การประมาณที่ดีที่สุดสำหรับการลงคะแนนเสียงข้างมากคืออะไร?

การลงคะแนนเสียงส่วนใหญ่เกิดขึ้นค่อนข้างบ่อยในการยอมรับข้อผิดพลาด (และไม่ต้องสงสัยเลยว่าที่อื่น) ซึ่งฟังก์ชั่นเอาต์พุตบิตเท่ากับที่เคยปรากฏตามตัวอักษรบ่อยที่สุดในมูลค่าของบิตอินพุต เพื่อความง่ายสมมติว่าเมื่อใดก็ตามที่อินพุตมีจำนวนบิตเท่ากับในสถานะ 0 และสถานะ 1 มันจะส่งออก 0

สิ่งนี้สามารถสรุปเป็น dits ที่มีความเป็นไปได้มากกว่า 2 รายการสำหรับแต่ละอินพุตโดยส่งคืนค่าที่เกิดขึ้นบ่อยที่สุดในอินพุตและในกรณีของการผูกให้คืนค่าที่พบบ่อยที่สุดซึ่งมาจากพจนานุกรมแรก มาเรียกฟังก์ชั่นนี้ว่า

ฉันสนใจในผลลัพธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเมื่อแต่ละอินพุทมีการแจกแจงความน่าจะเป็นคงที่ (และการแจกแจงจะเหมือนกันสำหรับดิจิตแต่ละตัวในอินพุต) โดยเฉพาะฉันสนใจคำถามต่อไปนี้

ได้รับชุด$S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ , ถ้าเซตสุ่มตัวอย่างอิสระ$N$ครั้ง, ด้วยความน่าจะเป็น$p_i$เลือก องค์ประกอบ$i^{th}$ของ$S$ทุกครั้ง, สำหรับการเลือกคงที่ของ$v$คือความน่าจะเป็นที่คะแนนส่วนใหญ่ของผลลัพธ์เหล่านี้คือ$S_v$ ?

ตอนนี้มันเป็นเรื่องตรงไปตรงมาที่จะคำนวณคำตอบที่ถูกต้องสำหรับคำถามข้างต้นซึ่งเป็นผลรวมของการแจกแจงแบบหลายส่วน อย่างไรก็ตามสำหรับจุดประสงค์ของฉันสิ่งนี้ไม่เหมาะอย่างยิ่งและการปิดเพื่อการประมาณจะดีกว่า ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

การประมาณรูปแบบปิดใด ๆ กับความน่าจะเป็นข้างต้นมีขอบเขตที่แคบที่สุดในระยะทางสูงสุดจากค่าที่แน่นอน?

ถ้าสำหรับทุกฉัน≠ วีแล้ว$p_v > p_i$$i \ne v$

โดยที่คือการแจกแจงทวินามและTเป็นเกณฑ์โดยพลการ เสียบT = N ( พีวี + สูงสุดฉัน≠ วีพีวี ) / 2และการใช้ Chernoff ตัวหนึ่งสามารถบนผูกพันนี้น่าจะเป็นอี- Ω ( N )$B(n, p)$$T$$T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$$e^{-\Omega(N)}$

แน่นอนถ้าไม่สูงสุดคุณก็จะได้ภาพที่ตรงกันข้าม ด้วยความน่าจะเป็นที่vไม่เป็นผล$p_v$$v$