เราสามารถพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานที่อ่อนแอสำหรับ System F โดยการเหนี่ยวนำในลำดับ transfinite

ฟื้นฟูอ่อนแอง่ายพิมพ์แลมบ์ดาแคลคูลัสสามารถพิสูจน์ได้ (ทัวริง) โดยการเหนี่ยวนำใน 2 แคลคูลัสแลมบ์ดาขยาย recursors ในจำนวนธรรมชาติ (Gentzen) มีกลยุทธ์การฟื้นฟูที่อ่อนแอโดยการเหนี่ยวนำในε 0$\omega^2$$\epsilon_0$

สิ่งที่เกี่ยวกับ System F (หรืออ่อนแอกว่า)? มีหลักฐานการทำให้ปกติในรูปแบบนี้อ่อนแอหรือไม่? ถ้าไม่สามารถทำได้เลย

การสำรวจที่ครอบคลุมมากที่สุดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีการพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ (ซึ่งเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีการสร้างเชิงสร้างสรรค์) และการคำนวณทางคณิตศาสตร์อันดับสอง (ซึ่ง Ulrik ชี้ให้เห็นว่ามีความแข็งแกร่งเทียบเท่ากับระบบ F) คือ Girard (1989) ที่นั่นเขาได้สร้างทฤษฎีของตัวขยายสัญญาณ (1981) ซึ่งฉันไม่ได้ทำตามจริง ๆ แต่ฉันคิดว่าเป็นหลักให้ทฤษฎีที่ไม่มีโครงสร้างของ Skolemisation ที่มีลำดับสูงกว่า

$\Sigma^1_2$

ฉันจำได้ว่าการแนะนำให้นักทฤษฎีเชิงอันดับที่หนึ่งสามารถกำหนดว่าคุณสามารถสร้างคอนสตรัคติวิสต์แบบไม่เห็นแก่ตัวในทฤษฎีประเภทตามแคลคูลัส polymorphic แลมบ์ดา polymorphic และใช้เทคนิคการลดผู้สมัครจากหลักฐาน SN ของ Girard สำหรับ System F จักรวาลแห่งการก่อสร้างเรียกคลาสเทียบเท่าที่คุณได้รับจากกฎนี้ เขาพูดอะไรที่ฉลาดซึ่งฉันเอาไปบอกว่าคุณอาจจะได้งาน แต่มันจะมีข้อดีของการขโมยไปทำงานหนัก เพื่อให้มันทำงานไม่ดีพอที่คุณสามารถพิสูจน์ได้ในทฤษฎีเซตเกี่ยวกับการดำรงอยู่ของอันดับดังกล่าวคุณจะต้องมีหลักฐานพิสูจน์เชิงสร้างสรรค์ของการผ่าตัดตอสตอโธมาต

สรุปโดยความคิดตามปกติของการก่อสร้างสัญชาตญาณเนื่องจากบิชอป - มาร์ติน - ลอฟวรรณกรรมที่ฉันรู้จักไม่แนะนำอย่างยิ่ง หากคุณไม่ชอบงานหนักที่ซื่อสัตย์และจะโอบกอดลัทธิความเชื่อที่มีความคิดสร้างสรรค์สิ่งที่ฉันคาดเดาก็คือมันสามารถทำได้ โดยธรรมชาติแล้วคุณจะต้องมีทฤษฎีที่แข็งแกร่งกว่านี้ว่า System F เพื่อพิสูจน์การสร้าง trichotomy ที่ต้องการ แต่แคลคูลัสของ Inductive Constructions ให้ผู้สมัครที่ชัดเจน

อ้างอิง

1. $\Pi^1_2$
2. Girard (1989) พิสูจน์ทฤษฎีและความซับซ้อนเชิงตรรกะ, Vol. I , Napoli: Bibliopolis ไม่มีระดับเสียง II

$\Pi^0_2$$\omega^2$

$\varepsilon_0$$\Gamma_0$

หวังว่าวันหนึ่งจะมีใครบางคนเกิดสัญกรณ์อันดับเลขคณิตสำหรับลำดับที่สองที่ทุกคนจะเห็นด้วยเป็นเรื่องธรรมดาและจากนั้นก็สามารถนำไปใช้ในทางที่ตรงไปตรงมาเพื่อพิสูจน์การทำให้เป็นมาตรฐานที่อ่อนแอสำหรับระบบ F

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

นอกจากนี้ผมคิดว่าคณิตศาสตร์ลำดับที่สองมีความแข็งแรงมากและไม่มีที่สร้างสรรค์ผูกไว้บนเป็นที่รู้จักกันเลยสำหรับ "พิสูจน์ทฤษฎีลำดับ" ( ศิลปะของการวิเคราะห์ลำดับมาตรา 3 )

ฉันคิดว่าลำดับเชิงสร้างสรรค์นี้จำเป็นต้องมีการเหนี่ยวนำที่คุณร้องขอ