คำศัพท์แลมบ์ดาแคลคูลัสที่ลดลงไป

ในภารกิจต่อเนื่องของฉันเพื่อพยายามเรียนรู้แลมด้าแคลคูลัส Hindley & Seldin "แลมบ์ดา - แคลคูลัสและผู้แนะนำ Combinators" กล่าวถึงบทความต่อไปนี้(โดย Bruce Lercher)ซึ่งพิสูจน์ให้เห็นว่านิพจน์ที่สามารถลดได้ซึ่งเป็นแบบเดียวกัน คือ )$(\lambda x.xx)(\lambda x.xx)$

ในขณะที่ฉันเชื่อผลลัพธ์ฉันจะไม่ทำตามข้อโต้แย้งเลย

มันค่อนข้างสั้น (น้อยกว่าหนึ่งย่อหน้า) คำอธิบายใด ๆ ที่จะได้รับการต้อนรับมากที่สุด

ขอบคุณ

ชาร์ลี

ครั้งแรกที่ทราบว่าผลที่ได้ระบุว่า Redex เพียงเบต้าที่ด้านขวามือจะมีค่าเท่ากับ (โมดูโลอัลฟาแปลง) ไปทางด้านซ้ายมือเป็น ) มีคำอื่น ๆ ที่ลดตัวเองมี redex นี้ในบริบท$(\lambda x. x x) (\lambda x. x x)$

ฉันสามารถดูได้ว่างานพิสูจน์ส่วนใหญ่ของ Lercher เป็นอย่างไรแม้ว่าจะมีจุดที่ฉันไม่สามารถผ่านมาได้โดยไม่ต้องแก้ไขหลักฐานเล็กน้อย สมมติว่า (ผมใช้=สำหรับความเท่าเทียมอัลฟา) และตามการประชุมตัวแปรสมมติว่าxไม่ได้เกิดขึ้นในฟรีB$(\lambda x. A) B = [B/x] A$$=$$x$$B$

นับจำนวนของทางด้านซ้ายและด้านขวา การลดลงเอาจาก Redex บวกบรรดาBและเพิ่มให้มากที่สุดเท่าที่มีอยู่ในBครั้งหมายเลขของเหตุการณ์ของxใน ในคำอื่น ๆ ถ้าL ( M )เป็นจำนวนของλ 's ในMและ# x ( M )เป็นหมายเลขของเหตุการณ์ฟรีxในMแล้ว1 + L ( B ) = # x$\lambda$$B$$B$$x$$A$$L(M)$$\lambda$$M$$\#_x(M)$$x$$M$ ) ทางออกเดียวของสมการไดโอแฟนไทน์คือ # x ( A ) = 2 (และ L ( B ) = 1แต่เราจะไม่ใช้ความจริงนั้น$1 + L(B) = \#_x(A) \times L(B)$$\#_x(A) = 2$$L(B)=1$

ฉันไม่เข้าใจอาร์กิวเมนต์ของ Lercher สำหรับย่อหน้าข้างต้น เขานับจำนวนของ 's และเงื่อนไขอะตอม; ลองเขียน# ( M )นี้ สมการคือ# ( B ) + 1 = # x ( A ) × ( # ( B ) - 1 )ซึ่งมีสองวิธี: # x ( A ) = 2 , # ( B ) = 3และ# x ( $\lambda$$\#(M)$$\#(B) + 1 = \#_x(A) \times (\#(B) - 1)$$\#_x(A)=2, \#(B)=3$ 2 ฉันไม่เห็นวิธีที่ชัดเจนในการขจัดความเป็นไปได้ที่สอง$\#_x(A)=3, \#(B)=2$

ให้เราใช้เหตุผลเดียวกันกับจำนวนเทอมเท่ากับทั้งสองข้าง การลดจะลบหนึ่งใกล้ด้านบนและเพิ่มมากที่สุดเท่าที่มีการเกิดขึ้นของxในA , คือ 2 ดังนั้นจึงเกิดขึ้นอีกBจะต้องหายไป; ตั้งแต่คนในยังคงอยู่ (เพราะBไม่มีฟรีx ) ที่เกิดขึ้นพิเศษBบนด้านซ้ายมือจะต้องλ x ก .$B$$x$$A$$B$$A$$B$$x$$B$$\lambda x. A$

ฉันไม่เข้าใจว่า Lercher อนุมานได้อย่างไรว่าไม่ได้มีBเป็นคำย่อย แต่จริงๆแล้วมันไม่ได้เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์$A$$B$

จากสมมติฐานเริ่มต้นเป็นแอปพลิเคชัน นี้ไม่สามารถเป็นกรณีที่หาก= xจึงตัวเองเป็นโปรแกรมM Nกับλ x M N = [ ( λ x . M N ) / x ] M = [ ( λ x . M N ) / x ] $[(\lambda x. A)/x] A$$A = x$$A$$M N$$\lambda x.M N = [(\lambda x. M N)/x] M = [(\lambda x. M N)/x] N$. ตั้งแต่ไม่สามารถมีตัวเองเป็น subterm ที่Mไม่สามารถมีรูปแบบλ x Pดังนั้นM = x ในทำนองเดียวกันN = x$M$$M$$\lambda x.P$$M = x$$N = x$

ฉันชอบการพิสูจน์ที่ไม่มีข้อโต้แย้งในการนับ สมมติว่า$(\lambda x. A) B = [B/x] A$

$A = x$$(\lambda x. A) B = B$$B$$A$$A_1 A_2$$\lambda x. A = [B/x] A_1$$B = [B/x] A_2$

$A_1 = x$$A_1 = \lambda x. [B/x] A$$A_1 = \lambda x. (\lambda x. A_1 A_2) B$

$A_2 = x$$A_2$$x$$B$$A_2 = B$

$A = x x$$B B$$B = \lambda x. A$$\lambda x. x x$