ฟังก์ชันที่ไม่สามารถสร้างได้และผลลัพธ์ที่ผิดปกติ

ในหนังสือของ Arora-Barak ในคำจำกัดความของฟังก์ชั่นที่สร้างเวลาได้มีการกล่าวว่าการใช้ฟังก์ชั่นที่ไม่ใช่เวลาที่สร้างได้สามารถนำไปสู่ ​​"ผลลัพธ์ที่ผิดปกติ" ไม่มีใครมีตัวอย่างของ "ผลลัพธ์ที่ผิดปกติ" ดังกล่าวหรือไม่? ฉันเคยได้ยินมาโดยเฉพาะว่าอาจมีฟังก์ชั่นอยู่เช่นนั้นที่ทฤษฎีบทลำดับชั้นไม่ได้มีใครบ้างมีตัวอย่างของฟังก์ชั่นดังกล่าวหรือไม่? มีบางอย่างเกี่ยวกับเรื่องนี้ในที่เก็บขยะบ้างไหม?

ทฤษฎีบท Gap ของ Borodin : สำหรับทุกฟังก์ชั่นที่คำนวณได้ทั้งหมด$g(n) \geq n$มีฟังก์ชันที่คำนวณได้ทั้งหมด $t$ ดังนั้น $DTIME[g(t(n))] = DTIME[t(n)]$.

ในความเป็นจริงสิ่งนี้มีไว้สำหรับการวัดความซับซ้อน Blum ใด ๆ แทน $DTIME$.

ดูหน้าวิกิพีเดียและการอ้างอิงในนั้น

เนื่องจากบทความ Wikipedia ไม่ได้ให้การพิสูจน์และกระดาษอยู่ใน ACM DL ฉันคิดว่ามันอาจมีประโยชน์ในการโพสต์หลักฐานที่นี่:

ทฤษฎีบท 3.7 (ทฤษฎีบทช่องว่าง)

ปล่อย $\Phi$ เป็นการวัดที่ซับซ้อน $g$ ฟังก์ชั่นซ้ำไม่ซ้ำเช่นนั้น $\forall x, g(x) \geq x$. จากนั้นมีฟังก์ชั่นวนซ้ำที่เพิ่มขึ้น$t$ ซึ่งทำหน้าที่คำนวณความซับซ้อนของการวัด $t$ เหมือนกับฟังก์ชันที่คำนวณได้ของการวัดความซับซ้อน $g\circ t$.

หลักฐาน

กำหนด $t$ ดังต่อไปนี้:

$$t(0) := 1$$ $$t(n) := \mu{ k > t(n-1)}: \forall i \leq n, (\Phi_i(n)<k \lor \Phi_i(n)> g(k) )$$

1. เพื่อทุกสิ่ง $n$มี $k$เนื่องจากทั้งหมด $i \leq n$:

   ถ้า$\Phi_i(n)$ ไม่ได้กำหนดไว้แล้ว $\forall k, \Phi_i(n)>g(k)$และ

   ข ถ้า $\Phi_i(n)$ กำหนดไว้แล้ว $\exists k, \Phi_i(n) < k$.

2. $k$ สามารถพบได้ซ้ำตั้งแต่ $\Phi$ เป็นการวัดที่ซับซ้อนและด้วยเหตุนี้ $\Phi_i(n) <k$ และ $\Phi_i(n) > g(k)$ เป็นภาคแสดงซ้ำ

3. $t$ สอดคล้องกับทฤษฎีบทตั้งแต่ $n \geq i$ หมายความว่าอย่างใดอย่างหนึ่ง $\Phi_i(n) < t(n)$ หรือ $\Phi_i(n) > g \circ t(n)$.

QED

เราสังเกตเห็นว่ามีขนาดใหญ่โดยพลการ $t$สามารถพบได้เพื่อตอบสนองทฤษฎีบท 3.7 สมมติว่าเราต้องการ$t(n) > r(n)$จากนั้นกำหนด

$$t(0) := r(0) + 1$$ $$t(n) := \mu{k > max\{t(n-1), r(n)\}}: \ldots$$

(จาก Allan Borodin " ความซับซ้อนในการคำนวณและการดำรงอยู่ของช่องว่างความซับซ้อน ", JACM 1972 ด้วยการปรับเปลี่ยนเล็กน้อย)