ปัญหาระหว่าง P และ NPC

แฟคตอริ่งและมอร์ฟิซึ่มกราฟเป็นปัญหาใน NP ที่ไม่รู้ว่าอยู่ใน P หรือเป็น NP-Complete อะไรคือปัญหาทางธรรมชาติ (แตกต่างกันพอสมควร) ที่แบ่งปันคุณสมบัตินี้? ตัวอย่างประดิษฐ์ที่มาโดยตรงจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Ladner ไม่นับรวม

มีตัวอย่างใดบ้างที่พิสูจน์แล้วว่าปัญหา NP-ตัวกลางสมมติว่ามีสมมติฐานบางอย่างที่ "สมเหตุสมผล" หรือไม่?

ต่อไปนี้เป็นคอลเลกชันของการตอบสนองของปัญหาระหว่าง P และ NPC:

• แฟ
• ปัญหา Isomorphism: กราฟ Isomorphism [ไม่ใช่ NPC นอกจาก ] (ผ่าน @Jeff Kinne), กราฟ Automorphism กลุ่ม Isomorphism, Automorphism, Ring Isomorphism และ Automorphism (ผ่าน @Joshua Grochow)$\sum_2^p=\prod_2^p$
• การคำนวณระยะหมุนระหว่างต้นไม้ไบนารีสองต้นหรือระยะพลิกระหว่างสองสามเหลี่ยมของชุดจุดระนาบเดียวกัน (ผ่าน @David Eppstein)
• ปัญหา Turnpikeของการสร้างจุดบนเส้นจากระยะทาง (ผ่าน @Suresh Venkat)
• ปัญหาที่เกิดขึ้นจากการคาดเดาเกมที่ไม่ซ้ำกัน (ผ่าน @Moritz)
• ปัญหาการเข้าสู่ระบบแบบไม่ต่อเนื่องและอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับสมมติฐานการเข้ารหัส (ผ่าน @Joe Fitzsimons)
• การตัดสินผู้ชนะในเกมพาริตี้ (ผ่าน @mashca)
• การตัดสินว่าใครมีโอกาสชนะการแข่งขันสูงสุด (ผ่าน @Peter Shor บน MO)
• ปัญหาตัวเลขในกล่อง (ผ่าน @Joshua Grochow)
• การควบคุมวาระการแข่งขันสำหรับการแข่งขันแบบคัดออกเดี่ยวที่สมดุล (ผ่าน @virgi)
• Knot triviality (ผ่าน @JeffE)
• (สมมติว่า NEXP ≠ EXP) เวอร์ชันที่มีเบาะของNEXP - ปัญหาที่สมบูรณ์ (ผ่าน @Joshua Grochow)
• ปัญหาในTFNP (ผ่าน @Marcos Villagra)
• การตัด Monotone SAT (ผ่าน @ András Salamon)
• ปัญหาขนาดวงจรขั้นต่ำ (ผ่าน @Eric Allender)
• การตัดสินใจว่า triangulated 3-manifold ที่กำหนดนั้นเป็น 3 ทรงกลม (ผ่าน @Joe O'Rourke และ @Peter Shor)
• ปัญหาการตัดสต็อคที่มีความยาววัตถุคงที่ (ผ่าน @Suresh Venkat)
• Monotone Self-Duality (ผ่าน @Danu)
• ระนาบขั้นต่ำแบบภาพถ่าย (ผ่าน @turkistany)
• Pigeonhole Sum รวมกลุ่ม (ผ่าน @ user834)
• ผลรวม Root Square (ผ่าน @JeffE)
• การตัดสินใจว่ากราฟยอมรับการติดฉลากที่สง่างามหรือไม่ (ผ่าน @Oleksandr Bondarenko)
• รุ่น Gap ของเวกเตอร์ที่ใกล้ที่สุดในปัญหาขัดแตะ GapCVP (ผ่าน @MCH)$(\sqrt{n})$
• หารเชิงเส้นปัญหา [ที่รู้จักกันเป็นที่สมบูรณ์ แต่ไม่ NPC] (ผ่าน @Oleksandr Bondarenko)$\gamma$
• การหามิติ VC (ผ่าน @Mohammad al Turkistany)
• การค้นหาชุดควบคุมขั้นต่ำในทัวร์นาเมนต์ (ผ่าน @Mohammad al Turkistany)
• planarity แบบกลุ่ม

ปัญหาที่ฉันโปรดปรานในชั้นนี้ (ฉันจะพูดว่ามันเป็นปัญหาการทำงาน แต่มันง่ายที่จะกลายเป็นปัญหาการตัดสินใจในวิธีมาตรฐาน): คำนวณระยะการหมุนระหว่างต้นไม้ไบนารีสองต้น (เท่ากันระยะทางระหว่างสองสามเหลี่ยมของ รูปหลายเหลี่ยมนูนออกมา)

ปัญหาที่กล่าวถึงไม่ได้อยู่ในรายการนี้หรือรายการ MO เป็นปัญหาเทิร์นไพค์ รับหลายชุดของ n (n-1) / 2 หมายเลขแต่ละหมายเลขแสดงระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนบรรทัดสร้างตำแหน่งของจุดเดิมใหม่

โปรดทราบว่าสิ่งที่ทำให้สิ่งไม่สำคัญนี้คือสำหรับตัวเลขที่กำหนดในมัลติเซ็ตคุณไม่ทราบว่ามีจุดใดเป็นคู่

ในขณะที่ทราบว่าสำหรับอินสแตนซ์ที่กำหนดใด ๆ มีเพียงจำนวนของพหุนามวิธีแก้ไขก็ไม่ทราบวิธีการค้นหาหนึ่ง!

ผลรวมของปัญหารากที่สอง:ป.ร. ให้ไว้สองลำดับ1 , 2 , ... , nและข1 , ข2 , ... , ขnของจำนวนเต็มบวกเป็น: = Σ ฉัน√$a_1, a_2, \dots, a_n$$b_1, b_2, \dots, b_n$น้อยกว่าเท่ากับหรือมากกว่าB:=Σฉัน$A := \sum_i \sqrt{a_i}$ ?$B := \sum_i \sqrt{b_i}$

• ปัญหามีอัลกอริทึมเล็กน้อยใน RAM จริง - เพียงแค่คำนวณจำนวนเงินและเปรียบเทียบมัน! - แต่สิ่งนี้ไม่ได้หมายความถึงการเป็นสมาชิกใน P$O(n)$

• มีอัลกอริธึมความแม่นยำแน่นอนที่เห็นได้ชัด แต่ก็ไม่รู้ว่าจำนวนบิตของพหุนามความแม่นยำเพียงพอสำหรับความถูกต้องหรือไม่ (ดูhttp://maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P33.htmlเพื่อดูรายละเอียด)

• ทฤษฎีบทพีทาโกรัสบ่งบอกว่าความยาวของเส้นโค้งรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ ที่มีจุดยอดและจุดปลายจำนวนเต็มเป็นผลรวมของสแควร์รูทของจำนวนเต็ม ดังนั้น sum-of-รากปัญหามีอยู่ในระนาบปัญหาคำนวณเรขาคณิตหลายแห่งรวมถึงยุคลิดต้นไม้ทอดต่ำสุด , ยุคลิดเส้นทางที่สั้นที่สุด , triangulations ขั้นต่ำน้ำหนักและปัญหาพนักงานขายที่เดินทางยุคลิด (ปัญหา Euclidean MST สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามโดยไม่ต้องแก้ไขปัญหาผลรวมของรากด้วยโครงสร้าง matroid พื้นฐานและความจริงที่ว่า EMST เป็นกราฟย่อยของสามเหลี่ยม Delaunay)

• มีเป็นพหุนามเวลาอัลกอริทึมแบบสุ่มเนื่องจากโยฮันเนBlömerเพื่อตัดสินใจว่าทั้งสองจำนวนเงินเท่ากัน อย่างไรก็ตามหากคำตอบคือไม่ได้อัลกอริทึมของBlömerไม่ได้กำหนดว่าผลรวมใดจะใหญ่กว่า

• รุ่นการตัดสินใจของปัญหานี้ (คือ> B ?) ไม่ได้รู้จักกันแม้จะอยู่ใน NP อย่างไรก็ตามอัลกอริธึมของBlömerบ่งบอกว่าหากปัญหาการตัดสินใจอยู่ใน NP มันก็เป็น co-NP ด้วยเช่นกัน ดังนั้นปัญหาจึงไม่น่าจะเสร็จสมบูรณ์$A > B$

นี่คือรายการปัญหาที่อาจแตกต่างหรือไม่เหมาะสมว่า "เพียงพอ" โดยการพิสูจน์แบบเดียวกันกับกราฟมอร์ฟิซึ่มส์ถ้ามันมีปัญหา - สมบูรณ์แล้วพหุนามลำดับขั้นทรุดลงไปสู่ระดับที่สอง ฉันไม่คิดว่าจะมีฉันทามติอย่างกว้าง ๆ ว่า "ควร" สิ่งเหล่านี้จะอยู่ในพี

• Graph Automorphism (พิจารณาว่ากราฟมี automorphism แบบไม่สนใจ) ลดลงในกราฟมอร์ฟิซึ่ม แต่ไม่เป็นที่รู้จัก (ไม่คิดว่า?) ที่จะเป็น GI-hard
• กลุ่มมอร์ฟิซึ่มและออโตมอร์ฟิซึ่ม (ซึ่งกลุ่มจะได้รับจากตารางการคูณ) อีกครั้งลดการ Isomorphism กราฟ แต่ไม่คิดว่าจะเป็น GI-hard
• Ring Isomorphism และ Automorphism เรียกได้ว่าเป็นแกรนด์พ่อของปัญหาทั้งหมดข้างต้นเนื่องจากแฟคตอริ่งจำนวนเต็มเทียบเท่ากับการหาออโต้มอร์ฟิซึมแบบไม่ประดิษฐ์ของวงแหวนและกราฟไอโซมอร์ฟิซึมลดลงเป็นแหวนมอร์ฟิซึ่มส์ ดูNeeraj Kayal, Nitin Saxena ความซับซ้อนของปัญหามอร์ฟิซึ่มแหวน. ความซับซ้อนในการคำนวณ 15 (4): 342-390 (2006) (น่าสนใจคือการพิจารณาว่าวงแหวนมีออโต้มอร์ฟิซึมแบบไม่อยู่ในรูปตัวหรือไม่)$P$
• โพสต์นี้โดย Bill Gasarch มีปัญหาอื่น ๆ ด้วยรสชาติของทฤษฎีแรมซีย์ที่ดูเหมือนว่าพวกเขาอาจจะเป็นสื่อกลาง
• ทฤษฎีบทของมาห์นีย์ไม่มีชุดที่กระจัดกระจายได้สมบูรณ์ แต่เรายังไม่ทราบว่ามีชุดเบาบางใน - P IFF N E X Pไม่เท่ากับE X P ดังนั้นสมมติN E X P ≠ E X Pรุ่นเบาะใด ๆN E X Pปัญหาที่สมบูรณ์มีความซับซ้อนกลาง (ชุดนี้ไม่สามารถอยู่ในP ได้ยกเว้นN E X P = E X $NP$$P$$NEXP$$EXP$$NEXP \neq EXP$$NEXP$$P$$NEXP = EXP$ขัดแย้งกับข้อสันนิษฐานของเรา) มีปัญหาตามธรรมชาติที่ไม่สมบูรณ์มากมาย$NEXP$

ปัญหาขนาดวงจรขั้นต่ำ (MCSP) เป็นปัญหา "ธรรมชาติ" ที่ฉันโปรดปรานใน NP ที่ไม่ทราบว่าเป็นปัญหาที่สมบูรณ์: ได้รับตารางความจริง (ขนาด n = 2 ^ m) ของฟังก์ชันบูลีน m-variate f และ เมื่อให้ตัวเลข s, f มีวงจรขนาด s หรือไม่? หาก MCSP นั้นง่ายแสดงว่าไม่มีฟังก์ชั่นทางเดียวแบบเข้ารหัสที่ปลอดภัย ปัญหานี้และความหลากหลายของมันเป็นแรงจูงใจสำหรับการศึกษาอัลกอริทึม "กำลังดุร้าย" ในรัสเซียซึ่งนำไปสู่การทำงานของเลวินในเรื่องความสมบูรณ์แบบของเลวิน ปัญหานี้สามารถดูได้ในแง่ของความซับซ้อนของ Kolmogorov ที่มีขอบเขตทรัพยากร: ถามว่าจะสามารถกู้คืนสตริงได้อย่างรวดเร็วจากคำอธิบายสั้น ๆ ปัญหารุ่นนี้ถูกศึกษาโดย Ko; ชื่อ MCSP นั้นถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย Cai และ Kabanets เท่าที่ฉันรู้ การอ้างอิงเพิ่มเติมสามารถพบได้ในเอกสารของฉัน: http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/KT.pdf http://ftp.cs.rutgers.edu/pub/allender/pervasive.reach.pdf

เสียงคู่เองได้

สำหรับการใด ๆ บูลฟังก์ชั่น$f=f(x_1, x_2, ..., x_n)$ก็คู่$f^d=\bar{f}(\bar{x_1}, \bar{x_2}, ..., \bar{x_n})$ ) ได้รับ$f(x_1, x_2, ..., x_n)$ตัวแทนจากสูตร CNF เราต้องตัดสินใจว่า$f=f^d$ d

ปัญหานี้อยู่ใน co-NP [ $\log^2 n$ ] นั่นคือสามารถ decidable ด้วย$O(\log^2n/ \log\log n)$ขั้นตอน nondeterministic ดังนั้นจึงมีอัลกอริธึมเวลากึ่งโพลิโนเมียล (เวลา$O(n^{\log n/\log \log n})$ ) และดังนั้นจึงไม่น่าจะเป็น co-NP-hard

มันยังคงเปิดอยู่ว่าปัญหานี้อยู่ใน P หรือไม่ รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถอ่านได้ในรายงานประจำปี 2551 เรื่อง " การคำนวณของการทำเสียงโมโนโทนคู่เดียว: การสำรวจสั้น ๆ " โดย Thomas Eiter, Kazuhisa Makino และ Georg Gottlob

Knot triviality: กำหนดโซ่เหลี่ยมหลายเหลี่ยมแบบปิดใน 3 ช่องว่างมันไม่ได้เปิดเผยหรือไม่ (กล่าวคือไอโซโทปแวดล้อมกับวงกลมแบน)

เรื่องนี้เป็นที่รู้กันว่าอยู่ใน NP โดยผลลัพธ์ที่ลึกลงไปในทฤษฎีพื้นผิวปกติ แต่ไม่มีการรู้อัลกอริธึมแบบโพลีเวลา

ไม่ทราบว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะตัดสินใจในเวลาพหุนามหากผู้เล่น 1 มีกลยุทธ์ในการชนะในเกมพาริตี้ (จากตำแหน่งเริ่มต้นที่กำหนด) อย่างไรก็ตามปัญหาอยู่ใน NP และ co-NP และแม้แต่ใน UP และ co-UP

คุณจะได้รับรายการปัญหาที่ยาวมากหากยินดีที่จะยอมรับปัญหาการประมาณค่าเช่น Max-Cut เพื่อประมาณค่าปัจจัย 0.878 เราไม่ทราบว่าเป็น NP-hard หรือเป็น P (รู้เพียง NP-hardness สมมติว่า Uniuqe Games Conjecture)

ในสูตร CNF แบบโมโนโทนทุกประโยคมีเพียงตัวอักษรบวกหรือตัวอักษรเชิงลบเท่านั้น ในสูตร CNF ที่ตัดกันคนเดียวทุกประโยคที่เป็นบวกจะมีตัวแปรบางตัวที่เหมือนกันกับทุกประโยคลบ

ปัญหาการตัดสินใจ

$f$
$f$

$n^{o(\log\ n)}$

• Thomas Eiter และ Georg Gottlob, การคำนวณข้ามทาง Hypergraph และปัญหาที่เกี่ยวข้องในลอจิกและ AI , JELIA 2002 ดอย: 10.1007 / 3-540-45757-7_53

สามเหลี่ยม 3 ชุดที่ให้มามีรูปสามเหลี่ยม 3 อันไหม จาก Joe O'Rourke

เวอร์ชั่น Pigeonhole ของ Sum Sum (หรือ Sum Sum Equality)

ได้รับ:

$S_1, S_2 \subseteq \{ 1, \dots, n \}$

ปัญหาผลรวมย่อย pigeonhole ถามถึงวิธีการแก้ปัญหา แต่เดิมระบุไว้ใน " อัลกอริทึมการประมาณค่าที่มีประสิทธิภาพสำหรับปัญหาด้านคุณภาพส่วนย่อย " โดย Bazgan, Santha และ Tuza

มีปัญหามากมายที่เกี่ยวข้องกับการค้นหากลุ่มย่อยที่ซ่อนอยู่ คุณพูดถึงการแยกตัวประกอบ แต่ยังมีปัญหาการบันทึกที่ไม่ต่อเนื่องเช่นเดียวกับคนอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งรูปไข่ ฯลฯ

นี่คือปัญหาในการเลือกทางสังคมการคำนวณที่ไม่เป็นที่รู้จักใน P และอาจหรืออาจจะไม่สมบูรณ์ NP

การควบคุมวาระการแข่งขันสำหรับการแข่งขันแบบตัดออกเดี่ยว:

$T$$n=2^k$$a$

คำถาม: มีการเปลี่ยนแปลงของโหนด ( วงเล็บ ) อยู่หรือไม่เพื่อให้ a เป็นผู้ชนะของทัวร์นาเมนท์กำจัดเดี่ยว

$P_k$$2^k$$V$$T$$V$$P_{k-1}$$2^{k-1}$$i>0$$P_k[2i-1]$$P_k[2i]$$e$$T$$P_{k-1}[i]=P_k[2i-1]$$e=(P_k[2i-1],P_k[2i])$$P_{k-1}[i]=P_k[2i]$$P_k$$T$$P_{k-1}$$2^k$$k$$P_{k-1},\ldots,P_0$$2^k$

การควบคุมวาระการแข่งขันสำหรับการแข่งขันแบบตัดเดี่ยว (การกำหนดกราฟ):

$T$$n=2^k$$a$

$T$$2^k$$a$

$2^k$$x$$a$$2^{k-1}$$x$$2^{k-1}$$y$$x$$y$$k=0$

อ้างอิงบางส่วน:

1. Jérôme Lang, Maria Silvia Pini, Francesca Rossi, Kristen Brent Venable, Toby Walsh: ความมุ่งมั่นของผู้ชนะในการออกเสียงลงคะแนนตามลำดับส่วนใหญ่ IJCAI 2007: 1372-1377
2. N. Hazon, PE Dunne, S. Kraus และ, M. Wooldridge วิธีการจัดการเลือกตั้งและการแข่งขัน COMSOC 2008
3. Thuc Vu, Alon Altman, Yoav Shoham ความซับซ้อนของปัญหาการควบคุมตารางเวลาสำหรับทัวร์นาเมนต์ที่น่าพิศวง AAMAS (1) 2009: 225-232
4. V. Vassilevska Williams แก้ไขการแข่งขัน AAAI 2010

ลองดูที่ชั้นเรียนTFNP มีปัญหาการค้นหาจำนวนมากที่มีสถานะระดับกลาง

ปัญหามอร์ฟกราฟย่อยที่เกิดขึ้นมีปัญหา NP ไม่สมบูรณ์ "ข้อ จำกัด ด้านซ้ายมือ" สมมติว่า P ไม่เท่ากับ NP ดู Y. Chen, M. Thurley, M. Weyer: ทำความเข้าใจความซับซ้อนของการเกิด Isomorphisms Subgraph ที่เหนี่ยวนำ , ICALP 2008

$NP$$NP$

ปัญหา Bisection ขั้นต่ำ: ค้นหาพาร์ติชันของชุดของโหนดเป็นสองส่วนที่มีขนาดเท่ากันเพื่อลดจำนวนของการข้ามขอบ

Karpinski ความสามารถในการประมาณปัญหาขั้นต่ำของการแบ่งเป็นสองส่วน: การท้าทายของอัลกอริทึม

ปัญหาสต็อกตัดที่มีความยาววัตถุคงที่ ดูการสนทนานี้สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

$n$$v$$1$$v$$\beta$$v$$\beta > 1$

$\beta = \sqrt{n}$$\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\beta$$\beta = n^{o(1/\log \log n)}$$\mathsf{NP}$

$G = (V,E)$$f$$v\in V$$f(v)$$e = uv\in E$$|f(u) − f(v)|$$f : V\rightarrow \{0, 1, 2,\dots, |E|\}$$\{1, 2,..., |E|\}$

1. JA Gallian การสำรวจแบบไดนามิกของการติดฉลากกราฟ วารสารอิเล็กทรอนิกส์ของ Combinatorics, 2009
2. DS Johnson คอลัมน์ NP-ครบถ้วน: คำแนะนำอย่างต่อเนื่อง J. อัลกอริทึม, 4 (1): 87–100, 1983
3. DS Johnson คอลัมน์ความสมบูรณ์แบบของ NP ธุรกรรม ACM เกี่ยวกับอัลกอริทึม, 1 (1): 160–176, 2005

$P$$NP$$O(n^{\log n})$$NP$$NP$

$a$$b$$a \cdot x+1$$b$

$\gamma$

Garey และ Johnson ใน "คอมพิวเตอร์กับการใช้งานไม่ได้" (pp. 158-159)

$\gamma$$R_M$$M$

$$R_M=\{\langle x,y\rangle:there\ is\ a\ string\ z\ such\ that\ on\ input\ x\ and\ guess\ z\ M\ has\ output\ y\}$$

$L_1$$\Sigma_1$$\gamma$$L_2$$\Sigma_2$$L_1\propto_{\gamma}L_2$$M$$x\in\Sigma_1^*$$y\in\Sigma_2^*$$\langle x,y\rangle\in R_M$$\langle x,y\rangle\in R_M$$x\in L_1$$y\in L_2$$M$$x$$x$$x$$L_2$$x\in L_1$

$P$$NP$$O(n^{\log n})$

ปัญหาต่อไปนี้เชื่อว่าเป็น NP-Intermediate นั่นคือมันอยู่ใน NP แต่ไม่ใช่ใน P หรือ NP-complete

ปัญหารูตแบบพหุนามแบบ Exponentiating (EPRP)

$p(x)$$\deg(p) \geq 0$$GF(q)$$q$$r$

$\deg(p)=0$

สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมโปรดดูคำถามและการอภิปรายที่เกี่ยวข้องของฉัน

ฉันไม่รู้ว่าปัญหา hypergraph isomorphism ที่เสนอในคำตอบของ Thinh D. Nguyen นั้นไม่สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็น GI โดยสมบูรณ์หรือไม่ อย่างไรก็ตามมีปัญหาเกี่ยวกับ GI อย่างหนักที่เกี่ยวข้องกับ GI ซึ่งยังไม่ได้ลดลงใน GI แต่อย่างใดคือปัญหาสตริง isomorphism (เรียกอีกอย่างว่าปัญหาสี isomorphism ) นี่เป็นปัญหาที่แสดงให้เห็นว่าอยู่ในเวลาเสมือนพหุนามโดยLászló Babai เป็นผลประโยชน์อิสระเนื่องจากเทียบเท่ากับปัญหาการตัดสินใจจำนวนหนึ่งในทฤษฎีกลุ่ม (การเปลี่ยนแปลง):

• ปัญหาการแยกโคเซ็ท
• ปัญหาการทดสอบการเป็นสมาชิกคู่ coset
• ปัญหาการแยกตัวเป็นกลุ่ม

ปัญหาที่ไม่มีใครรู้ว่าอยู่ใน FP หรือ NP-hard เป็นปัญหาในการหาต้นไม้ Steiner ที่น้อยที่สุดเมื่อสัญญาว่าจะให้จุดยอด Steiner ตกลงบนสองส่วนของเส้นตรงตัดกันที่มุม 120 ° หากมุมระหว่างส่วนของเส้นตรงน้อยกว่า 120 °แสดงว่าปัญหานั้นเกิดจากปัญหาของ NP-hard คาดว่าเมื่อมุมมากกว่า 120 °แสดงว่าปัญหานั้นอยู่ใน FP

ดังนั้นปัญหาการตัดสินใจต่อไปนี้ในปัจจุบันดูเหมือนจะมีความซับซ้อนระดับกลาง:

$q$
$q$

แน่นอนว่านี่อาจเป็น P หรือ NP-complete แต่ดูเหมือนว่าเราจะมีขั้วที่น่าสนใจที่ 120 °แทนที่จะเป็นปัญหาระดับกลาง (การคาดเดาอาจเป็นเท็จได้เช่นกัน)

• JH Rubinstein, DA Thomas, NC Wormald, ต้นไม้ Steiner สำหรับอาคารที่มีข้อ จำกัด ในการโค้ง , SIAM J. คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง 10 (1) 1–17, 1997. ดอย: 10.1137 / S0895480192241190

$G_1$$G_2$$n$$\pi$$G_1$$G_2$$NP$