การค้นหาไบนารีทั่วไปสำหรับโพสต์?

สมมติว่าฉันมี poset "S" และ monotonic predicate "P" บน S ฉันต้องการค้นหาองค์ประกอบหนึ่งหรือทั้งหมดของ S ที่น่าพอใจ P

แก้ไข : ฉันสนใจในการลดจำนวนของการประเมินผลของ P

มีอัลกอริทึมใดที่มีอยู่สำหรับปัญหานี้และคุณสมบัติและการดำเนินการเพิ่มเติมใดบ้างที่พวกเขาต้องการใน S

สิ่งที่เกี่ยวกับกรณีพิเศษที่สำคัญเช่น:

• S คือลำดับเชิงเส้น - จากนั้นการค้นหาแบบไบนารีปกติจะทำงานตราบใดที่คุณมีการดำเนินการ "find middle"
• S คือขัดแตะ
• S เป็นโครงร่างย่อย
• S คือตาข่ายหลายชุด
• ...

ทั้งสองกรณีหลังมีความสำคัญเป็นพิเศษเช่นสำหรับการออกแบบการทดสอบ - คุณมีชุดบูลีนหรือพารามิเตอร์จริงและคุณต้องการค้นหาชุดค่าผสมที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ที่สร้างรูปแบบเฉพาะ (เช่นการทดสอบที่ล้มเหลว)

ฉันไม่ได้คิดเรื่องนี้มากนักดังนั้นโปรดแก้ไขให้ฉันถ้าฉันผิด

บอกว่าคือความกว้างของโพสต์$w$

1. สำหรับ poset ซึ่งเป็นสหภาพของ disjoint chains คุณต้องมีการประเมินอย่างน้อยw log nของPเพียงแค่ใช้ขอบเขตล่างมาตรฐานบนความซับซ้อนของแบบสอบถามของการค้นหาแบบไบนารีกับแต่ละ chain$w$$w\log n$$P$

2. เมื่อคุณทำการเปรียบเทียบฟรีคุณสามารถคำนวณการสลายตัวของลูกโซ่ของ poset ให้เป็นโซ่ได้ฟรี จะค้นหาไบนารีในแต่ละห่วงโซ่การระบุองค์ประกอบแรกที่ตอบสนองP จากนั้นไปที่องค์ประกอบที่ระบุและลบองค์ประกอบที่ครอบงำ จำนวนการประเมินผลของPคือO ( W บันทึกn ) สิ่งนี้จะระบุองค์ประกอบสูงสุดทั้งหมดเนื่องจากอาจมีองค์ประกอบสูงสุดได้สูงสุดหนึ่งรายการต่อห่วงโซ่$w$$P$$P$$O(w\log n)$

เพิ่ม:จริง ๆ แล้วฉันเห็นอัลกอริทึมแบบเรียกซ้ำง่าย ๆ เพื่อทำดีกว่า ( ) สำหรับโครงข่ายย่อย2 [ n ] ( แก้ไข : domotor อธิบายกลยุทธ์ทั่วไปในคำตอบของเขา) ที่นี่ฉันกำลังสมมติว่าPเป็นแบบโมโนโทน (เช่นเซตย่อย{ X : P ( X ) = 1 }เป็นชุดล่าง) ซึ่งฉันคิดว่าคุณหมายถึงอะไร ดังนั้นนี่คืออัลกอริทึมในการค้นหาสมาชิกชุดล่าง:$O(n)$$2^{[n]}$$P$$\{X: P(X) = 1\}$

ก) การทดสอบ ) ถ้าเป็น 0 ให้หยุด$P(\emptyset)$

ข) การทดสอบ ) $P(\{n\})$

bi) ถ้าเป็น 0 ให้หักค่าเป็น (ตกลงเนื่องจากไม่มีชุดที่มีnอยู่ในชุดล่าง)$2^{[n-1]}$$n$

b.ii) ถ้า 1 แล้วมีอยู่เป็นสมาชิกของชุดที่ต่ำกว่าใน sublattice } โครงสร้างย่อยนี้ isomorphic ถึง2 [ n - 1 ]ดังนั้นเราสามารถเรียกคืนได้อีกครั้ง แม่นยำยิ่งขึ้นเราสามารถเรียกใช้อัลกอริทึมสำหรับ2 [ $\{X: n \in X\}$$2^{[n-1]}$แต่เมื่อขั้นตอนวิธีการถามเพื่อประเมินP(Y)เราประเมินP(X)ที่X=Y∪{n}$2^{[n-1]}$$P(Y)$$P(X)$$X = Y \cup \{n\}$

ดังนั้นในแต่ละขั้นตอนเราจึงเรียกเก็บเงินใหม่จาก sublattice ซึ่งมีขนาดครึ่งหนึ่งของขนาดดั้งเดิม โดยรวมแล้วเราจำเป็นต้องประเมินมากที่สุด2 nครั้ง (อันที่จริงคุณสามารถใช้อัลกอริทึมเพื่อประเมินเพรดิเคตn + 1เท่าที่โยชิโอชี้ให้เห็นเนื่องจากคุณเพียงแค่ตรวจสอบ∅ครั้ง)$P$$2n$$n+1$$\emptyset$

ถ้าเป็นต้นไม้ดังนั้นจะมีอัลกอริธึมเวลาพหุนามที่สร้างแผนภูมิการตัดสินใจที่ดีที่สุด$P$

ลักษณะทั่วไปของการค้นหาแบบไบนารี: ค้นหาในต้นไม้และคำสั่งซื้อบางส่วนเหมือนป่า

หนึ่งกระดาษที่ผ่านมาโดย Daskalakis et al, แสดงให้เห็นว่าสำหรับ poset ขนาดและความกว้างWองค์ประกอบน้อยที่สุดสามารถพบได้ในเวลา$n$$w$ ) สิ่งที่น่าสนใจคือในนามธรรมพวกเขาพูดว่า$O(wn)$

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสนใจในการค้นหาโครงสร้างข้อมูลแบบคงที่และแบบไดนามิกที่มีบทบาทเดียวกันสำหรับคำสั่งบางส่วนที่ฮีปและแผนภูมิการค้นหาแบบไบนารี่เล่นสำหรับคำสั่งซื้อทั้งหมด

ถ้า S เป็นส่วนหนึ่งของอินพุตดังนั้นปัญหาในการค้นหาองค์ประกอบสูงสุดแล้วจะกลายเป็น `` NP-hard '' (ถ้าเราคิดว่าโครงตาข่ายนั้นองค์ประกอบนั้นเป็นสตริงที่มีความยาว n บิต) เช่นคุณสามารถพูดว่าถ้า CNF (x) ไม่เป็นความจริงและ CNF (y) เป็นจริงสำหรับ CNF บางตัว$x<y$

นอกจากนี้อาจมีองค์ประกอบสูงสุดจำนวนมากที่ทำให้ P พอใจดังนั้นแม้ว่าการส่งออกทั้งหมดอาจใช้เวลานานดังนั้นฉันคิดว่ามีเพียงหวังว่าจะพบหนึ่งสูงสุด

โดยทั่วไปการค้นหาแบบไบนารี่จะใช้งานได้หากคุณสามารถเลือกองค์ประกอบแบบซ้ำ ๆ หลังจากที่คุณถูกทิ้งให้อยู่กับองค์ประกอบด้านบนหรือองค์ประกอบด้านบนจะถูกลบและในทุก ๆ ชุดจะมีการลบอัตราส่วนคงที่ขององค์ประกอบนั้น

เช่น. ถ้า S เป็นกริดมิติคงที่ก็มีอัลกอริทึมที่รวดเร็ว: ลดพิกัดหนึ่งตำแหน่งลงในขณะที่รักษาค่าอื่น ๆ ให้น้อยที่สุดดังนั้นถามเช่นในขั้นตอนแรก (n / 2,0, ... , 0)

ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องที่สำคัญอย่างหนึ่งคือทฤษฎีบทจุดคงที่ของ Tarski แทนที่จะเป็น P คุณต้องใช้การทำแผนที่แบบโมโนโทนจากตาข่ายไปยังตัวมันเอง ทฤษฎีบทบอกว่าจุดคงที่เป็นรูปประกอบขัดแตะ เราพิสูจน์ด้วย Jaroslaw Byrka และ Paul Duetting ว่าในการตั้งค่านี้ถ้า lattice เป็น d-dimension grid คุณสามารถหาจุดคงที่ได้ในเวลาประมาณโดยอัลกอริธึมเป็นการค้นหาไบนารีแบบง่าย$n^d$

$P$$2^{[n]}$$n$$P$$P$