การแยกรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประมวลผลล่วงหน้าและระนาบ

ฉันมีปัญหาร้ายแรงในการทำความเข้าใจขั้นตอนเดียวในกระดาษของโดคินและเคิร์กแพททริกเกี่ยวกับการแยกโพลีเฮดรา ฉันพยายามที่จะเข้าใจรุ่นนี้: http://www.cs.princeton.edu/~dpd/Papers/SCG-09-invited/old%20papers/DPD+Kirk.pdf

มันระบุว่าหลังจากที่เรารู้ว่าการแยกที่ดีที่สุดของ $P_{i}$ และ $S$ , ตระหนักโดย $r_i$ และ $s_i$ เราสามารถหาสิ่งที่ดีที่สุดของการแยก $P_{i-1}$ และ $S$ ใน $O(1)$ ขั้นตอน วิธีนี้ทำได้ในวิธีต่อไปนี้ เรานำระนาบขนานกับ $S$ ถึง $r_i$ แล้วตัด $P_{i-1}$ ออกเป็นสองส่วนด้วยกัน อีกด้านหนึ่งจุดที่ใกล้ที่สุดกับ $S$ คือ $r_i$ และที่อื่น ๆ เรามีรูปทรงหลายเหลี่ยม `` ประถม '' ว่าเราสามารถตรวจสอบใน $O(1)$ เวลา ปัญหาของฉันคือ - เราจะหารูปทรงหลายเหลี่ยมพื้นฐานนี้ได้อย่างไร โปรดทราบว่าระดับ $r_i$ ใน $P_{i-1}$ อาจไม่ถูก จำกัด

ใน pdf เพื่อพิสูจน์ Thm 5.1 จากหน้า 9 พวกเขาใช้ Thm 3.1 จากหน้า 4 ซึ่งทำให้ยากต่อการติดตามทั้งหมด

ds.algorithms cg.comp-geom

— domotorp
แหล่งที่มา

ฉันสงสัยจริงๆว่าถ้าฉันเสนอเงินรางวัลในคำอธิบายที่ฉันพูดว่าคำตอบของ JeffE ไม่ชัดเจนสำหรับฉันและในความคิดเห็นต่อคำตอบของเขาฉันระบุปัญหาของฉันด้วยแล้วทำไมผู้คนยังตอบคำถามของเขาต่อไปโดยไม่ตอบ คำถาม? นอกจากนี้ฉันสงสัยว่าคำตอบของเขาจะได้รับรางวัลโดยอัตโนมัติหรือไม่

— domotorp

upvote บ่งชี้ว่าคำตอบนั้นให้บางสิ่งที่มีค่าซึ่งมันทำ! ไม่ใช่สิ่งที่คุณต้องการ คำตอบที่คุณต้องการดูเหมือนจะเป็นการปรับแต่งข้อเสนอแนะทั่วไป ทำไมต้องกังวลเกี่ยวกับ upvotes ของคนอื่นด้วย?

— Suresh Venkat

คำตอบ:

ตอบปรับปรุงและเขียนใหม่ตั้งแต่ต้น

คุณจะได้รับ polytope Pเรียกใช้ลำดับชั้น Dobkin-Kirkpatric บนพีนี้จะช่วยให้คุณลำดับของ polytops Pอนุญาตสมมติว่าคุณต้องการที่จะหาจุดที่ใกล้ที่สุดบนไปยังจุดแบบสอบถามQอัลกอริทึมพื้นฐานเริ่มต้นด้วยการคำนวณจุดที่ใกล้ที่สุดถึงบนจากนั้นจะพิจารณาพื้นที่ใหม่ทั้งหมด (เต็นท์) ที่อยู่ติดกับค้นหาจุดที่ใกล้ที่สุดถึง $P$ $P_1 \subseteq P_2 \subseteq \ldots \subseteq P_k = P$ $P$ $q$ $c_1$ $q$ $P_1$ $c_1$ $c_2$ $q$ ในภูมิภาคใหม่ ๆ เหล่านี้และดำเนินการต่อในแบบนี้จนกว่าเราจะเข้าถึง k $P_k$

ทีนี้ถ้าอยู่บนขอบแล้วก็ไม่มีปัญหา - มีเพียงสองเต็นท์เท่านั้นที่อาจแตะที่ขอบนี้หรือมีเพียงหนึ่งในนั้นเท่านั้นที่สามารถครอบคลุมขอบ ดังนั้นการอัพเดต $c_i$ จากในกรณีนี้ต้องใช้เวลาคงที่ $c_{i+1}$ $C_i$

ดังนั้นปัญหาคือเมื่ออยู่บนจุดสูงสุดของระดับสูงเพราะจากนั้นจำนวนเต็นท์ใหม่ที่อยู่ติดกันเมื่อย้ายไปที่อาจมีขนาดใหญ่ เพื่อเอาชนะสิ่งนี้เราจะจำลองจุดสุดยอดขนาดใหญ่เพื่อรวบรวมจุดยอดที่มีระดับต่ำ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในแต่ละขั้นตอนถ้าอยู่บนจุดสุดยอดเราจะต้องจำไว้ติดต่อกันสองขอบติดกับเช่นว่าจุดที่ใกล้ที่สุดที่จะใน $c_i$ $P_{i+1}$ $c_i$ $v$ $e_i, e_i'$ $v$ $q$ $P_{i+1}$ อยู่บนเต็นท์ที่อยู่ติดกันหรือครอบคลุมหนึ่งในสองขอบนี้ เช่นนี้เราสามารถทำการคำนวณที่จำเป็นในเวลาคงที่

ดังนั้นเราจึงยังคงมีปัญหาวิธีติดตามขอบทั้งสองนี้ในขณะที่เราปีนขึ้นไป

ต้องการทำเช่นนั้น precompute ทุกจุดสุดยอดของทิศทางสัมผัสวีให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนที่เป็นรูปยอดของสำหรับรูปหลายเหลี่ยม (โดยระนาบที่กำหนดรูปยอดมีปกติในทิศทางของ ) แนวคิด $v$ $P$ $t_v$ $Q_i(v)$ $v$ $P_i$ $t_v$ $Q_1(v), Q_2(v), ..., Q_k(v)$ ทำงานเหมือนลำดับชั้น 2d DK หากจุดที่ใกล้ที่สุดในเพื่อโกหกบนจุดสุดยอดแล้วตรงนี้เพื่อ และขอบที่อยู่ติดกันในที่ขอบปริภูมิเครื่องบินของรูปจุดสุดยอดที่Wหากจุดที่ใกล้ที่สุดบนถึงอยู่บน edgeคุณก็จะจำขอบสองอันที่อยู่ติดกันของที่กำหนดจุดยอดทั้งสองของ (ที่นี่ $Q_i(v)$ $q$ $w$ $v$ $e$ $P_i$ $e$ $w$ $Q_i(v)$ $q$ $e'$ $P_i$ $e'$ เป็นของ $e'$ ) $Q_i(v)$

และตอนนี้เราก็ทำ ... แน่นอนถ้าอยู่ในเราก็สามารถอัปเดตได้ในเวลาคงที่ (เนื่องจากนี่เป็นเพียงลำดับชั้น 2d DK) ถ้าในมืออื่น ๆจะไม่มีอีกต่อไปในจากนั้นจะต้องอยู่ในเต็นท์ใหม่ที่อยู่ติดหรือครอบคลุมจุดก่อนหน้านี้ฉันไม่ว่าในกรณีใดเราสามารถอัปเดตได้ในเวลาคงที่ $c_{i+1}$ $Q_{i+1}(v)$ $c_{i+1}$ $Q_{i+1}(v)$ $c_{i}$

— Sariel Har-Peled
แหล่งที่มา

อัปเดตคำตอบ ดูว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่ในขณะนี้ นี่คือวิธีที่ฉันคิดเกี่ยวกับโครงสร้างข้อมูลนี้ มันอาจไม่มีความสัมพันธ์กับสิ่งที่อยู่ในกระดาษ

— Sariel Har-Peled

ฉันเข้าใจแล้วขอบคุณ! ดังนั้นเคล็ดลับคือเราเลือกทิศทางแทนเจนต์ในตอนเริ่มต้นและไม่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา! ฉันได้ลบความคิดเห็นก่อนหน้าของฉันที่เกี่ยวข้องกับคำตอบเก่าของคุณ ขอบคุณอีกครั้ง!

— domotorp

ใช่. ยินดีที่ได้ช่วย!

— Sariel Har-Peled

ทฤษฎีบท 3.1 กำหนดให้การแสดงลำดับชั้นของคือมีขนาดกะทัดรัด ข้อกำหนดประการหนึ่งสำหรับความกะทัดรัดคือระดับของในนั้นถูก จำกัด ด้วยค่าคงที่ ดูที่ด้านล่างของหน้า 3 $P$ $r_i$ $P_{i-1}$

คำจำกัดความและการสร้างลำดับชั้นของ Dobkin-Kirkpatrick นั้นมีความชัดเจนมากขึ้นในบทความก่อนหน้านี้ (การอ้างอิง [9,10,11] ในเอกสารที่คุณกำลังอ่าน) ฉันขอแนะนำให้อ่านก่อน

— Jeffε
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าพวกเขารับประกันได้ว่าระดับของจุดยอดใน

นั้นมีขอบเขต ฉันไม่เห็นว่าคุณจะแน่ใจได้อย่างไรว่าระดับ

ถูก จำกัด ถ้าเช่นคุณมีรูปทรงหลายเหลี่ยมที่จุดยอดสองจุดเชื่อมต่อกับจุดสุดยอดทุกจุดคุณจะเริ่มได้อย่างไร

P_{i - 1} ∖ P_{i}

$P_{i-1}\setminus P_i$

r_{i}

$r_i$

— domotorp

(. ในความเป็นจริงมีชุดย่อยอิสระจากจุดศึกษาระดับปริญญา-4) กับหนึ่งในจุดอื่น ๆ ซึ่งทุกคนมีการศึกษาระดับปริญญา 4. จุด

เป็นจุดสุดยอดของ

แต่ไม่ได้เป็นจุดสุดยอดของ

ฉัน

r_{i}

$r_i$

P_{i - 1}

$P_{i-1}$

P_{i}

$P_i$

— Jeffε

ดังนั้นจึงมีความเข้าใจผิด ผมคิดว่า

เป็นจุดสุดยอดของ

เช่นกันในขั้นตอนวิธีการที่ผมได้อธิบายสะดุดตาที่หนึ่งที่อยู่ใกล้S

ฉันผิดหรือเปล่า?

r_{i}

$r_i$

P_{i}

$P_i$

S

$S$

— domotorp

d

$d$

d / 2 + 3

$d/2 + 3$

@Sariel: ฉันคิดเหมือนกัน แต่ทำไมกระบวนการถึงจบ โปรดสังเกตว่าเมื่อเราลบจุดสุดยอดแล้วเพื่อนบ้านของมันอาจไม่ได้เป็นใบหน้าดังนั้นเราอาจต้องเพิ่มขอบใหม่อันที่จริงแล้วเราอาจต้องเพิ่มระดับของจุดสุดยอด

— domotorp

ในกรณีที่ใครบางคนยังคงสนใจคำถาม: อุปสรรค์ในคำอธิบาย Dobkin Kirpatrick ก็ชี้ให้เห็นใน Barba และ Langerman ของ Optimal detection of intersections between convex polyhedra.

พวกเขาสังเกตในกระดาษ (รุ่น SODA 2015 ไม่ใช่ arxiv) ที่เรขาคณิตการคำนวณของ O'Rourke ใน Cตอนที่7 มีรายละเอียดเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหา (ซึ่งเป็นคำตอบของ Sariel) กระดาษโซดายังแนะนำวิธีการแก้ปัญหาทางเลือก; กำหนดตัวแปรของลำดับชั้น DK ที่แต่ละจุดสุดยอดมีขอบเขต จำกัด

— Joseph Stack
แหล่งที่มา