ให้ dag แบบถ่วงน้ำหนักมีอัลกอริทึม O (V + E) เพื่อแทนที่แต่ละน้ำหนักด้วยผลรวมของน้ำหนักของบรรพบุรุษหรือไม่

แน่นอนปัญหาคือการนับซ้ำ มันง่ายพอที่จะทำสำหรับคลาสของ DAGs = a tree หรือแม้แต่ต้นไม้แบบขนาน อัลกอริทึมเดียวที่ฉันได้พบซึ่งทำงานบน DAG ทั่วไปในเวลาที่เหมาะสมคือประมาณหนึ่ง (การสรุปเรื่องย่อ) แต่การเพิ่มความแม่นยำของมันนั้นขึ้นอยู่กับจำนวนบิต (และฉันต้องการบิตจำนวนมาก)

พื้นหลัง: งานนี้เสร็จสิ้น (หลายครั้งด้วย 'น้ำหนัก' ที่แตกต่างกัน) ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของการคำนวณความน่าจะเป็นใน BBChop (http://github.com/ealdwulf/bbchop) โปรแกรมสำหรับค้นหาข้อผิดพลาดที่ไม่ต่อเนื่อง (เช่นเวอร์ชัน Bayesian ของ ' git bisect ') DAG ที่เป็นปัญหาจึงเป็นประวัติการแก้ไข นั่นหมายความว่าจำนวนของขอบไม่น่าจะเข้าหากำลังสองของจำนวนโหนดได้มันน่าจะน้อยกว่า k คูณจำนวนโหนดสำหรับบางขนาดเล็ก k น่าเสียดายที่ฉันไม่พบคุณสมบัติที่มีประโยชน์อื่น ๆ ของการแก้ไข DAG ตัวอย่างเช่นฉันหวังว่าส่วนประกอบ triconnected ที่ใหญ่ที่สุดจะเติบโตได้เฉพาะในฐานะสแควร์รูทของจำนวนโหนด แต่น่าเศร้า (อย่างน้อยที่สุดในประวัติศาสตร์ของเคอร์เนลลินุกซ์) มันจะเติบโตเป็นเส้นตรง

เราคิดว่าน้ำหนักยอดสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกโดยพลการหรืออย่างแม่นยำมากขึ้นพวกเขาสามารถเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุด 2 n จากนั้นงานปัจจุบันจะไม่สามารถดำเนินการได้แม้ในเวลาที่ จำกัด น้อยกว่าเล็กน้อย O ( n ² ) เว้นแต่ว่าการคำนวณสกรรมกริยาของกราฟกำกับที่กำหนดเองสามารถคำนวณได้ในเวลา O ( n ² ) โดยที่nหมายถึงจำนวนของจุดยอด (โปรดทราบว่าอัลกอริทึมO ( n ² ) - เวลาสำหรับการปิด transitive จะเป็นการฝ่าฝืน) นี่คือการโต้แย้งของการอ้างสิทธิ์ต่อไปนี้:

ข้อเรียกร้อง หากงานปัจจุบันสามารถดำเนินการในเวลา O ( n ² ), การปิดสกรรมกริยาของกราฟกำกับโดยพลการที่กำหนดเป็นเมทริกซ์ adjacency ของมันสามารถคำนวณได้ในเวลา O ( n ² ) (สมมติว่ารูปแบบการคำนวณที่เหมาะสมบางอย่าง)

พิสูจน์ ในฐานะที่เป็น preprocessing เราคำนวณสลายองค์ประกอบที่เชื่อมต่ออย่างยิ่งของการให้กำกับกราฟGในเวลา O ( n ² ) เพื่อให้ได้ DAG G ' โปรดทราบว่าถ้าเราสามารถคำนวณการปิดสกรรมกริยาของG 'เราสามารถสร้างปิดสกรรมกริยาของG

ตอนนี้กำหนดน้ำหนักที่ 2 ^ผมจะจุดสุดยอดในแต่ละฉันของ DAG G 'และใช้อัลกอริทึมสำหรับปัญหาในปัจจุบัน จากนั้นการแทนเลขฐานสองของผลรวมที่กำหนดให้กับแต่ละจุดสุดยอดฉันจะอธิบายถึงชุดบรรพบุรุษของฉันในคำอื่น ๆ เราได้คำนวณการปิด transitive ของG ′ QED

การสนทนาของการเรียกร้องยังคงมีอยู่: หากคุณสามารถคำนวณการปิดสกรรมกริยาของ DAG ที่กำหนดได้ง่ายต่อการคำนวณจำนวนเงินที่ต้องการโดยการทำงานเพิ่มเติมในเวลา O ( n ² ) ดังนั้นในทางทฤษฎีคุณสามารถบรรลุงานปัจจุบันในเวลา O ( n ^2.376 ) โดยใช้อัลกอริทึมสำหรับการปิดสกรรมกริยาขึ้นอยู่กับขั้นตอนวิธีการคูณเมทริกซ์ทองแดง-Winograd

แก้ไข : การแก้ไข 2 และรุ่นก่อนหน้าไม่ได้ระบุสมมติฐานเกี่ยวกับช่วงของน้ำหนักจุดสุดยอดอย่างชัดเจน ต่อ Vognsen ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นว่าข้อสันนิษฐานนี้อาจไม่สมเหตุสมผล (ขอบคุณ!) และฉันเห็นด้วย แม้ว่าจะไม่จำเป็นต้องใช้น้ำหนักตามอำเภอใจในแอปพลิเคชั่น แต่ฉันเดาว่าคำตอบนี้อาจแยกแยะวิธีการบางอย่างด้วยการให้เหตุผลต่อไปนี้:“ หากวิธีนี้ใช้ได้ผลมันจะให้อัลกอริธึมสำหรับน้ำหนักตามอำเภอใจ สามารถคำนวณการปิดได้ในเวลา O ( n ² )”

แก้ไข : การแก้ไข 4 และก่อนหน้านี้ระบุทิศทางของขอบอย่างไม่ถูกต้อง

นี่เป็นการขยายความคิดเห็นของฉันต่อคำตอบของ Tsuyoshi ฉันคิดว่าคำตอบเชิงลบสำหรับคำถามนั้นสามารถสร้างขึ้นได้โดยไม่มีเงื่อนไข

ดูเหมือนว่าปัญหานี้ต้องการการดำเนินการเพิ่มเติมในกรณีที่เลวร้ายที่สุดแม้สำหรับกราฟที่มีขอบดังนั้นจึงดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุขอบเขตที่ต้องการ$\omega(n)$$O(n)$

พิจารณากราฟซึ่งประกอบด้วยจุดยอด , จัดเรียงในตาราง จุดยอดในแต่ละแถวขึ้นอยู่กับจุดยอดสองจุดอย่างแม่นยำในแถวด้านบน ตระกูลประกอบด้วยกราฟเช่นนี้สำหรับการรวมค่าและที่เหมาะสมและการจัดเรียงของขอบที่เหมาะสม$G_{r,c}$$r \times c$$r$$r$$c$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งให้และn นอกจากนี้ให้น้ำหนักของจุดยอดแถวบนเป็นพลังที่แตกต่างกันของ 2$r = (\log\ n)/2$$c = 2n/\log\ n$

แต่ละจุดยอดในแถวด้านล่างจะขึ้นอยู่กับจุดยอดในแถวบนสุด เท่าที่ฉันสามารถบอกได้มี DAG ที่เฉพาะเจาะจงที่มีค่าแตกต่างกันสำหรับน้ำหนักแถวล่างแต่ละแถวเช่นไม่สามารถนำกลับมาใช้ซ้ำได้จะต้องมีค่าเฉลี่ยสำหรับผลรวมแต่ละรายการเหล่านี้$\sqrt{n}$$\omega(\log\ n)$

โดยรวมอัตราผลตอบแทนนี้ลดผูกพันสำหรับจำนวนของการเพิ่มในขณะที่จำนวนขอบเป็น(n)$\omega(n)$$2c(r-1) = O(n)$

ประเด็นดูเหมือนว่าคำสั่งพื้นฐานบางส่วนนั้นมีความหนาแน่นสูง แต่ DAG แสดงถึงการลดลงของสกรรมกริยาซึ่งอาจเบาบาง

สิ่งนี้ผิดและตั้งอยู่บนพื้นฐานของความเข้าใจผิดในคำถาม ขอบคุณ Tsuyoshi ที่คอยชี้ให้เห็นข้อผิดพลาดของฉันอย่างอดทน การลาออกในกรณีที่คนอื่นทำผิดพลาดเหมือนกัน

หากจำนวนของรุ่นก่อนหน้าของโหนดถูกล้อมรอบด้วยดังนั้นอัลกอริธึมที่จัดเรียงทอพอโลยีก่อนจากนั้นประมวลผลโหนดตามลำดับนี้จะทำงาน แนะนำให้ทำการวัดจำนวนผู้ที่มาก่อนโดยทันทีโดยดู DAG ว่าเป็นคำสั่งบางส่วน รุ่นที่มีจำนวน จำกัด ของรุ่นก่อนหน้าในทันทีอาจเหมาะสมสำหรับประวัติการแก้ไขซึ่งมีเพียงไม่กี่ไฟล์เท่านั้นที่มีการเปลี่ยนแปลงโดยการแก้ไขส่วนใหญ่$k$

ประเด็นก็คือว่าในกรณีพิเศษนี้สำหรับแต่ละโหนดมีที่มากที่สุดรุ่นก่อนในระยะยาวเพื่อที่จะต้องมองไปที่ดังนั้นนี้สามารถทำได้ด้วยเพิ่มเติม$k$$O(k|V|)$

การจัดเรียงโทโพโลยีต้องใช้เวลาเวลาซึ่งจะช่วยให้คุณมีเส้นกำกับที่คุณกำลังมองหา แต่ในแอปพลิเคชันที่คุณอธิบายจำนวนเชิงเส้นของส่วนเพิ่มเติมมีแนวโน้มที่จะครอง$O(|V|+|E|)$

วิธีการนี้ควรทำงานได้ดีหากมีบางโหนดที่มีรุ่นก่อนหน้าจำนวนมากตราบใดที่โหนดเหล่านี้ไม่บ่อยนัก