ปัญหานอก P ที่ไม่ใช่ P-hard

ในขณะที่อ่านคำตอบของ Peter Shorและคำถามก่อนหน้านี้โดย Adam Crumeฉันรู้ว่าฉันมีความเข้าใจผิดเกี่ยวกับความหมายของยาก $\mathsf{P}$

ปัญหาคือยากถ้าปัญหาใด ๆ ในสามารถลดได้ด้วย (หรือถ้าคุณต้องการลดการ ) ปัญหาอยู่นอกหากไม่มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามเพื่อแก้ปัญหา ซึ่งหมายความว่าควรมีปัญหาที่อยู่นอกแต่ไม่ใช่ยาก ถ้าเราเข้าใจว่าปัจจัยอยู่นอกคำตอบของ Peter Shor แสดงให้เห็นว่าปัจจัยที่อาจเป็นปัญหาดังกล่าว $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

มีปัญหาใด ๆ ที่ทราบ (ธรรมชาติหรือของเทียม) ที่รู้กันว่าอยู่นอกแต่ไม่ใช่ -hard? ภายใต้สมมติฐานที่อ่อนแอกว่าสมมติฐานแฟคตอริ่งคืออะไร มีชื่อสำหรับคลาสความซับซ้อนนี้หรือไม่? $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

cc.complexity-theory complexity-classes

— Artem Kaznatcheev
แหล่งที่มา

คำตอบ:

ถ้า $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ ชุดแล้วไม่มีเบาบาง (แม้ไม่ใช่คำนวณหนึ่ง) สามารถ $\mathsf{P\text{-}hard}$ d

ความเข้าใจผิดมาจากการคิดเกี่ยวกับคลาสความซับซ้อน (และปัญหาการคำนวณ) เป็นการสร้างลำดับเชิงเส้นซึ่งไม่เป็นความจริง การใช้คำว่า "ความแข็ง" สำหรับปัญหาสามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาอื่น ๆ ในชั้นเรียนได้นอกจากนี้ยังก่อให้เกิดความเข้าใจผิด ส่วนล่างของปัญหา (เช่นไม่ได้อยู่ในคลาสที่ซับซ้อน) ไม่ได้หมายความว่าปัญหานั้นยากสำหรับคลาส (เช่นสามารถใช้เพื่อแก้ไขปัญหาอื่น ๆ ในชั้นเรียน) ฉันไม่ทราบว่ามีคำศัพท์ทางเลือกที่ดีกว่าสำหรับ "ความแข็ง" ที่ใช้อยู่ในขณะนี้สิ่งที่ถูกใช้ในทศวรรษก่อนหน้าคือ "สากล" (ซึ่ง IMHO แสดงแนวคิดอย่างซื่อสัตย์มากขึ้นและจากนั้นเราสามารถใช้ "ความแข็ง" ที่ไม่ได้อยู่ในชั้นเรียน แต่การเปลี่ยนคำศัพท์ที่สร้างขึ้นนั้นยากมาก)

— Kaveh
แหล่งที่มา

ไดอะแกรมของออยเลอร์บางตัวที่ฉันเคยเห็นในชั้นเรียนที่ซับซ้อนได้ให้ความเข้าใจผิดที่สองสำหรับฉันด้วยซึ่งเป็นสิ่งที่ฉันคิดว่าทำให้เกิดความสับสนเกี่ยวกับความกระด้าง X

— Artem Kaznatcheev

@ บทความใช่ว่าเป็นปัจจัยเช่นกัน นี่คือสิ่งที่ฉันทำในชั้นเรียน: ฉันพูดถึงความไม่มีที่เปรียบของ

และ

\mod p

$\mod p$

ภายใต้

ลด

หวังว่าสิ่งนี้จะช่วยให้นักเรียนหลีกเลี่ยงการคิดว่าทุกอย่างเรียงตามลำดับเชิงเส้น

\mod q

$\mod q$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Kaveh

ส่วนการสั่งซื้อทั้งหมดฉันมีปัญหาน้อยลงด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันคิดว่า NP และ coNP ดีพอที่จะแสดงให้เห็นว่าเราไม่ควรคิดถึงคลาสที่ซับซ้อนซึ่งมีคำสั่งทั้งหมด

— Artem Kaznatcheev

@ บทความจุดดี (แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่ามันแตกต่างกัน) ฉันคิดว่าเหตุผลส่วนหนึ่งของคำศัพท์คือการขาดขอบเขตที่สมเหตุสมผลเราไม่มีจุดอ่อนที่ดีสำหรับ SAT แต่เราคิดว่ามันยากที่จะแก้เพราะมันเป็นสากล แต่คำว่า "สากล" ไม่ได้ ให้ความรู้สึกของความยากลำบากเช่นเดียวกับ "ยาก" ไม่โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับผู้เชี่ยวชาญที่ไม่ใช่ แต่นั่นทำให้เกิดปัญหาเพราะแม้ว่าเราจะสามารถยืนยันได้ว่าความเป็นสากลของปัญหาหมายถึงปัญหานั้นยากที่จะแก้ไข แต่ความยากลำบากในการแก้ปัญหาก็ไม่ได้หมายความว่าปัญหานั้นเป็นสากล

— Kaveh

เช่นปัญหาสากลเป็นเรื่องยาก (อย่างน้อยก็ยากเหมือนปัญหาใด ๆ ในชั้นเรียน) แต่ปัญหาที่ยากลำบากไม่จำเป็นต้องเป็นสากล

— Kaveh

ฉันคิดว่าคุณสามารถสร้างชุดที่ไม่ได้อยู่ในที่ไม่ใช่ -hard ได้โดยการโต้เถียงสไตล์ Ladner นี่คือตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง $P$ $P$

ในกระดาษของเขา "วิธีการแบบฟอร์มการขอรับชุดเส้นทแยงมุมในคลาสที่ซับซ้อน" (Theor. Comp. Sci. 18, 1982), Schöningพิสูจน์ต่อไปนี้:

ทฤษฎีบทสมมติ , , และชั้นเรียนซับซ้อนเรียบร้อยซ้ำและจะปิดภายใต้รูปแบบที่แน่นอน จากนั้นก็มีชุดดังกล่าวว่า , และถ้าและไม่น่ารำคาญ (เซตว่างหรือสตริงทั้งหมด) แล้วเป็น polytime หลายหนึ่งออกซิเจน2 $A_1 \notin C_1$ $A_2 \notin C_2$ $C_1$ $C_2$ $A$ $A \notin C_1$ $A \notin C_2$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $A_2$

ในการใช้สิ่งนี้ให้เซตเป็นเซตว่างและเป็นสมบูรณ์ภายใต้การลดจำนวนไทม์ไทม์ชุดเป็นเซตของเซต -hard ที่อยู่ใน , เซต . ชุดที่ว่างเปล่าไม่สามารถเป็น -hard ได้ (คำจำกัดความของ -hardness สำหรับภาษานั้นต้องมีอย่างน้อยหนึ่งอินสแตนซ์ในภาษาและอีกหนึ่งอินสแตนซ์ที่ไม่ได้อยู่ใน) แน่นอนไม่ได้อยู่ใน 2และ $A_1$ $A_2$ $EXP$ $C_1$ $P$ $EXP$ $C_2 = P$ $P$ $P$ $A_2$ $C_2$ $C_1$ สามารถตรวจสอบเพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น (คล้ายกับวิธีที่ Schoening ทำกับชุดข้อมูลสมบูรณ์ให้ดูคำถามที่เกี่ยวข้องนี้ด้วย) ดังนั้นเราจึงได้รับการที่ไม่ได้เป็นปัญหา -hard ในและที่ไม่ได้อยู่ในPแต่เนื่องจากและเป็นขี้ปะติ๋วเป็นจำนวนมากหนึ่งซึ้งปรับปรุงไปยังชุดที่สมบูรณ์ดังนั้นจึงอยู่ใน Pดังนั้นโดยเฉพาะ $C_2$ $NP$ $A$ $P$ $EXP$ $A$ $P$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $EXP$ $EXP$ $A$ ไม่สามารถเป็น -hard ได้เช่นกัน $P$

ในการโต้แย้งข้างต้นข้อ จำกัด ของปัญหา -hard ในนั้นเป็นสิ่งที่จำเป็นเพื่อให้มั่นใจว่ามีการเรียกซ้ำได้เนื่องจากปัญหา P-hard โดยรวมไม่สามารถนำเสนอซ้ำและไม่สามารถนับได้ ตอนนี้ตัวอย่าง "ธรรมชาติ" ของเรื่องนี้เป็นเรื่องราวที่แตกต่าง ... $P$ $EXP$

— Ryan Williams
แหล่งที่มา

ผมชอบวิธีการนี้จะต้องผ่านแม้ว่า

นอกจากว่าฉันเข้าใจผิดบางอย่าง

L = P

$L = P$

— Artem Kaznatcheev

@ บทความ: หากคุณพิจารณาความแข็งภายใต้ความสามารถในการลดพื้นที่การบันทึกแล้วภาษาที่ไม่สำคัญทุกภาษาก็คือ L-hard ดังนั้นถ้า L = P ไม่มีภาษาใดนอก P คือ P-hard ภายใต้การลดขนาดพื้นที่บันทึก

— Tsuyoshi Ito

อีกวิธีหนึ่งในการสร้างปัญหาที่อยู่นอก P แต่ไม่ใช่ P-hard คือการใช้ปัญหาที่สมบูรณ์สำหรับคลาสที่หาที่เปรียบไม่ได้กับพีสมมติว่าคลาส X เทียบไม่ได้กับ P ในแง่ที่ว่าไม่ใช่เซตย่อยของอีกอัน ดังนั้นปัญหา X-complete จำเป็นต้องอยู่นอก P (มิฉะนั้น P จะรวม X) และไม่ใช่ P-hard (เช่น X จะรวม P)

ฉันพยายามนึกถึงบางคลาสที่เทียบไม่ได้กับ P แต่ P เป็นคลาสที่ค่อนข้างสมบูรณ์ดังนั้นจึงมีคลาสดังกล่าวไม่มากเกินไป ตัวอย่างเช่น RNC และ QNC อาจเทียบไม่ได้กับ P. DSPACE ( ) อาจเทียบไม่ได้กับ P. PolyL เทียบได้กับ P แต่ไม่มีปัญหาที่สมบูรณ์ภายใต้การลดพื้นที่บันทึก $\log^2$

— Robin Kothari
แหล่งที่มา

ในความเห็นของฉันคำถามนี้เกือบเหมือนกันที่ใช้ถ้อยคำต่างกันและไม่จำเป็นต้องเป็นวิธีตอบคำถาม ในความเป็นจริงแล้วภาษา A ไม่ได้อยู่ใน P หรือ P-hard ถ้าหากว่าคลาสของภาษาที่ลดได้ถึง A นั้นเทียบไม่ได้กับ P (ใช้ความคิดที่คุณชื่นชอบในการลดความรู้สึก) ตราบใดที่คำถามปัจจุบันเป็นกังวลฉันคิดว่ามันมีแนวโน้มที่จะเป็นประโยชน์ในทิศทางตรงกันข้าม นั่นคือนี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการตีความคำตอบของคำถามปัจจุบัน

— Tsuyoshi Ito