สิ่งที่จุดของ

ฉันคิดว่าฉันไม่เข้าใจมัน แต่$\eta$ -conversion รูปลักษณ์ที่ให้ฉันเป็น$\beta$ -conversion ที่ไม่ทำอะไรเลยเป็นกรณีพิเศษของ$\beta$ -conversion ที่ผลที่ได้คือเพียงแค่ในระยะที่เป็นนามธรรมแลมบ์ดาเพราะมีอะไรที่จะทำ ชนิดของจุดหมาย$\beta$ -conversion

ดังนั้นบางที$\eta$ -conversion เป็นสิ่งที่มันลึกและแตกต่างจากนี้ แต่ถ้าเป็นผมไม่ได้รับมันและฉันหวังว่าคุณสามารถช่วยฉันกับมัน

(ขอบคุณและขอโทษฉันรู้ว่านี่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นฐานเบื้องต้นในแคลคูลัสแลมบ์ดา)

Update [2011-09-20]:ฉันขยายย่อหน้าเกี่ยวกับ$\eta$ -expansion และส่วนขยาย ขอบคุณ Anton Salikhmetov ที่ชี้ให้เห็นการอ้างอิงที่ดี

$\eta$ -conversion$(\lambda x . f x) = f$เป็นกรณีพิเศษของ$\beta$ - แปลงเท่านั้นในกรณีพิเศษเมื่อ$f$เป็นตัวเองเป็นนามธรรมเช่นถ้า$f = \lambda y . y y$แล้ว

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ แต่ถ้า$f$เป็นตัวแปรหรือแอปพลิเคชันที่ไม่ลดลงไปสู่สิ่งที่เป็นนามธรรม?

ในทาง$\eta$ -rule เป็นเหมือนชนิดพิเศษของ Extensionality แต่เรามีจะเป็นบิตระมัดระวังเกี่ยวกับวิธีการที่ระบุไว้ เราสามารถระบุนามสกุลเป็น:

1. สำหรับทุก$\lambda$ -terms $M$และ$N$ถ้า$M x = N x$แล้ว$M = N$หรือ
2. สำหรับทุกถ้า∀ x ฉx = กรัมxแล้วฉ=กรัม$f, g$$\forall x . f x = g x$$f = g$

คนแรกคือ meta-คำสั่งเกี่ยวกับเงื่อนไขของแคลคูลัส ในนั้นxปรากฏเป็นตัวแปรอย่างเป็นทางการคือมันเป็นส่วนหนึ่งของλแคลคูลัส มันสามารถพิสูจน์ได้จากบีตาη -rules เห็นเช่นทฤษฎีบท 2.1.29 ใน"แลมบ์ดาแคลคูลัส: ไวยากรณ์และความหมาย"โดย Barendregt (1985) มันสามารถเข้าใจได้เป็นคำสั่งเกี่ยวกับทั้งหมดที่กำหนดฟังก์ชั่นคือผู้ที่มี denotations ของλ -terms$\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

ประโยคที่สองคือวิธีที่นักคณิตศาสตร์มักเข้าใจคำสั่งทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีของ -culculus อธิบายโครงสร้างบางอย่างให้เราเรียกพวกเขาว่า " λ -models " λ -model อาจจะนับไม่ได้ดังนั้นจึงไม่มีการรับประกันว่าองค์ประกอบของมันทุกสอดคล้องกับλระยะยาว (เช่นเดียวกับมีจำนวนจริงมากขึ้นกว่าที่มีการแสดงออกอธิบาย reals) Extensionality บอกว่า: ถ้าเราใช้สองสิ่งfและgในλ -model, ถ้าf x = g xสำหรับxทั้งหมดในรูปแบบ, ดังนั้นf = $\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$. แม้ตอนนี้ถ้ารุ่นพึงพอใจ -rule ก็ไม่จำเป็นต้องตอบสนองความ Extensionality ในความรู้สึกนี้ (จำเป็นต้องมีการอ้างอิงที่นี่และฉันคิดว่าเราต้องระวังวิธีการตีความความเท่าเทียมกัน)$\eta$

มีหลายวิธีที่เราสามารถกระตุ้นให้มี - และη -conversions ฉันจะสุ่มเลือกหมวดหมู่ตามทฤษฎีซึ่งปลอมตัวเป็นλ -calculus และคนอื่นสามารถอธิบายเหตุผลอื่น ๆ ได้$\beta$$\eta$$\lambda$

ขอให้เราพิจารณาพิมพ์แคลคูลัส (เพราะมันมีค่าน้อยสับสน แต่มากหรือน้อยกว่าการทำงานของเหตุผลเหมือนกันสำหรับ untyped λแคลคูลัส) หนึ่งในกฎหมายพื้นฐานที่ควรถือเป็นกฎหมายชี้แจงC × B ≅ ( C B ) (ผมใช้สัญลักษณ์→ BและB interchangably ยกแล้วแต่จำนวนใดดูเหมือนว่าจะดูดีขึ้น.) ทำอะไร isomorphisms ฉัน: C × B → ( C B )และJ $\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$มีลักษณะเหมือนที่เขียนใน λแคลคูลัส? สันนิษฐานว่าพวกเขาจะเป็นฉัน= λ ฉ: C × B λ : λ ข: B ฉ⟨ , ข⟩และ J = λ กรัม: ( C B ) λ p : A × $j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$ $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ การคำนวณระยะสั้นกับคู่ของ β -reductions (รวมทั้ง β -reductions π 1 ⟨ , ข⟩ =และ π 2 ⟨ , ข⟩ = Bสำหรับผลิตภัณฑ์) บอกเราว่าสำหรับทุกกรัม: ( C B ) Aเรามี i ( j g ) $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ $\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$$g : (C^B)^A$ ตั้งแต่ฉันและเจมีแปรผกผันกันของแต่ละอื่น ๆ ที่เราคาดหวังว่าฉัน( เจกรัม) = กรัมแต่จริงพิสูจน์เรื่องนี้เราจำเป็นต้องใช้ η -reduction ครั้งที่สอง:ฉัน( เจกรัม) = ( λ : . λ ข: B . g a b ) = η $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ ดังนั้นนี่คือเหตุผลหนึ่งที่ทำให้มี η -reductions การใช้สิทธิ: ซึ่ง η -rule เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อแสดงให้เห็นว่าเจ( ฉันฉ) = F ? $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ $\eta$$\eta$$j (i f) = f$

เพื่อที่จะตอบคำถามนี้เราสามารถให้ใบเสนอราคาต่อไปนี้จากเอกสารที่เกี่ยวข้อง“ แลมบ์ดาแคลคูลัส” ไวยากรณ์และความหมายของมัน (Barendregt, 1981):

จุดของการแนะนำของ -reduction คือการให้ความจริงสำหรับงบพิสูจน์ใน extensional λแคลคูลัสได้ [$\beta\eta$$\lambda$ทฤษฎีที่ต่อยืนสำหรับกฎ M x = N x ⇒ M = N ] ดังกล่าวว่าจะมี คุณสมบัติ Church-Rosser$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

เรื่อง N$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทต่อไปนี้]

ทฤษฎีบท (โดยแกง) ทฤษฎีและ λ ηเทียบเท่า ... [หลักฐานประกอบด้วยสองส่วน: ( ต่อ) ⇒ ( η ) . และในทางกลับกัน]$\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

หนึ่งในเหตุผลที่จะต้องพิจารณาระบบคือว่ามันมีคุณสมบัติบางอย่างของความสมบูรณ์ ... [คือในความรู้สึกของทฤษฎีบทดังต่อไปนี้.]$\lambda\eta$

ทฤษฎีบท. ให้และ$M$$N$ทั้งสองมีรูปแบบปกติ จากนั้นทั้งหรือλ η + M = Nไม่สอดคล้องกัน ...$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

HP สมบูรณ์ [หลังจาก Hilbert – Post] ทฤษฎีสอดคล้องกับทฤษฎีที่สอดคล้องกันสูงสุดในทฤษฎีของแบบจำลองสำหรับตรรกะลำดับแรก

เพียงเพื่อเพิ่มคำตอบที่ดีมาก Andrej ของทฤษฎีของ untyped แคลคูลัสกับβและηกฎลดตอบสนองบางคุณสมบัติที่ดีมาก:$\lambda$$\beta$$\eta$

• มันเป็นที่สอดคล้องกันในแง่ที่ว่ามีสองแง่เช่นและλ x Y ปีที่มีไม่บีตาηเทียบเท่า นี่คือผลของทฤษฎีบทบรรจบสำหรับบีตาηลดลง$\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• มันเป็นสูงสุดทฤษฎีที่สอดคล้องกันในความรู้สึกต่อไปนี้: ถ้าเป็น ความสมดุลในข้อตกลงดังกล่าวว่า:$\iota$
  

  1. มันถูกปิดโดยสอดคล้องกัน: ฯลฯ$u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. มันเท่ากับ 2 ไม่ใช่แง่เทียบเท่า$\beta\eta$ที่มีรูปแบบปกติ : มีอยู่และUในรูปแบบปกติเช่นที่T = ι Uและ T ≠ บีตาηยู$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

จากนั้นทฤษฎีที่เป็นที่ไม่สอดคล้องกันสำหรับทุกระยะ , UในรูปแบบปกติT = บีตาη ιยู$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของBöhm

-reduction จับความคิดของExtensionality- สองฟังก์ชั่นได้รับการพิจารณาเท่ากับ IFF พวกเขาให้เอาท์พุทเดียวกันกับปัจจัยการผลิตเดียวกัน$\eta$

$=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

$=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$