จัดเรียงตามระยะทางแบบยุคลิด

คือชุดของจุดบนเครื่องบิน มีการสุ่มจุดบนระนาบเดียวกัน งานคือการจัดเรียงทุกตามระยะทางแบบยุคลิดระหว่างและy ที่ $S$ $x \notin S$ $y \in S$ $x$ $y$

วิธีที่ไม่มีสมองคือการคำนวณระยะทางระหว่างและสำหรับทุกแล้วจัดเรียงพวกเขาโดยใช้อัลกอริทึมที่รวดเร็ว $x$ $y$ $y \in S$

มีวิธีใดในการจัดเก็บหรือประมวลผลล่วงหน้าดังนั้นกระบวนการเรียงลำดับจะเร็วขึ้นหรือไม่ $S$

cg.comp-geom sorting

— อเล็กซ์เค
แหล่งที่มา

คุณสามารถพิจารณาตารางที่มีขนาดและคะแนนกลุ่มที่เหมาะสมโดยใช้ตารางที่สอดคล้องกัน (ใช้, พูด, ตารางแฮช) จากนั้นสำหรับบางคู่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคุณสามารถอนุมานได้ว่าจุดทั้งหมดจากตารางหนึ่งอยู่ไกลจาก

มากกว่าจุดทั้งหมดจากอีกช่องหนึ่ง ในทางปฏิบัติมันสามารถช่วยได้ฉันเดา

x

$x$

— ilyaraz

“ วิธีการที่ไม่ต้องใช้สมอง” ซึ่งคุณระบุว่าทำงานในเวลา O (n log n) โดยที่ n คือจำนวนคะแนนใน S ซึ่งฉันคิดว่าค่อนข้างเร็วในทางปฏิบัติ คุณต้องการที่จะผลักปัจจัย log n หรือคุณต้องการอย่างอื่นเช่นการเรียงลำดับภายนอก ?

— Tsuyoshi Ito

ประเด็นก็คือฉันมีเวลาไม่ จำกัด ในการเตรียมชุดคะแนน แต่เวลาในการเรียงลำดับนั้นมี จำกัด มาก ที่กล่าวว่าการเพิ่มความเร็วในการคัดแยกมาตรฐานจะได้รับการชื่นชมแม้ว่าจะเป็น O (n log n) เดียวกัน แต่เร็วกว่าในกรณีที่เลวร้ายที่สุด (หรือกรณีที่ดีที่สุดหรืออะไรก็ตาม)

— Alex K.

ตัวอย่างเช่นถ้าฉันเก็บ S เป็นต้นไม้ 2 มิติฉันสามารถค้นหาเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุดหนึ่งคนในเวลา O (บันทึก n) อาจมีวิธีแก้ไขปัญหาที่คล้ายกันสำหรับงานของฉัน ฉันไม่ได้เป็นผู้เชี่ยวชาญที่ดีในโครงสร้างข้อมูลเชิงพื้นที่ - และมีจำนวนมาก - ฉันอาจพลาดได้ง่าย

— Alex K.

คำตอบ:

โซลูชันที่ 1: หา bisectors ตั้งฉากระหว่างคู่ของจุดและสร้างการจัดเรียงของเส้นเหล่านี้ การจัดเรียงมีเซลล์ภายในซึ่งเรียงลำดับเป็นค่าคงที่ ดังนั้นสร้างโครงสร้างข้อมูลตำแหน่งจุดสำหรับการจัดเรียงและตกแต่งแต่ละเซลล์ด้วยลำดับที่เรียงซึ่งจะถูกส่งกลับสำหรับจุดภายในเซลล์นั้น คำสั่งที่เรียงลำดับระหว่างเซลล์ที่อยู่ติดกันจะแตกต่างกันในการย้ายครั้งเดียวเท่านั้นดังนั้นคุณสามารถใช้โครงสร้างข้อมูลถาวรเพื่ออนุญาตการแสดงคำสั่งที่เรียงลำดับเหล่านี้เพื่อแบ่งปันพื้นที่ พื้นที่ทั้งหมดคือและเวลาแบบสอบถามเป็น $\Theta(n^2)$ $\Theta(n^4)$ $O(n^4)$ ) $O(\log n)$

โซลูชันที่ 2: เลือกตัวอย่างสุ่มของของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากเดียวกันเหล่านี้สร้างการจัดเรียงของพวกเขาและแบ่งพาร์ติชันแต่ละเซลล์การจัดเรียงตามส่วนของเส้นแนวตั้งผ่านแต่ละเส้นแบ่งของสองตัวอย่าง พาร์ติชันที่ได้นั้นมีเซลล์แต่ละเซลล์ที่มีความน่าจะเป็นสูงจะถูกข้ามโดยเส้นแบ่งครึ่งที่ไม่ได้สุ่มตัวอย่าง ตกแต่งแต่ละเซลล์ของพาร์ติชันโดยการเรียงลำดับคะแนนที่ถูกต้องเมื่อดูจาก x ภายในเซลล์ พื้นที่รวมเป็น ) $\Theta(n)$ $\Theta(n^2)$ $O(n)$ $O(n^3)$

ตอนนี้ในการทำแบบสอบถามให้ค้นหาจุดสอบถามในพาร์ติชันค้นหาการสั่งซื้อที่เก็บไว้กับเซลล์พาร์ติชันและใช้อัลกอริทึมการเรียงลำดับแบบต้นไม้เปรียบเทียบคาร์ทีเซียนของ Levcopoulos & Petersson (1989) เริ่มต้นด้วยการจัดเก็บนี้ เวลาสำหรับขั้นตอนนี้เป็นสัดส่วนกับที่คือจำนวนของจุดที่ออกจากคำสั่งซื้อที่มีจุดฉันแต่คือ (แต่ละเส้นแบ่งครึ่งที่ไม่ได้สุ่มทำให้เกิดจุดคู่ที่ไม่อยู่ในอันดับสูงสุด) ดังนั้นเวลาแบบสอบถาม $\sum_i O(1+\log k_i)$ $k_i$ $y_i$ $\sum k_i$ $O(n)$ ยังเป็น ) $\sum_i O(1+\log k_i)$ $O(n)$

— David Eppstein
แหล่งที่มา

PS ต่อไปนี้เป็นทางเลือกที่แตกต่างของโซลูชัน 2 ที่ใช้พื้นที่และเวลาแบบสอบถามเท่ากัน แต่ทำการซื้อขายอัลกอริทึมการประมวลผลล่วงหน้าที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นสำหรับอัลกอริทึมการสืบค้นที่ง่ายขึ้น: 11011110.livejournal.com/233793.html

— David Eppstein

ทำไม

ก่อนการประมวลผลเมื่อคุณสามารถเรียงลำดับจากทั่วทุก

จุดเริ่มต้นใน

เวลาและเก็บผลในตารางแฮชโดยใช้พื้นที่

n^{4}

$n^4$

n

$n$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

สำหรับการค้นหาอย่างต่อเนื่อง?

O (n^{2})

$O(n^2)$

— เดฟ

เนื่องจากมี

จุดเริ่มต้นด้วยคำสั่งซื้อที่แตกต่างกันเรียงลำดับไม่

)

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— David Eppstein

คุณอาจจะไม่สามารถที่จะได้รับจากเวลาวิธีการใด ๆ ที่คุณเชือดมัน; แม้กระทั่งการคำนวณพื้นที่ก่อนที่สอดคล้องกับคำสั่งการเรียงลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ฉันเชื่อว่า) ให้ผลผลิตภูมิภาคและการค้นหาภูมิภาคของคุณด้วยเทคนิคการค้นหาที่มีความหมายจะใช้เวลา ( แก้ไข: $n\log(n)$ $O(n!)$ $O(\log(n!)) = O(n\log(n))$ นี่เป็นสิ่งที่ผิดอย่างยิ่ง ดูคำตอบที่ยอดเยี่ยมของ David Eppstein สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม!) อีกวิธีหนึ่งที่เป็นประโยชน์ในการลดความซับซ้อนลงโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าคุณไม่ต้องการการเรียงลำดับเต็มรูปแบบในครั้งเดียว แต่เพียงแค่ต้องสามารถดึงใกล้ที่สุดออกมา ทันที - อาจผ่านไดอะแกรม Voronoi ที่สูงกว่า: ส่วนขยายของเซลล์ Voronoi มาตรฐานที่รองรับไม่เพียงเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด แต่ใกล้เคียงที่สุดเป็นอันดับสองและอื่น ๆ อีกมากมายกระดาษของ Frank Dehne ในการค้นหาเพื่อนบ้าน k- ที่ใกล้ที่สุดhttp: //people.scs .carleton.ca / ~ dehne / สิ่งพิมพ์ / 2-02.pdfน่าจะเป็นข้อมูลอ้างอิงที่เป็นที่ยอมรับ โฮมเพจของเขาที่http://www.dehne.carleton.ca/publicationsมีเอกสารจำนวนมากเกี่ยวกับไดอะแกรม Voronoi ที่อาจมีประโยชน์ $k$

— Steven Stadnicki
แหล่งที่มา

หากหนึ่งในพาร์ทิชันเครื่องบินเข้าไปในพื้นที่ที่มีการสั่งซื้อการจัดเรียงที่แตกต่างกันมี

ภูมิภาคไม่

)

ขอบเขตระหว่างภูมิภาคคือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของคู่ของคะแนนมี

เส้นดังกล่าวและชุดของภูมิภาคจะได้รับจากการจัดเรียงของเส้นเหล่านี้

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

O (n!)

$O(n!)$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— David Eppstein

@ David ฉันคิดว่าคุณควรตอบคำถามนี้

— James King

ลำดับที่สอง - n! รู้สึกผิดขณะที่ฉันกำลังเขียน แต่ฉันไม่เห็นกรณี ฉันจะแก้ไขคำตอบของฉันในไม่ช้าเพื่อแก้ไข แต่ฉันอยากเห็นคำตอบที่ตรงมากขึ้น ขอขอบคุณ!

— Steven Stadnicki