สามารถแสดงค่าความแข็ง NP ที่แข็งแกร่งโดยใช้การลดค่าโพลีไทม์ธรรมดาได้หรือไม่

17

ฉันเพิ่งอ่านหลักฐานที่ตั้งใจจะแสดงให้เห็นว่าปัญหานั้นเป็นปัญหาที่รุนแรงมากโดยเพียงแค่ลดลง (ในเวลาพหุนาม) จากปัญหาที่เกิดปัญหาอย่างรุนแรง นี่ไม่สมเหตุสมผลเลยสำหรับฉัน ฉันคิดว่าคุณจะต้องแสดงให้เห็นว่าตัวเลขใด ๆ ที่ใช้ในการลดลงและอินสแตนซ์ของปัญหาที่คุณลดไปนั้นถูก จำกัด ขอบเขตแบบพหุนามในขนาดของปัญหา

จากนั้นฉันเห็นว่า Wikipedia ให้คำแนะนำทั่วไปเหมือนกันสำหรับการพิสูจน์ประเภทนี้ แต่ฉันไม่เชื่อจริง ๆ จนกระทั่งฉันเห็นGarey & Johnsonพูดโดยทั่วไปในสิ่งเดียวกัน โดยเฉพาะพวกเขากล่าวว่า“ ถ้าเป็น NP-hard ในความหมายที่แข็งแกร่งและมีการแปลงหลอกแบบพหุนามจากเป็นดังนั้นก็คือ NP-hard ในแง่ที่แข็งแกร่ง "และ “ โปรดสังเกตว่าตามคำนิยามอัลกอริธึมเวลาพหุนามก็เป็นอัลกอริธึมเวลาแบบหลอกเทียมด้วย " $\Pi$ $\Pi$ $\Pi'$ $\Pi'$

แน่นอนว่าฉันใช้คำพูดของ Garey & Johnson ในเรื่องนี้ - ฉันแค่ไม่เข้าใจว่ามันถูกต้องได้อย่างไรซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันต้องการความช่วยเหลือ นี่คือเหตุผลของฉัน (มีข้อบกพร่อง) น่าจะเป็น ...

มีปัญหา NP-complete อย่างยิ่งและสิ่งเหล่านี้คือ (ตามคำนิยาม) ปัญหา NP-hard และ NP-complete อย่างยิ่ง ทุกปัญหาที่สมบูรณ์แบบ NP สามารถทำให้เหลือน้อยที่สุดในพหุนาม (และดังนั้นจึงเป็น pseudopolynomial) จากแถลงการณ์ของ Garey & Johnson ฉันคิดว่าทุกปัญหาที่ทำให้เสร็จสมบูรณ์นั้นเป็นปัญหาที่เกิดขึ้นอย่างสมบูรณ์และดังนั้นปัญหาทุกปัญหาของ NP นั้นยากมาก แน่นอนสิ่งนี้ทำให้แนวคิดเรื่องความแข็ง NP ที่แข็งแกร่งไร้ความหมาย ... ดังนั้นฉันจะพลาดอะไรไป?

แก้ไข / อัปเดต (ขึ้นอยู่กับคำตอบของ Tsuyoshi Ito):

ข้อกำหนด (d) จากคำจำกัดความของ Garey & Johnson เกี่ยวกับการแปลงพหุนาม (แบบหลอก) (ชนิดของการลดที่จำเป็นในการมอบความแข็งของ NP ในความหมายที่แข็งแกร่ง) คือขนาดเชิงตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในกรณีที่เกิดเป็นพหุนาม ของขนาดปัญหาและขนาดตัวเลขสูงสุดของต้นฉบับ แน่นอนว่านี่หมายความว่าหากปัญหาดั้งเดิมคือ NP-hard ในแง่ที่ดี (นั่นคือแม้ว่าขนาดของตัวเลขจะถูก จำกัด ขอบเขตแบบพหุนามในขนาดของปัญหา) ก็จะเป็นปัญหาที่คุณลดลงไปเช่นกัน นี่ไม่จำเป็นต้องเป็นกรณีสำหรับการลดเวลาปกติ (นั่นคือโดยไม่มีข้อกำหนดพิเศษนี้)

cc.complexity-theory np-hardness reductions

— แมกนัสโกหกเฮทแลนด์
แหล่งที่มา

ที่ดี! TA ทางคณิตศาสตร์ของฉันทำสิ่งนี้เมื่อวานนี้และฉันก็คิดว่ามันคาว ตอนนี้ฉันสามารถให้ลิงค์กับเขา

— Raphael

14

ตามคำศัพท์ในกระดาษโดย Garey และ Johnson การแปลงพหุนามเวลาไม่จำเป็นต้องแปลงหลอก - พหุนามเพราะมันอาจละเมิดรายการ (d) ในนิยาม 4

— Tsuyoshi Ito
แหล่งที่มา

1

ใช่ - อัลกอริทึมแบบพหุนามจำเป็นต้องใช้แบบจำลองเทียม แต่การลดพหุนามไม่จำเป็นต้องเป็นสิ่งที่ G&J เรียกว่าการแปลงแบบจำลองเทียม ในความเป็นจริงรายการของพวกเขา (d) เป็นสิ่งที่ฉันคิดว่าหายไป (เช่นการ จำกัด ขนาดของจำนวน) ขอบคุณ

— Magnus Lie Hetland

9

หากต้องการขยายคำตอบของ Tsuyoshi:

ในบริบทของ Garey และ Johnson พิจารณาการเปลี่ยนแปลงจาก PARTITION (หน้า 47, Sec. 3.1) ไปสู่ตารางการทำงานของผู้ควบคุมหลายคน (หน้า 65, Sec. 3.2.1, Item (7))

การเปลี่ยนแปลง (โดยข้อ จำกัด ) เกี่ยวข้องกับการตั้งค่า(ก) แต่ถ้าความยาวของงานมีขนาดใหญ่เกินไปก็ไม่สามารถเป็นกรณีที่มีพหุนามแบบสองตัวแปรเช่นนั้น , Max` (สูงสุดความยาว (เช่นรายการ (d) ในคำจำกัดความของการแปลงหลอกแบบพหุ - พหุนาม) $D=\frac{1}{2}\sum_{a\in A}l(a)$ $l(a)$ $q_2$ $\forall I \in D_{\Pi}$ $[f(I)] \le q_2$ $[I],$ $[I])$

ตัวอย่างเช่นให้พิจารณาอินสแตนซ์ของการกำหนดเวลาแบบมัลติโพรเซสเซอร์โดยที่ค่าของทั้งหมดเป็นเลขชี้กำลังในจำนวนของ (เช่น ) คุณยังคงจัดการ "combinatorial objects" จำนวนเท่าเดิม (เพื่อที่จะพูด) แต่พวกมันทั้งหมดมีขนาดใหญ่มาก ดังนั้น NP-complete แต่ไม่รุนแรง NP-complete $l(a)$ $l(a)$ $|A|$

คุณอาจต้องการที่จะอ่านวิกิพีเดียในหัวข้อที่เกี่ยวข้อง ตัวอย่างเช่นเรามีอัลกอริทึมแบบโพลิโนเมียลตามเวลาการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิกสำหรับปัญหา KNAPSACK NP-complete - อย่างน้อยตราบใดที่ตัวเลขมีขนาดเล็กพอ เมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่เกินไปอัลกอริทึม "เวลาพหุนาม" นี้จะแสดง "พฤติกรรมแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล" (G&J, หน้า 91, วินาที 4.2)

— Daniel Apon
แหล่งที่มา