กราฟเส้นรอบวงสูงปกติที่มีลำดับรวมแบบโลคอลบนโหนด

คำนิยาม

ให้และให้ ,และเป็นจำนวนเต็มบวก (กับ )$\epsilon > 0$r g g > 2 r + $d$$r$$g$$g > 2r+1$

ให้เป็นที่เรียบง่าย, -regular, undirected กราฟ จำกัด กับเส้นรอบวงอย่างน้อยกรัมd $G = (V,E)$$d$$g$

Letเป็นยอดสั่งซื้อในV$\le$$V$

สำหรับแต่ละให้ประกอบด้วยโหนดที่อยู่ภายในระยะทางจากใน (เส้นทางที่สั้นที่สุดจากไปยังมีขอบที่สุด) และให้เป็นกราฟย่อย ของที่เกิดจากV_vจำได้ว่าเราสันนิษฐานว่ามีเส้นรอบวงสูง ดังนั้นเป็นต้นไม้ Letเป็นข้อ จำกัด ของเพื่อV_vV V ⊆ V R วีจีวียู∈ วีวีอาร์จีวีจีวีวีจีจีวี≤ วี ≤ วี$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$$V_v$

เราบอกว่าขอบนั้นดีถ้าและเป็น isomorphic นั่นคือมี bijectionที่รักษา adjacencies ( iff ) และคำสั่ง ( iff ) มิฉะนั้นขอบเป็นที่ไม่ดี$\{u,v\} \in E$( G v , ≤ v ) f : V u → V v { x , y } ∈ E { f ( x ) , f ( y ) } ∈ E x ≤ y f ( x ) ≤ f ( y $(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

เราบอกว่าคือ - ดีถ้ามีอย่างน้อยขอบที่ดีϵ ( 1 - ϵ ) | E $(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

คำถาม

ให้4 มี - คู่ที่ดีสำหรับและและใด ๆ(กับ ) หรือไม่?ε ( G , ≤ ) ε > 0 R กรัมR « $d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

หมายเหตุ:

• ฉันต้องการทราบคำตอบสำหรับทั่วไปแต่เป็นกรณีที่ไม่สำคัญครั้งแรกd = $d$$d = 4$

• ขนาดของไม่สำคัญตราบใดที่มี จำกัด ฉันไม่ต้องการการก่อสร้างของ ; มีอยู่จริงหรือไม่มีอยู่ก็เพียงพอแล้ว$G$$G$

ตัวอย่าง

• ถ้าคำตอบคือ "ใช่" เราสามารถใช้วงจรที่ยาวเพียงพอและสั่งซื้อโหนดตามรอบ มีขอบที่ไม่ดีอยู่ใกล้กับขอบที่เชื่อมต่อกับโหนดที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด แต่ขอบอื่น ๆ ทั้งหมดนั้นดี: สำหรับเกือบทุกโหนดคู่เป็นเพียงเส้นทางที่มีโหนดในการเพิ่ม ใบสั่ง.v ( G v , ≤ v ) 2 r + $d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• ถ้าคำตอบคือ "ใช่" เพียงใช้กราฟเส้นรอบวงสูงปกติ$r = 0$

• หากมีขนาดเล็กพอคำตอบคือ "ใช่" สำหรับการใด ๆ แม้งเพียงใช้กราฟกริดมิติมิติ (ที่มีขอบเขตล้อมรอบเพื่อให้เป็น ) และเรียงลำดับโหนดตามพจนานุกรมด้วยพิกัดของพวกเขา อีกครั้งเรามีขอบที่ไม่ดีอยู่ใกล้กับขอบเขตของตาราง แต่เราสามารถทำให้จำนวนของขอบที่ไม่ดีเล็กตามอำเภอใจd ( d / 2 ) $g$$d$$(d/2)$$d$

• หากไม่ได้จะต้องมีการ จำกัด คำตอบคือ "ใช่" สำหรับการใด ๆ แม้งต้นไม้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดปกติมีลำดับรวมที่ขอบทั้งหมดดี$G$$d$

• ถ้าเป็นเลขคี่และมีขนาดใหญ่พอคำตอบคือ "ไม่" ในสาระสำคัญNaor & Stockmeyer (1995)แสดงให้เห็นว่าทุกโหนดเกิดเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับขอบที่ไม่ดีอย่างน้อยหนึ่งจุด$d$$r$

พื้นหลัง

(ส่วนนี้สามารถข้ามได้อย่างปลอดภัย)

คำถามที่เกี่ยวข้องกับรากฐานของการคำนวณแบบกระจายและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในขั้นตอนวิธีการในท้องถิ่น

สิ่งที่เราต้องการทำความเข้าใจมีดังต่อไปนี้: ในสถานการณ์ใดที่การมีอยู่ของออเดอร์ทั้งหมดจะช่วยให้สมมาตรในท้องถิ่นแตกหักในระบบกระจาย สังหรณ์ใจแต่ละโหนดของมีการผลิตผลผลิตที่เป็นหน้าที่ของคือฟังก์ชั่นของย่านท้องถิ่นของโวลต์ถ้า edgeไม่ถูกต้องมีข้อมูลบางส่วนที่มีความสมมาตรเฉพาะที่อยู่ใกล้กับและโหนดและอาจสร้างเอาต์พุตที่แตกต่างกัน ถ้า edge นั้นดีโหนดและนั้นไม่สามารถแยกกันได้ในพื้นที่และพวกมันจะต้องสร้างเอาต์พุตที่เหมือนกันG ( G v , ≤ v ) v e = { u , v } e u v u $v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

สำหรับปัญหากราฟคลาสสิกจำนวนมากเป็นที่ทราบกันว่าคำสั่งซื้อทั้งหมดไม่ได้ช่วย (ความสัมพันธ์ที่อ่อนแอยิ่งกว่านั้นให้ข้อมูลที่เป็นสัดส่วนจำนวนเท่ากันหมด) แต่บางกรณียังคงเปิดอยู่ - และผลทั่วไปที่ครอบคลุมกรณีทั้งหมด กราฟเส้นรอบวงอาจเป็นความก้าวหน้า

นี่อาจเป็นคำถามที่ชนะ: โดยไม่คำนึงถึงคำตอบเราเรียนรู้สิ่งใหม่ หากคำตอบคือ "ใช่" เราอาจสามารถได้ผลลัพธ์ที่ใหม่และมีขอบเขตต่ำ ถ้าคำตอบคือ "ไม่" เราอาจจะสามารถที่จะออกแบบได้เร็วขึ้นอัลกอริทึมที่ใช้ประโยชน์จากข้อมูลที่สมมาตรทำลายท้องถิ่นที่มีอยู่ในใด ๆle)$(G,\le)$

แน่นอนในโลกแห่งความจริงเราไม่มีคำสั่งทั้งหมดใน ; เรามีบางสิ่งบางอย่างมากขึ้น: แต่ละโหนดมีฉลากที่ไม่ซ้ำกัน{N} แต่การเชื่อมช่องว่างระหว่างคำสั่งซื้อทั้งหมดและป้ายกำกับที่ไม่ซ้ำกันมักจะตรงไปตรงมามากขึ้น บ่อยครั้งที่ข้อโต้แย้งคล้าย Ramsey แสดงให้เห็นว่า (ในกรณีที่เลวร้ายที่สุด) ฉลากจะไม่ให้ข้อมูลใด ๆ ที่ไม่สามารถใช้ได้ในการสั่งซื้อทั้งหมดv ∈ V ℓ ( v ) ∈ $V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

ใช่เช่นคู่ที่มีอยู่สำหรับการใด ๆใด ๆใดและแม้dϵ > 0 r g $(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

ดูรายละเอียดarXiv: 1201.6675