ปัญหาการคำนวณที่มีขนาดใหญ่อย่างไร้ขีด จำกัด แต่ในพื้นที่

คำถามนี้เป็นคำถามแรงบันดาลใจจากความคิดเห็น Jukka Suomela ทำในคำถามอื่น

ตัวอย่างของปัญหาการคำนวณที่มีขนาดใหญ่มาก แต่ จำกัด เฉพาะในเครื่อง (และอัลกอริทึม) คืออะไร

กล่าวอีกนัยหนึ่งตัวอย่างของการคำนวณที่หยุดในเวลา จำกัด ซึ่งทัวริงแต่ละเครื่องอ่านและประมวลผลข้อมูลที่ จำกัด เท่านั้น แต่การคำนวณทั้งหมดช่วยแก้ปัญหาขนาดไม่ จำกัด

เพียงเพื่อให้แนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นไปได้ (แต่ค่อนข้างไม่ใช่เรื่องไร้สาระ) นี่คือตัวอย่างหนึ่ง: อัลกอริธึมแบบกระจายที่พบว่าการบรรจุขอบสูงสุดบนกราฟขอบเขต จำกัด

นิยามปัญหา

เมื่อให้กราฟที่ไม่ได้บอกทิศทางอย่างง่ายการบรรจุขอบ (หรือการจับคู่แบบเศษส่วน) จะเชื่อมโยงน้ำหนักw ( e )กับแต่ละขอบe ∈ Eเช่นนั้นสำหรับแต่ละโหนดv ∈ Vน้ำหนักรวมของขอบที่โวลต์เป็นอย่างมากที่สุด1 โหนดจะอิ่มตัวถ้าน้ำหนักรวมของขอบเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะมีค่าเท่ากับ1 บรรจุขอบสูงสุดถ้าขอบทั้งหมดมีอย่างน้อยหนึ่งปลายทางอิ่มตัว (เช่นไม่มีน้ำหนักสามารถขยายได้อย่างตะกละตะกลาม)$G = (V,E)$$w(e)$$e \in E$$v \in V$$v$$1$$1$

สังเกตว่าการจับคู่สูงสุดกำหนดการบรรจุขอบสูงสุด (ชุดw ( e ) = 1 iff e ∈ M ); ดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ปัญหาในการตั้งค่าแบบรวมศูนย์แบบคลาสสิก (สมมติว่าGเป็นขอบเขต จำกัด )$M \subseteq E$$w(e) = 1$$e \in M$$G$

Edge packings มีแอปพลิเคชั่นบางตัวอย่างน้อยถ้ามีใครกำหนดแอปพลิเคชั่นตามความรู้สึกตามปกติของ TCS: ชุดของโหนดที่อิ่มตัวจะสร้างการประมาณ - ของการครอบคลุมจุดสุดยอดขั้นต่ำ (แน่นอนว่านี่เหมาะสมสำหรับกรณีของG ) .$2$$G$

รูปแบบการคำนวณ

เราจะคิดว่ามีความเป็นไปอย่างต่อเนื่องทั่วโลกดังกล่าวว่าระดับของการใด ๆวี∈ Vที่มากที่สุดΔ$\Delta$$v \in V$$\Delta$

เพื่อให้สิ่งนี้ใกล้เคียงกับจิตวิญญาณของคำถามต้นฉบับให้เรากำหนดรูปแบบการคำนวณดังนี้ เราคิดว่าแต่ละโหนดเป็นเครื่องทัวริงและขอบ{ U , V } ∈ Eเป็นช่องทางในการสื่อสารระหว่างUและV เทปใส่ของวี encodes การศึกษาระดับปริญญาองศา( วี)ของโวลต์ สำหรับแต่ละv ∈ Vขอบของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นกับvจะถูกระบุ (ตามลำดับโดยพลการ) ที่มีจำนวนเต็ม1 , 2 , $v \in V$$\{u,v\} \in E$$u$$v$$v$$\deg(v)$$v$$v \in V$$v$ ; สิ่งเหล่านี้เรียกว่าเลเบลขอบภายใน(ฉลากของ { u , v } ∈ Eสามารถแตกต่างกันสำหรับ uและ v ) เครื่องมีคำแนะนำซึ่งสามารถส่งและรับข้อความผ่านแต่ละขอบเหล่านี้ เครื่องสามารถจัดการกับเพื่อนบ้านได้โดยใช้ป้ายขอบภายใน$1,2,\dotsc,\deg(v)$$\{u,v\} \in E$$u$$v$

เราจำเป็นต้องให้เครื่องคำนวณที่ถูกต้องบรรจุขอบสำหรับG แม่นยำมากขึ้นในแต่ละวี∈ Vมีการพิมพ์บนเทปเอาท์พุทการเข้ารหัสของW ( E )สำหรับแต่ละขอบอีเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นวีได้รับคำสั่งจากป้ายขอบในท้องถิ่นและจากนั้นหยุดชะงัก$w$$G$$v \in V$$w(e)$$e$$v$

เราบอกว่าอัลกอริทึมแบบกระจายพบว่าการบรรจุขอบสูงสุดในเวลาTหากสิ่งต่อไปนี้ถือสำหรับกราฟGใด ๆของระดับสูงสุดΔและสำหรับการติดฉลากขอบท้องถิ่นของG : ถ้าเราแทนที่แต่ละโหนดของGด้วยสำเนาที่เหมือนกัน เครื่องทัวริงAและเริ่มเครื่องจากนั้นหลังจากTขั้นตอนเครื่องทั้งหมดได้พิมพ์โซลูชันที่ถูกต้อง (สอดคล้องกันทั่วโลก) และหยุดการทำงาน$A$$T$$G$$\Delta$$G$$G$$A$$T$

อนันต์

ตอนนี้ทั้งหมดข้างต้นทำให้รู้สึกสมบูรณ์แบบแม้ว่าชุดของโหนดจะไม่มีที่สิ้นสุดนับไม่ถ้วน$V$

การกำหนดปัญหาและรูปแบบการคำนวณไม่มีการอ้างอิงถึงโดยตรงหรือโดยอ้อม ความยาวของอินพุตสำหรับเครื่องทัวริงแต่ละเครื่องมีค่าคงที่$|V|$

สิ่งที่เป็นที่รู้จัก

ปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาที่ จำกัด แม้ว่าจะไม่มีที่สิ้นสุด$G$

ปัญหาไม่ได้เป็นเรื่องเล็กน้อยในแง่ที่ว่าการสื่อสารบางอย่างเป็นสิ่งจำเป็น นอกจากนี้ยังมีเวลาในการทำงานขึ้นอยู่กับΔอย่างไรก็ตามสำหรับการแก้ไขΔใด ๆปัญหาสามารถแก้ไขได้ในเวลาคงที่โดยไม่คำนึงถึงขนาดของG ; โดยเฉพาะปัญหาสามารถแก้ไขได้บนกราฟขนาดใหญ่อย่างไม่มีที่สิ้นสุด$\Delta$$\Delta$$G$

ฉันยังไม่ได้ตรวจสอบเวลาการทำงานที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดในรุ่นที่กำหนดไว้ด้านบน (ซึ่งไม่ใช่รุ่นปกติที่ใช้ในฟิลด์) อย่างไรก็ตามเวลาทำงานที่เป็นพหุนามในน่าจะง่ายพอสมควรและฉันคิดว่าเวลาทำงานที่ไม่เชิงเส้นในΔนั้นเป็นไปไม่ได้$\Delta$$\Delta$

หารุ่นต่อไปของออโตเซลลูลาร์

สามารถแก้ไขได้ตามที่คุณอธิบายไว้ในเวลาคงที่ $\;$ (เช่นเป็นอิสระจากอินพุต)

โดยพื้นฐานแล้วปัญหาทุกอย่างที่ยากอย่างน้อยสีต้องใช้อัลกอริทึมที่มีเวลาทำงานขึ้นอยู่กับจำนวนของโหนดในเครือข่ายจึงไม่สามารถทำงานในกราฟที่ไม่มีที่สิ้นสุด แต่ จำกัด เฉพาะในประเทศ สิ่งนี้ตามมาจากบันทึกรอบสุดท้ายของ Linial * n ขอบเขตล่าง

สิ่งนี้ไม่เหมาะกับคำจำกัดความของคุณ แต่ฉันคิดเพียงเพราะความไม่สม่ำเสมอ ก่อนที่จะแสดงความเท่าเทียมกันไม่ได้อยู่ใน$AC^0$, Sipser (ฉันเชื่อว่ามันเป็น) แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชั่นใด ๆ ที่ไม่มีที่สิ้นสุดความเท่าเทียมกัน (ฟังก์ชั่นในตัวแปรจำนวนมากนับไม่ถ้วนที่เปลี่ยนแปลงเอาท์พุทเมื่อใดก็ตามที่มีการเปลี่ยนแปลงอินพุตเดียว) ไม่สามารถแก้ไขได้ใน "infinitary $AC^0$."