ปัญหา“ กำกับแล้ว” ที่ง่ายกว่าตัวแปร“ ไม่ได้กำกับ”

ฉันกำลังนำเสนอการบรรยายเกี่ยวกับการเรียงแพนเค้กและกล่าวว่า:

• การเรียงลำดับตามการกลับรายการคือ NP-hard
• "ลงนาม" เรียงลำดับตามการพลิกผันอยู่ใน P

ซึ่งทำให้ฉันคิด มีความรู้สึกว่าการเรียงลำดับ "เซ็นชื่อ" คือ "กำกับ" - คุณสามารถดูเครื่องหมายเป็นทิศทาง (และแน่นอนนี่คือแรงจูงใจจากชีววิทยาวิวัฒนาการ) แต่มันเป็นปัญหาที่ง่ายขึ้น! สิ่งนี้เป็นเรื่องผิดปกติเพราะโดยทั่วไป (อย่างน้อยในกราฟ) ปัญหาการกำกับยากกว่า (หรืออย่างน้อยก็ยาก) เช่นเดียวกับคู่หูที่ไม่ได้บอกทิศทาง

สมมติว่ามีคำจำกัดความที่ "ชี้แนะ" มีตัวอย่างของปัญหาการชี้นำที่ง่ายกว่าคู่หูที่ไม่ได้บอกทางหรือไม่?

นับวงจร Eulerian สำหรับกราฟกำกับเป็น doable ในเวลาพหุนามโดยใช้ทฤษฎีบทที่ดีที่สุดในขณะที่เห็นได้ชัดว่าปัญหาเดียวกันสำหรับกราฟไม่มีทิศทางคือ #

กรณีที่น่าสนใจและไม่เป็นที่รู้จักก็คือ สมมติว่าเรามีขอบน้ำหนักกราฟและโหนดรากRเราต้องการกราฟย่อยค่าใช้จ่ายขั้นต่ำของเพื่อให้มีเส้นทางที่ไม่ต่อเนื่องจากไปยังทุกโหนดในกราฟ เมื่อนี่เป็นปัญหา arborescence ค่าใช้จ่ายขั้นต่ำในกราฟที่กำกับและในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางมันจะเทียบเท่ากับปัญหา MST ทั้งสองแก้ไขได้ในเวลาโพลีแม้ว่ากรณีที่ไม่ได้บอกทิศทางจะง่ายกว่า อย่างไรก็ตามปัญหาคือโพลี - เวลาที่แก้ไขได้ในกราฟกำกับสำหรับใด ๆในขณะที่ NP-Hard ในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางสำหรับ (เนื่องจากจับค่า min-cost$G$$r$$G$$k$$r$$k=1$$k$$k=2$$2$ปัญหากราฟกราฟย่อยที่เชื่อมต่อกับลิ่ม)

บางทีนี่อาจไม่ใช่ตัวอย่างที่ดีที่สุด แต่ให้พิจารณา (Directed) Cycle Cover โดยที่ภารกิจคือการครอบคลุมจุดยอดทั้งหมดโดยใช้ vertex-disjoint (กำกับ) รอบ ในกรณีที่กำกับแล้วสามารถลดการจับคู่สองฝ่ายและแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ในกรณีที่ไม่ได้บอกทิศทางปัญหาสามารถลดลงเป็น nonbipartite ที่ตรงกัน (และในทางกลับกัน) ซึ่งเป็นปัญหาที่ยากขึ้น แต่ยังสามารถแก้ไขเวลาพหุนามได้

นี่คือปัญหาที่ตามที่ฉันเพิ่งรู้ว่าจริง ๆ แล้วดูยากกว่าในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทาง

สมมติว่าคุณมีกราฟที่มีน้ำหนักขอบบวกและลบและคุณจะถูกขอให้ตรวจสอบวงจรน้ำหนักเชิงลบ มีอัลกอริทึมการปรับขนาดสำหรับปัญหานี้สำหรับกราฟกำกับโดย Goldberg'93 (AV Goldberg 1993. อัลกอริธึมการปรับสเกลสำหรับปัญหาเส้นทางที่สั้นที่สุดใน SODA '93.) ทำงานในเวลา O ( ) เวลา โดยที่คือจำนวนขอบจำนวนจุดยอดและคือค่าสัมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดของน้ำหนักขอบ ในทางตรงกันข้ามปัญหาเดียวกันในกราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางนั้นมีอัลกอริธึมที่แย่กว่ามาก สำหรับความรู้ของฉันที่รู้จักกันดีที่สุดคือ Gabow'83 (HN Gabow. 1983. เทคนิคการลดประสิทธิภาพสำหรับ subgraph ที่ จำกัด การศึกษาระดับปริญญาและปัญหาการไหลเวียนของเครือข่ายแบบสองทิศทางใน STOC '83) และทำงานใน O (min ($m\sqrt{n}\log C$$m$$n$$C$$n^3, mn\log n$)) เวลา นอกจากนี้ยังมีวิธีการใช้ T-joins ซึ่งให้รันไทม์เหมือนกันฉันจำไม่ได้ว่าเห็นที่ไหน

ปัญหาวงจรเชิงลบเป็นสิ่งสำคัญในการออกแบบของแหล่งเดียวเส้นทางที่สั้นที่สุด (SSSP) อัลกอริทึมและมันก็ไม่น่าแปลกใจที่ดีที่สุดครั้งวิ่ง SSSP ในกราฟกำกับและไม่มีทิศทางที่มีน้ำหนักโดยพลการมีเดียวกัน runtimes-- O ( ) และ O (min ( )) ตามลำดับ$m\sqrt{n}\log C$$n^3, mn\log n$