จาก Extractors ไปจนถึง Pseudorandom Generators?

Luca Trevisan แสดงให้เห็นว่ามีการสร้างเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมหลอกจำนวนเท่าไรในความเป็นจริงแล้วคิดว่าเป็นเครื่องสกัดแบบ

http://www.cs.berkeley.edu/~luca/pubs/extractor-full.pdf

มีการสนทนาที่มีความหมายหรือไม่? เช่นการสร้างแบบ "ธรรมชาติ" ของเครื่องสกัดสามารถคิดได้ว่าเป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเทียมเทียม (PRG) หรือไม่?

สิ่งปลูกสร้าง Extractor ดูเหมือนจะสอดคล้องกับการแจกแจงเหนือ PRGs (เช่นผู้กลั่นใด ๆ จะไม่ประสบความสำเร็จในการแยกแยะสำหรับพวกเขาเกือบทั้งหมด) มีแอปพลิเคชันที่รู้จักสำหรับสิ่งนี้หรือไม่?

นี่เป็นคำถามการวิจัยที่สวยงามที่มีหลายแง่มุมและมีวิธีที่แตกต่างกันในการทำให้คำถามเป็นระเบียบขึ้นอยู่กับว่าคุณใช้เครื่องแยกแบบคุณหมายถึงเครื่องสกัดแบบ seeded หรือเครื่องสกัดแบบไร้เมล็ดและโดย PRG คุณหมายถึง PRG สำหรับวงจรบูลีน พื้นที่ epsilon-biased) นี่คือความคิดที่ไม่เป็นทางการบางส่วนจากส่วนหัวของฉัน (แต่ไม่ใช่คำตอบแบบเต็ม):

• สำหรับตัวดึงข้อมูลแบบเมล็ดเทียบกับ PRG แบบกล่องดำ (เช่นเดียวกับใน Nisan-Wigderson) ดูเหมือนว่า PRG แบบกล่องดำเป็นวัตถุที่แข็งแรงกว่าตัวดึงข้อมูล ถ้าคุณดูที่ Trevisan extractor มันไม่เพียง แต่เป็นตัวแยกแบบคำนวณเวลาแบบพหุนามเท่านั้น แต่มีคุณสมบัติพิเศษที่สำคัญ กล่าวคือการวิเคราะห์มีองค์ประกอบการคำนวณในท้องถิ่นและมีประสิทธิภาพในนั้น (กล่าวคืออัลกอริทึมถอดรหัสรายการท้องถิ่น) คุณลักษณะพิเศษนี้ไม่สำคัญสำหรับตัวแยก (เป็นวัตถุ combinatorial แม้ว่าเราต้องการให้ตัวแยกส่วนคำนวณได้แบบโพลิโนเมียล - เวลา) แต่เป็นสิ่งสำคัญสำหรับ PRG (เพื่อให้ distinguisher สามารถแปลงเป็นอัลกอริทึมสำหรับการคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ ฟังก์ชั่นยาก) ในความเป็นจริงสิ่งนี้สามารถทำเป็นระเบียบได้และ Ta-Shma และ Zuckerman ได้กำหนดคำนิยามของ "PRG กล่องดำ" อย่างเป็นทางการแล้วในเอกสาร "Extractor Codes" พวกเขาแสดงให้เห็นว่า PRGs แบบกล่องดำสามารถใช้สร้างตัวแยกได้ สำหรับการสนทนาฉันคิดว่าเราสามารถแสดงให้เห็นว่าตัวแยกใด ๆ ที่ตรงกับคุณสมบัติข้างต้นตรงกับ PRG กล่องดำ (ในภาษาของตัวแยกซึ่งหมายความว่ารหัสตัวแยกที่เกิดขึ้นจะต้องมีตัวถอดรหัสอ่อนที่มีประสิทธิภาพ) คุณอาจพบกระดาษของ Vadhan "The Unified Theory of Pseudorandomness" ที่เกี่ยวข้องกับการสนทนานี้

• ในโลกของเครื่องสกัดแบบไร้เมล็ด Trevisan และ Vadhan แสดงให้เห็นว่าการทำงานอย่างหนักสำหรับวงจรเฉพาะของครอบครัวนั้นส่งผลให้เครื่องสกัดสำหรับครอบครัวนั้น (กระดาษ "Extractors for Samplable Sources") ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่นที่ยากโดยเฉลี่ยสำหรับ AC0 สามารถแยกจากแหล่งที่สุ่มตัวอย่างด้วยวงจร AC0 (ถ้าค่าเอนโทรปีของแหล่งมีขนาดใหญ่พอ) ฟังก์ชั่นฮาร์ดตามธรรมชาติสัมพันธ์กับ PRGs (ตามที่สังเกตโดย Nisan-Wigderson) ดังนั้นที่นี่เราได้รับการมีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันที่แตกต่างกันระหว่าง PRG และตัวแยกแบบไร้เมล็ด อย่างไรก็ตามมีความชัดเจนน้อยกว่าว่าจะใช้ตัวแยกสำหรับแหล่งข้อมูลที่สุ่มตัวอย่างได้ (อาจทำให้คุณสมบัติเพิ่มเติมบางอย่างน่าพอใจ) เพื่อรับ PRG (สัญลักษณ์แสดงหัวข้อย่อยถัดไปให้คำตอบบางส่วนนี้) ทิศทางนี้อาจน่าสนใจน้อยกว่าการอภิปรายข้างต้นสำหรับตัวแยกที่มีเมล็ดตั้งแต่วันนี้เราไม่ '

• จากมุมมองของ combinatorial มีความคล้ายคลึงกันระหว่าง PRG และตัวแยก เราสามารถดู PRG เป็นเซตของคะแนนใน{ 0 , 1 } n (ผลลัพธ์ของ PRG สำหรับเมล็ดที่เป็นไปได้ทั้งหมด) หรือเท่ากันคือสีของhypercube n-มิติในสองสี ในทำนองเดียวกันตัวแยกที่มีเอาต์พุตหนึ่งบิต (หรือฟังก์ชันบูลีนใด ๆ ) สามารถมองเห็นเป็นชุดของจุด (ที่ตัวแยกส่วนประเมิน0 ) หรือสี (โดยทั่วไปจำนวนสีจะเป็น2 ม.โดยที่mคือความยาวเอาต์พุต) ตอนนี้ PRG พร้อมชุดจุดSจะฟังก์ชั่นโง่กับชุดจุด$S$$\{0,1\}^n$$n$$0$$2^m$$m$$S$ iff | S ∩ F | / | S | อยู่ใกล้กับ | F | / 2 n . นอกจากนี้ตัวแยกพร้อมชุดจุด Fแยกจากแหล่งแบนที่กระจายอย่างสม่ำเสมอบนชุดของจุด S iff | S ∩ F | / | S | อยู่ใกล้กับ 1 / 2 ความคล้ายคลึงกันระหว่างคำจำกัดความช่วยให้คนหนึ่งสามารถสรุปข้อสรุปที่มีความหมายบางอย่างได้ ตัวอย่างเช่นดูที่ตัวลอกเลียนแบบเหนือ { 0 , $F$$|S \cap F|/|S|$$|F|/2^n$$F$$S$$|S \cap F|/|S|$$1/2$ที่แยกจาก min-entropy n - 1และส่งออก 1บิต ทีนี้ลองพิจารณาเซต Sของสตริงที่แมปให้พูด 0โดยตัวแยกไฟล์และแปลมันเป็น "PRG" ข้างต้น (ด้วยความยาวเมล็ด n - 1 ) ตอนนี้การตีความสีข้างต้นแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นที่ได้นั้นเป็น PRG สำหรับฟังก์ชั่นเชิงเส้น นั่นคือเราได้รับเครื่องกำเนิด epsilon-biased จากเครื่องแยก นี่คือความสัมพันธ์ที่มีความหมาย แต่อาจไม่เป็นประโยชน์เพราะ PRG ที่เกิดขึ้นจะขยายเมล็ดเพียงหนึ่งบิตเท่านั้น บางทีผลลัพธ์ที่ดีกว่าสามารถสรุปได้ถ้าตัวแยกข้อมูลให้เอาต์พุตมากกว่าบิต แต่ฉันไม่ได้ตรวจสอบอย่างระมัดระวัง$\{0,1\}^n$$n-1$$1$$S$$0$$n-1$

Salil Vadhan เขียนถึงฉันว่าคำตอบของคำถามของฉันเป็นที่รู้จักและ PRGs เทียบเท่ากับตัวแยก

อ้างถึงเขา:

"ดูข้อเสนอที่ 21 และการสนทนาตามในการสำรวจของฉันhttp://people.seas.harvard.edu/~salil/research/unified-icm.pdf (มีตัวพิมพ์ใหญ่ -" เครื่องขยายความแข็งกล่องดำ "ควรเป็น" สีดำ " -box ก่อสร้าง PRG ")

มันบอกว่าตัวแยกจะเทียบเท่ากับโครงสร้าง PRG แบบกล่องดำที่คุณสนใจเฉพาะปริมาณคำแนะนำเท่านั้นไม่ใช่เวลาทำงานในการลด การขอจำนวนเวลาทำงานที่ จำกัด เพื่อขอตัวแยกข้อมูลด้วย "การถอดรหัสแบบโลคัลรายการ"

มีกระดาษที่ดีของ Chris Umans ในอะนาล็อกของคำถามนี้สำหรับผู้แจกจ่าย: http://www.cs.caltech.edu/~umans/papers/U05-final.pdf

เขาแสดงให้เห็นว่า dispersers ที่มีขั้นตอนการสร้างพหุนามเวลา แต่ไม่จำเป็นต้องมีคุณสมบัติการถอดรหัสในท้องถิ่นบ่งบอกถึงการดำรงอยู่ของการตั้งค่าเครื่องกำเนิดไฟฟ้ากดปุ่ม

นี่คือวิธีการที่จะดูมันอีก: สกัดอาจจะมองว่าเป็นรหัสรายการคืน (ซึ่งเป็นตัวแปรที่แข็งแกร่งของรหัสรายการอ่านได้) และ PRGS กล่องดำอาจจะดูของท้องถิ่นรหัสรายการรับคืน Dispersers อาจถูกมองว่าเป็นรายการที่กู้คืนได้โดยไม่มีข้อผิดพลาด สิ่งที่คริสแสดงให้เห็นว่ารหัสรายการคืนสำหรับศูนย์ข้อผิดพลาดที่มีพหุนามเวลาขั้นตอนการกู้คืนรายการหมายถึงการดำรงอยู่ของรหัสรายการคืนกับท้องถิ่นขั้นตอนการกู้คืนรายการ