กราฟเส้นขอบแนวนอนของตัวขยายโพลิเอทtop (ดี) หรือไม่?

21

คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากการคาดเดาพหุนาม Hirsch (PHC) รับ facet polytopeใน , ช่องว่างเชิงสเปกตรัมของกราฟขอบ - จุดยอด (เรียกมันว่า ) ล้อมรอบด้วยหรือไม่? โปรดสังเกตว่ากราฟวัฏจักรของจุดยอดแสดงให้เห็นว่าแม้สำหรับช่องว่างของสเปกตรัมอาจมีขนาดเล็กเท่ากับ ; ดังนั้นการคาดเดาที่ถูกผูกไว้ - ถ้าเป็นจริง - จะเกือบแน่น $n$ $P$ $\mathbb R^d$ $G$ $\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$ $n$ $d=2$ $O(1/\mathrm{poly}(n))$

คำตอบที่ใช่จะบอกถึง PHC ในความเป็นจริงมันก็บอกเป็นนัยว่าโปรแกรมเชิงเส้นสามารถแก้ไขได้อย่างมีประสิทธิภาพเพียงแค่เดินสุ่มบนจุดสูงสุดของโพลีท็อปและอัลกอริธึมนี้ไม่ได้สนใจฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์มากนัก! ดูเหมือนว่าจะดีเกินจริง

ดังนั้นสถานะของปัญหานี้คืออะไร: เปิด (เช่น PHC) หรือเท็จ? หากเป็นเท็จจะมีตัวอย่างตัวอย่างง่ายๆหรือไม่?

หมายเหตุ : ฉันเพิ่งรู้เกี่ยวกับภาวะแทรกซ้อนตามปกติที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดตัวขยาย:ไม่จำเป็นต้องเป็นปกติหรือสองฝ่าย ฉันหวังว่าปัญหาทางเทคนิคทั้งสองนี้สามารถเอาชนะได้โดยใช้วิธีมาตรฐานและโดยเฉพาะอย่างยิ่งพวกเขาไม่ได้ทำให้คำถามของฉันเล็กน้อย (โปรดแก้ไขฉันถ้าฉันผิด!) $G$

co.combinatorics linear-programming expanders

— Srivatsan Narayanan
แหล่งที่มา

ใครสามารถอธิบายได้ว่าคำถามนี้เกี่ยวข้องกับขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลใหม่สำหรับกฎการหมุนแบบสุ่มสำหรับอัลกอริทึมแบบซิมเพล็กซ์หรือไม่? Oliver Friedmann, Thomas Dueholm Hansen และ Uri Zwick 2011. ขอบเขตล่างแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลสำหรับกฎการหมุนรอบแบบสุ่มสำหรับอัลกอริธึมเริม ในการประชุมวิชาการ ACM ประจำปีครั้งที่ 43 เรื่องทฤษฎีการคำนวณ (STOC '11) ACM, New York, NY, USA, 283-292 DOI = 10.1145 / 1993636.1993675 doi.acm.org/10.1145/1993636.1993675

— Tyson Williams

10

สำหรับ 0/1-polytopes (พิกัดจุดสุดยอดทั้งหมดเป็น 0 หรือ 1) สิ่งนี้ไม่เป็นความจริง มีการคาดคะเนจาก Mihail และ Vazirani ว่าการขยายขอบของกราฟของ 0/1-polytope มีอย่างน้อยหนึ่ง สามารถดูข้อมูลเพิ่มเติมได้อธิบายไว้ในกระดาษโดย Volker Kaibel

ฉันควรสังเกตสองสิ่ง (1) สำหรับ 0/1-เรขาคณิตระดับประถม, การคาดคะเน Hirsch เป็นความจริง (2) เมื่อทำการเดินสุ่มบนจุดยอดของโพลีท็อปเราต้องดูแลความเสื่อมที่อาจเกิดขึ้นได้ หนึ่งจุดสุดยอดสามารถตรงกับฐานจำนวนมากและดังนั้นการเดินสามารถอยู่ที่จุดสุดยอดเดียวกันถ้าเราทำการเดินสุ่มข้ามฐาน ถ้าเราต้องการที่จะทำการเดินสุ่มบนจุดยอดเราจำเป็นต้องมีขั้นตอนที่ให้จุดสุดยอดที่อยู่ติดกันแบบสุ่ม

— โยชิโอะโอกาโมโตะ
แหล่งที่มา

9

$n^{[d/2]}$

ฉันพิสูจน์การแยก 1 / poly (n) สำหรับ polytopes "แบบคู่กับเพื่อนบ้าน" (นี่เป็นช็อตแรกของฉันที่การคาดเดาพหุนาม Hiresch ".)" เส้นผ่านศูนย์กลางของกราฟของ polytopes นูนและทฤษฎี f-vector "เรขาคณิตประยุกต์และคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง, 387–411, DIMACS Ser. คณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่องทฤษฎีการคำนวณ , 4, Amer. Math Soc., Providence, RI, 1991

— Gil Kalai
แหล่งที่มา