การทำคลัสเตอร์ความสอดคล้องโดยใช้ set union

ฉันโพสต์คำถามนี้ไปแล้วเมื่อไม่นานมานี้ในMathOverflowแต่ด้วยความรู้ที่ดีที่สุดของฉันมันยังคงเปิดอยู่ดังนั้นฉันจึงประกาศใหม่ที่นี่ด้วยความหวังว่าจะมีใครบางคนเคยได้ยิน

คำชี้แจงปัญหา

Let ,และมีสามพาร์ทิชันลงในส่วนว่าง (แสดงโดย 's, ' s และ 's) ของชุด { } ค้นหาสองวิธีเรียงสับเปลี่ยนและที่ย่อQ R พีพีเอชQ ฉันR J 1 , 2 , ... , n เธσ พีΣฉัน= 1 | P i ∪ Q π ฉัน ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

คำถาม

1) ความซับซ้อนของปัญหานี้ (หรือปัญหาการตัดสินใจที่สอดคล้องกัน) คืออะไร?

2) หากปัญหาสามารถแก้ไขได้จริงในเวลาพหุนามมันจะยังคงเป็นจริงสำหรับหมายเลขของพาร์ติชันหรือไม่?$k\geq 4$

งานก่อนหน้า

Berman, DasGupta, Kao และ Wang ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) ศึกษาปัญหาที่คล้ายกันสำหรับพาร์ติชันแต่ใช้ pairwiseแทนในด้านบน รวม พวกเขาพิสูจน์ว่าปัญหาคือ MAX-SNP-hard สำหรับแม้ในขณะที่แต่ละส่วนมีเพียงสององค์ประกอบโดยการลด MAX-CUT บนลูกบาศก์กราฟเป็นกรณีพิเศษของปัญหาของพวกเขาและให้ -approximation สำหรับการใด ๆkจนถึงตอนนี้ฉันยังไม่สามารถค้นหาปัญหาของฉันในวรรณกรรมหรือดัดแปลงหลักฐานของพวกเขาได้Δ ∪ k = 3 ( 2 - 2 / k ) $k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

ย่อยง่าย

นี่คือบางส่วนย่อยที่ฉันพบว่าสามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม:

• กรณี ;$k=2$
• กรณี , สำหรับใด ๆ;$p=2$$k$

ยิ่งกว่านั้นเมื่อไม่มีสองส่วนเท่ากันและทุกส่วนมีขนาดเรามีขอบเขตล่าง (ฉันไม่รู้ว่ามันคับหรือเปล่า)2 3 3 p + $k=3$$2$$3p+1$

ปัญหาคือ NP-hard พิสูจน์ได้จากการลดปัญหาต่อไปนี้:

ได้รับกราฟไตรภาคีกับNจุดในแต่ละส่วนจะมีNสามเหลี่ยมจุดสุดยอดเคล็ด-ในG ?$G$$N$$N$$G$

นี่คือการลดลง: รับอินสแตนซ์ของปัญหาดังกล่าวข้างต้นให้1 , 2 , 3แสดงว่าชุดของจุดในส่วนของแต่ละGและE ฉันเจเป็นชุดของขอบระหว่างฉันและเจ นอกจากนี้จำนวนจุดในแต่ละส่วนโดย1 , ... , N$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

เราสร้างตัวอย่างของปัญหาของคุณด้วยซึ่งMเป็นจำนวนมาก (พูด, M = 10 | E ( G ) | ) และP = N + 1 ครั้งแรก| E ( G ) | องค์ประกอบของ{ 1 , ... , n }ตรงกับขอบของG พาร์ติชันPถูกกำหนดดังนี้:$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$สำหรับฉัน= 1 , ... , Nคือชุดของขอบที่มีฉันจุดสุดยอดของ TH 1เป็นหนึ่งในปลายทางของพวกเขา เห็นได้ชัดว่าชุดเหล่านี้เป็นเคล็ดและสหภาพของพวกเขาเป็น E 1 , 2 ∪ E 1 , 3 P N + 1คือทุกอย่างอื่นเช่น E 2 , 3 ∪ { | E ( G ) | + 1 , … , | $P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$ } ในทำนองเดียวกันเรากำหนด Qใช้ 2แทน 1และ Rใช้ 3แทน1$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

ตอนนี้เราอ้างว่าอินสแตนซ์นี้มีวิธีแก้ปัญหาค่าใช้จ่ายไม่เกินและถ้าหากGมีNสามเหลี่ยมเคลื่อน ที่เห็นนี้แจ้งให้ทราบว่าตั้งแต่แรกMมีขนาดใหญ่, การแก้ปัญหาใด ๆ ที่มีค่าใช้จ่ายน้อยกว่า2 Mต้องแมP N + 1เพื่อQ N + 1และR N + 1 บัญชีนี้มีไว้สำหรับ| แล้ว E ( G ) $3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$ของต้นทุนทั้งหมดเราจึงเหลือ 2 | E ( G ) | - 3 N ตอนนี้ให้สังเกตว่าจุดตัดของแต่ละ P iและแต่ละ Q jนั้นมากที่สุด (และใกล้เคียงกันสำหรับ P iและ R kและสำหรับ Q jและ R k ) ดังนั้นฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์จะถูกย่อให้เล็กสุดถ้าทางแยกเหล่านี้สามารถเป็น 1 ในเวลาเดียวกัน สอดคล้องกับการนี้ยังไม่มีเคล็ดสามเหลี่ยมในG$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$$R_k$$N$$G$