การประมวลผลล่วงหน้าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการสืบค้นบางประเภท

สมมติว่าเรามีกึ่งกลุ่มที่มีองค์ประกอบS = { s 1 , s 2 , ... , s n } เป้าหมายของเราคือการคำนวณผลิตภัณฑ์s ฉัน ∘ s ฉัน+ 1 ∘ ⋯ ∘ s J$(S,\circ)$$S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

ในบทความของพวกเขา "การประมวลผลที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการตอบแบบสอบถามออนไลน์" Alon และ Schieber พิสูจน์ว่าเราสามารถตอบแต่ละคำถามดังกล่าวได้ในขั้นตอน (โดยที่αเป็นฟังก์ชัน Invermann ผกผัน) โดยใช้จำนวนเชิงเส้นเท่านั้น ของการประมวลผลล่วงหน้า$O(\alpha(n))$$\alpha$

ถ้ามันเป็นที่ต้องการว่าแต่ละแบบสอบถามสามารถตอบได้ในO ( เข้าสู่ระบบ( J - ฉัน) )ขั้นตอนหนึ่งสามารถยังคงทำเช่นนี้มีเพียงเส้นตรง preprocessing?$s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$$O(\log(j-i))$

(คำถามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากคำถามล่าสุดนี้โดย Brendan McKay ที่ Mathoverflow)

สร้างต้นไม้ไบนารีสั่งสมดุลกับในใบ (ตามลำดับ) ในแต่ละโหนดภายในโวเก็บสินค้าของใบของต้นไม้ย่อยที่หยั่งรากลึกในโวลต์ การประมวลผลล่วงหน้านี้เห็นได้ชัดว่าทำงานในเวลา O ( n )และพื้นที่$s_1,\dots,s_n$$v$$v$$(n)$

ตอนนี้ในการคำนวณผลิตภัณฑ์ (ที่ฉัน< J ) เดินต้นไม้ขึ้นมาจากฉันไปที่บรรพบุรุษร่วมกันอย่างน้อย (LCA) ของฉันและเจ รวบรวมผลิตภัณฑ์ที่เก็บไว้ในเด็กที่ถูกต้องแต่ละคนห้อยออกนอกเส้นทางยกเว้นเด็กที่ถูกต้องของ LCA กล่าวอีกนัยหนึ่งเมื่อคุณขึ้นจากuไปยัง parent vหากuเป็นลูกซ้ายของvแล้วหยิบผลิตภัณฑ์ที่เก็บไว้ในchild ขวาของv ในทำนองเดียวกันเดินขึ้นจาก$s_i\circ\ldots\circ s_j$$i<j$$i$$i$$j$$u$$v$$u$$v$$v$$j$ไปที่ LCA และรวบรวมผลิตภัณฑ์ที่เก็บไว้ในเด็กซ้ายที่ห้อยออกจากเส้นทางนั้น คูณทุกผลิตภัณฑ์เหล่านี้พร้อมกับและs ญในการสั่งซื้อ$s_i$$s_j$