วิธีที่ดีที่สุดในการกำหนดมิติต่ำสุดของโครงสร้างที่กำหนดระยะห่างระหว่างจุดเท่านั้น

ฉันเจอปัญหานี้ในด้านฟิสิกส์ค่อนข้างห่างไกลจากวิทยาการคอมพิวเตอร์ แต่มันดูเหมือนว่าเป็นประเภทของคำถามที่ได้รับการศึกษาใน CS ดังนั้นฉันคิดว่าฉันจะลองเสี่ยงโชคที่นี่

ลองนึกภาพคุณจะได้รับชุดของจุดและรายการของบางส่วนของระยะทางระหว่างจุดวันที่ฉันเจ วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดในการกำหนดมิติต่ำสุดของพื้นที่ที่คุณต้องฝังคะแนนเหล่านี้คืออะไร ในคำอื่น ๆ สิ่งที่เป็นที่เล็กที่สุดkดังกล่าวว่ามีอยู่ชุดของจุดในR kความพึงพอใจของระยะทางที่ จำกัดวันที่ฉันเจ ฉันจะมีความสุขเท่าเทียมกันกับคำตอบสำหรับC kแต่ดูเหมือนยากขึ้น$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

ผมมีความสุขที่จะบอกว่าระยะทางที่จำเป็นต้องตรงกับเพียงเพื่อความถูกต้องภายในบางอย่างคงที่εและจะมีจุด จำกัด เฉพาะจุดบนตาข่ายระยะห่างอย่างต่อเนื่องบางส่วนในการสั่งซื้อเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาของการคำนวณกับจำนวนจริง$d_{ij}$$\epsilon$

อันที่จริงผมจะมีความสุขมากกับการแก้ปัญหาสำหรับรุ่นการตัดสินใจของปัญหานี้ที่ได้รับและkคุณจะถูกถามว่าจริงหรือไม่เช่นชุดของจุด{ โวฉัน }มีอยู่ ปัญหาเล็กน้อยคือปัญหา NP เนื่องจากกำหนดจุดในR kมันง่ายต่อการตรวจสอบว่าพวกเขาตอบสนองความต้องการระยะทาง แต่รู้สึกว่าควรมีอัลกอริธึมเวลาแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสำหรับปัญหานี้โดยเฉพาะ$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

$k$

สุดท้ายให้ฉันบอกว่าฉันรู้ว่ามันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างรายการของระยะทางที่ไม่สามารถสร้างความพึงพอใจในมิติใด ๆ (เช่นรายการที่ละเมิดความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยม) อย่างไรก็ตามสำหรับกรณีที่ฉันสนใจจะมีจำนวน จำกัด ขั้นต่ำที่จะพบชุดคะแนนที่น่าพอใจเสมอ

ปัญหานี้บางครั้งเรียกว่าการเสร็จสิ้นเมทริกซ์ระยะทางแบบยุคลิดมิติต่ำหรือแบบยุคลิดมิติต่ำของการฝังกราฟถ่วงน้ำหนัก

Saxe [Sax79] และ Yemini [Yem79] แสดงให้เห็นอย่างอิสระโดยการลดปัญหาพาร์ทิชันอย่างง่าย ๆ ว่าปัญหานี้เป็นปัญหาที่สมบูรณ์แม้ในกรณีของมิติเดียว นั่นคือปัญหาต่อไปนี้คือ NP-complete สำหรับk = 1:

k -dimensional เมทริกซ์ระยะห่างแบบยุคลิด / k -dimentional แบบยุคลิดการฝังของกราฟถ่วงน้ำหนัก
อินสแตนซ์ : เมทริกซ์สมมาตร Mซึ่งมีรายการเป็นจำนวนเต็มบวกในไบนารีหรือ "ไม่ทราบ"
คำถาม : รายการที่ไม่รู้จักใน Mจะถูกเติมด้วยจำนวนจริงเพื่อให้ Mกลายเป็นเมทริกซ์ระยะทางของจุดใน k-มิติปริภูมิแบบยุคลิดปริภูมิℝ ^k ?
เท่ากัน
ตัวอย่าง : กราฟ Gที่แต่ละขอบมีน้ำหนักจำนวนเต็มบวกเขียนในไบนารี
คำถาม : สามารถวางจุดยอดของ Gไว้ในk-มิติปริภูมิแบบยุคลิดปริภูมิℝ ^kดังนั้นสำหรับแต่ละขอบของG , ระยะห่างระหว่างจุดปลายทั้งสองเท่ากับน้ำหนักของขอบ?

นอกจากนี้แซ็กซ์ [Sax79] แสดงให้เห็น (โดยการลดส่วนร่วมมากขึ้นจาก 3SAT) ที่kมิติระยะทางยุคลิดเมทริกซ์เสร็จสิ้นยังคง NP-ยากแม้ภายใต้ข้อ จำกัด ที่ว่าทุกรายการเป็นที่รู้จักกันในMมีทั้ง 1 หรือ 2 สำหรับทุกจำนวนเต็มบวกอย่างต่อเนื่องเค . โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาคือ NP-complete แม้ว่ารายการที่รู้จักในMจะได้รับใน unary [Sax79] ยังมีผลลัพธ์ความแข็งบางประการเกี่ยวกับการฝังโดยประมาณ

โดยวิธีการที่ฉันไม่คิดว่ามันเป็นเรื่องเล็กน้อยที่ปัญหาอยู่ใน NP; โปรดทราบว่าคุณต้องการพิกัดไม่มีเหตุผลในบางกรณีเมื่อk > 1 ฉันไม่ทราบว่าเป็นที่รู้จักกันใน NP

อ้างอิง

[Sax79] James B. Saxe ความสามารถในการฝังตัวของกราฟถ่วงน้ำหนักในk -space นั้นรุนแรงมาก NP ในการดำเนินการของ 17 การประชุม Allerton ในการสื่อสาร, การควบคุม, และคอมพิวเตอร์ , PP 480-489 1979 นอกจากนี้ในเจมส์บีแซ็กซ์:. สองเอกสารเกี่ยวกับกราฟปัญหาฝังกรมวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์, คาร์เนกีเมลลอนมหาวิทยาลัย 1980

[Yem79] Yechiam Yemini บางแง่มุมทางทฤษฎีของปัญหาตำแหน่ง - ตำแหน่ง ในการประชุมวิชาการประจำปีครั้งที่ 20 เรื่องรากฐานของวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ (FOCS) , หน้า 1–8, 25 ต.ค. 1979. DOI: 10.1109 / SFCS.1979.39

$d$$n$$d$$n$