มันยากขึ้นอีกหรือไม่

F_{0}

$F_0$

F

$F$

— Steven Stadnicki

@Steven: ฉันเดาไม่ได้เราสามารถตรวจจับกราฟใน

โดยการสุ่ม 8 โหนดเพื่อสร้างทั้งสองด้านของกราฟและดำเนินการอัลกอริธึมแบบสามในต้นไม้ในสามโหนดเช่นเดียวกับทฤษฎีบท 3.1 นี้จะช่วยให้ขั้นตอนวิธีการพหุนามเวลาสำหรับการตรวจสอบ

F_{0}

$F_0$

F_{0}

$F_0$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

คำตอบโดย @Hugo นั้นดีจริงๆและที่นี่ฉันต้องการเพิ่มความคิดเห็นส่วนตัว

มีตระกูลที่เกี่ยวข้องกันคล้ายกับกราฟในตระกูล F และ F ' กราฟในตระกูล B1 ในบทความมักเรียกว่าปิรามิด และกราฟในตระกูล B2 มักเรียกว่าปริซึม ดูคำตอบได้ที่นี่สำหรับภาพประกอบ ในวรรณคดีของปัญหาการตรวจจับกราฟย่อยเหนี่ยวนำพวกเขาถูกใช้สำหรับการตรวจสอบหลุมคู่ / คี่ซึ่งเป็นวงจรที่ไม่มีตัวตนที่มีความยาวคู่ / คี่ จากทฤษฎีกราฟที่สมบูรณ์แบบที่มีชื่อเสียงโด่งดังกราฟ G นั้นสมบูรณ์แบบถ้าทั้ง G และส่วนประกอบของ G ไม่มีรูแปลก ๆ

สำหรับครอบครัวของปิรามิดและปริซึมในความเป็นจริงมีความแตกต่างระหว่างพวกเขา - หนึ่งมีทรีย่อยของสามใบและคนอื่นไม่ได้ สิ่งนี้เรียกว่าปัญหา"สามในต้นไม้"ซึ่งได้รับการศึกษาโดย Chudnovsky และ Seymour มันเป็นเรื่องที่น่าแปลกใจที่กำหนดถ้ามีต้นไม้เหนี่ยวนำซึ่งมีสามโหนดให้เป็นซูฮกในขณะที่ "สี่หนึ่งในศูนย์กลางต้นไม้" ปัญหาคือ NP-ยาก (ต้นไม้ที่อยู่กึ่งกลางเป็นต้นไม้ที่มีอย่างน้อยหนึ่งโหนดที่มีระดับมากกว่า 2) ความแตกต่างระหว่าง F และ F 'ดูเหมือนจะเกิดจากเหตุผลเดียวกัน

แต่ดูเหมือนว่าลักษณะที่สมบูรณ์ยังคงเป็นเรื่องยากเพราะเราไม่รู้ถึงความซับซ้อนในการตรวจสอบกราฟในบางตระกูลที่ดูเรียบง่ายพอเช่นกราฟที่ไม่มีรูแปลก ๆ (!) และสำหรับครอบครัวที่เรารู้ว่ามีอัลกอริธึมแบบพหุนามเวลาอยู่เช่นกราฟที่สมบูรณ์และกราฟที่ไม่มีรูถึงแม้ว่าจะมีกลวิธีทั่วไป (อิงจากการย่อยสลาย) เพื่อออกแบบอัลกอริทึม พวกเขา โดยปกติจะเป็นกระบวนการที่ขึ้นอยู่กับครอบครัวและส่วนใหญ่เวลาพิสูจน์จะยาวมาก ( นี่คือตัวอย่างสำหรับกราฟที่ไม่มีรูคู่ซึ่งกระดาษมีมากกว่า 90 หน้า)

ถึงกระนั้นมันก็น่าสนใจที่จะมีการจัดประเภทบางอย่างสำหรับปัญหาการตรวจจับกราฟย่อยที่เหนี่ยวนำในแง่ที่เหมือนกับปัญหาสามในต้นไม้

— เซียน - จื้อฉาง張顯之
แหล่งที่มา