ความไวของคุณสมบัติกราฟ

ใน [1], Turan แสดงให้เห็นว่าความไว (เรียกว่า "ความซับซ้อนวิกฤติ" ในกระดาษ) ของคุณสมบัติกราฟนั้นมากกว่า⌊ 1อย่างเคร่งครัดโดยที่mคือจำนวนจุดยอดในกราฟ เขาก็จะคาดเดาว่าคุณสมบัติของกราฟที่ไม่น่ารำคาญมีความไว≥เมตร-1 เขากล่าวว่านี้ได้รับการตรวจสอบสำหรับม.≤5 มีความคืบหน้าเกี่ยวกับการคาดเดานี้หรือไม่?$\lfloor {1\over 4} m \rfloor$$m$$\geq m-1$$m \leq 5$

พื้นหลัง

ให้เป็นสตริงไบนารีใน{ 0 , 1 } n กำหนดx iสำหรับ1 ≤ i ≤ nให้เป็นสตริงที่ได้จากxโดยการหมุนi t hบิต สำหรับฟังก์ชันบูลีนf : { 0 , 1 } n \ to { 0 , 1 }ให้นิยามความไวของfที่xเป็นs ( f ; $x$$\{0,1\}^n$$x^i$$1 \leq i \leq n$$x$$i^{th}$$f: \{0,1\}^n$$\{0,1\}$$f$$x$. สุดท้ายกำหนดความไวของ fเป็น s ( f ) : = สูงสุด$s(f;x) := |\{i : f(x) \neq f(x^i) \}|$$f$ )$s(f) := \mbox{max}_x\; s(f;x)$

คุณสมบัติกราฟเป็นคอลเลกชันกราฟดังกล่าวว่าถ้าG ∈ PและG 'เป็น isomorphic ไปGแล้วG ' ∈ P เราสามารถคิดถึงคุณสมบัติกราฟPเนื่องจากการรวมกันของคุณสมบัติP mโดยที่p mเป็นเซตย่อยของPซึ่งประกอบด้วยกราฟที่มีจุดยอดm นอกจากนี้เราสามารถเข้าใจคุณสมบัติกราฟP mเป็นฟังก์ชันบูลีนใน{ 0 , 1 } nโดยที่n $\mathcal P$$G \in \mathcal P$$G'$$G$$G' \in \mathcal P$$\mathcal P$$\mathcal P_m$$\mathcal P_m$$\mathcal P$$m$$\mathcal P_m$$\{0,1\}^n$$n = {m \choose 2}$. We can encode a graph on $m$ vertices in a binary vector of length $n$; each entry in the vector corresponds to a pair of vertices and the entry is $1$ iff that edge is present in the graph. Thus, the sensitivity of a graph property is its sensitivity qua boolean function.

1. Turan, G., The critical complexity of graph properties, Information Processing Letters 18 (1984), 151-153.

The survey that Suresh pointed to brings up a paper by Wegener [1] that partially confirms the conjecture. It holds for all monotone graph properties and the inequality is tight (consider the property "Has no isolated vertices"). Any more recent results would be appreciated as well.

1. Wegener, L. The critical complexity of all (monotone) Boolean functions and monotone graph properties. Information and Control, 67:212-222, 1985.