การรวมรายการของวัตถุที่บอบบาง

พื้นหลัง:เจ้าเสี่ยวโพสต์คำถามต่อไปนี้เวลาที่ผ่านมา " มีการเปรียบเทียบที่รู้จักกันใด ๆ เรียงลำดับขั้นตอนวิธีการที่ไม่ได้ลดไปยังเครือข่ายการเรียงลำดับเช่นว่าแต่ละองค์ประกอบจะถูกเปรียบเทียบครั้ง?$O(\log n)$ " ดูเหมือนว่าเราติดอยู่กับปัญหาเล็กน้อย ฉันได้พูดคุยปัญหาเดียวกันกับ Valentin Polishchuk ในปี 2009 และเราไปถึงไหนแล้ว

เพื่อให้ได้แนวคิดใหม่ ๆ ฉันพยายามหาคำถามที่ง่ายที่สุดที่มีรสชาติคล้ายกันและไม่น่ารำคาญ ดังนั้นคำถามต่อไปนี้

คำถาม:คุณจะได้รับรายการที่เรียงสองรายการโดยแต่ละรายการมีองค์ประกอบ$n$รายการ คุณสามารถรวมรายการต่างๆเพื่อให้แต่ละองค์ประกอบเปรียบเทียบเฉพาะ$O(1)$ครั้งได้หรือไม่

โดยปกติเอาต์พุตควรเป็นรายการที่เรียงลำดับซึ่งมีองค์ประกอบทั้งหมด$2n$

[สิ่งนี้กลายเป็นเรื่องไม่สำคัญคำตอบคือ "ไม่"]

คำถามที่ 2:คุณได้รับสองรายการที่เรียงลำดับโดยแต่ละรายการมีองค์ประกอบ$n$รายการ คุณสามารถรวมรายการต่างๆเพื่อให้แต่ละองค์ประกอบมีการเปรียบเทียบ$O(1)$ครั้งเท่านั้นหากคุณได้รับอนุญาตให้ยกเลิกองค์ประกอบส่วนเล็ก ๆ ได้หรือไม่

ผลลัพธ์ที่ได้ควรเป็นรายการที่เรียงลำดับที่มีองค์ประกอบ$2n-T(n)$และ "ถังขยะ" ที่มีองค์ประกอบ$T(n)$คุณสามารถทำให้ค่าขนาดเล็กแค่ไหน การได้รับนั้นไม่สำคัญ สิ่งที่ต้องการควรทำได้ในลักษณะที่ตรงไปตรงมา แต่คุณจะได้ไหม$T(n)$$T(n) = n$$T(n) = n/100$$T(n) = o(n)$

หมายเหตุ:

• เราใช้รูปแบบการเปรียบเทียบที่นี่ อัลกอริทึมที่กำหนดเท่านั้นเราสนใจในการรับประกันกรณีที่เลวร้ายที่สุด

• โปรดทราบว่ารายการทั้งสองมีองค์ประกอบอย่างแน่นอน ถ้าเรามีหนึ่งรายการที่มีองค์ประกอบnรายการและอีกหนึ่งรายการมี1องค์ประกอบคำตอบนั้นชัดเจนว่า "ไม่" แต่ถ้าทั้งสองรายการมีความยาวมันก็ดูเหมือนว่าหนึ่งอาจจะสามารถที่จะทำบางอย่าง "สมดุลภาระ"$n$$n$$1$

• เวลานี้อัลกอริทึมชนิดใดก็ได้ที่ถูกต้อง หากอัลกอริทึมของคุณใช้เครือข่ายการเรียงลำดับเป็นแบบเอกสารสำเร็จรูปจะถือว่าสมบูรณ์แบบ

• สำหรับจุดเริ่มต้นนี่คืออัลกอริทึมแบบง่ายที่เปรียบเทียบแต่ละองค์ประกอบเป็นจำนวนมากที่สุด 200 เท่า: ใช้อัลกอริธึมผสานแบบมาตรฐาน แต่บำรุงรักษาเคาน์เตอร์สำหรับส่วนหัวของรายการ เมื่อคุณไปถึง 200 ให้ทิ้งองค์ประกอบ ตอนนี้สำหรับแต่ละองค์ประกอบที่คุณทิ้งคุณได้วางองค์ประกอบ 200 รายการในอาร์เรย์ผลลัพธ์เรียบร้อยแล้ว ดังนั้นคุณมีความ 100$T(n) = n/100$

ไม่อัลกอริทึมดังกล่าวไม่สามารถอยู่ได้

สมมติเปรียบเทียบต่อองค์ประกอบที่จะได้รับอนุญาต$t$

$2^t$$2^t+1$$t+1$

$n$$n/2^t$$n/2^t$

$t$$o(n)$

ในบันทึกด้านข้างดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่จะจับคู่ขอบเขตนี้ด้วยอัลกอริธึมที่เปรียบเทียบองค์ประกอบทั้งหมดกับบันทึกขนาดของส่วนโดยรอบของรายการอื่น หากเป็นที่สนใจฉันจะพยายามหารายละเอียด