มีลำดับชั้นการแสดงออกสำหรับระบบพิมพ์หรือไม่

แรงบันดาลใจจากลำดับชั้นที่กว้างขวางนำเสนอในทฤษฎีความซับซ้อนฉันสงสัยว่าลำดับชั้นดังกล่าวยังถูกนำเสนอสำหรับระบบประเภท อย่างไรก็ตามตัวอย่างสองตัวอย่างที่ฉันพบว่ามีทั้งแบบรายการตรวจสอบ (ที่มีคุณสมบัติมุมฉาก) มากกว่าลำดับชั้น (ด้วยระบบประเภทที่แสดงออกอย่างต่อเนื่องมากขึ้น)

สองตัวอย่างที่ฉันได้พบเป็นก้อนแลมบ์ดาและแนวคิดของK-การจัดอันดับความแตกต่าง รายการแรกคือรายการตรวจสอบที่มีสามตัวเลือกส่วนที่สองคือลำดับชั้นที่แท้จริง (แม้ว่าอันดับ k สำหรับค่าเฉพาะของ k นั้นเป็นเรื่องแปลกที่ฉันเชื่อ) คุณสมบัติระบบประเภทอื่น ๆ ทั้งหมดที่ฉันรู้จักส่วนใหญ่จะเป็นแบบมุมฉาก

ฉันสนใจแนวคิดเหล่านี้เพราะฉันออกแบบภาษาของตัวเองและฉันสงสัยมากว่ามันจัดอยู่ในประเภทระบบที่มีอยู่ในปัจจุบัน (ระบบประเภทของฉันค่อนข้างแปลกใหม่เท่าที่ฉันรู้)

ฉันตระหนักว่าแนวคิดของ 'การแสดงออก' อาจจะคลุมเครือเล็กน้อยซึ่งอาจอธิบายได้ว่าทำไมระบบประเภทจึงดูเหมือนรายการตรวจสอบให้ฉัน

มีความรู้สึกหลายอย่างของ "ความหมาย" ที่คุณอาจต้องการสำหรับระบบพิมพ์

1. $F$

2. $A$$B$$F$$F$

3. มีการแปลงเฉพาะที่ (ในความหมายของกระดาษของ Felleisen บนพลังการแสดงออกของภาษาการเขียนโปรแกรม ) ที่อนุญาตให้โปรแกรมที่พิมพ์ในระบบพิมพ์ในระบบBแต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน $A$$B$

4. ระบบหนึ่งพิมพ์รับประกันคุณสมบัติที่ดีกว่าระบบอื่นหรือไม่ ตัวอย่างเช่นระบบพิมพ์เชิงเส้นเพียงแค่ปฏิเสธโปรแกรมมากขึ้น แต่นั่นทำให้พวกเขาสามารถสร้างคำสั่งที่แข็งแกร่งขึ้นเกี่ยวกับโปรแกรมที่พวกเขายอมรับ

น่าเสียดายที่ฉันไม่เชื่อว่ามีการทำงานเกี่ยวกับการจัดหมวดหมู่หรือทำให้เป็นแนวคิดเหล่านี้อย่างเป็นทางการยกเว้นข้อยกเว้นแลมบ์ดาแลมบ์ดาของ Barendregt ตามที่ @cody กล่าวถึง

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันมีคำตอบที่น่าพอใจสำหรับคำถามของคุณ แต่ถ้าคุณพิจารณา Pure Type Systems ซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของระบบที่พบในแลมบ์ดาคิวบ์ (อย่างละเอียดถ้าภาพรวมค่อนข้างเก่าสามารถพบได้ในข้อความ Barendregt แบบคลาสสิก ) จากนั้นมีความคิดตามธรรมชาติของลำดับชั้นสอง:

1. $\Gamma\vdash_A\ t\colon T$$\Gamma\vdash_B\ t\colon T$$\Gamma, t$$T$$*\colon *$$(*,*,*)$PTS ในแง่ที่ว่ามี morphism จาก PTS อื่น ๆ สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการวัดความหมายของระบบประเภทซึ่ง PTS สุดท้ายคือระบบที่แสดงออกที่สุด

2. $A$$B$$A$$F_\omega$$ECC$$\leftrightarrow$