มีสิ่งที่เหมือนโฮโมมอร์ฟิซึมอ่อนแรงหรือไม่?

เมื่อพิจารณาถึง endofunctor เราสามารถนิยามฟังก์ชันการสังเกตเป็นฟังก์ชันที่เป็น polymorphic สำหรับF -coalgebra ใด ๆนั่นคือo b sถูกกำหนดสำหรับF -coalgebra ⟨ A , c : A → F A ⟩ o ขs : ∀ ⟨ , ค⟩ A → B อีกวิธีหนึ่งในการดูฟังก์ชั่นการสังเกตคือฟังก์ชั่นสุดท้าย$F : Set \rightarrow Set$$F$$obs$$F$$\langle A, c : A \rightarrow FA\rangle$

$$obs : \forall \langle A, c \rangle . A \to B$$ -coalgebraถ้ามันมีอยู่ เราได้พหุสัณฐานโดยอัตโนมัติโดยการเขียนฟังก์ชั่นการสังเกตด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกับ F -coalgebraสุดท้าย แต่วิธีนี้ใช้ได้เฉพาะถ้า F -coalgebraสุดท้ายอยู่$F$$F$$F$

หนึ่งในคุณสมบัติที่กำหนดของฟังก์ชันการสังเกตคือมันยกเลิกการประกอบใด ๆ ของโฮโมมอร์ฟิซึมที่ถูกต้องเนื่องจากมันมีความหลากหลาย ถ้าเป็นF -coalgebra homomorphism ดังนั้น: o b s = o b s ∘ h o m ในระหว่างการวิจัยของฉันในความพยายามที่จะกำหนดแนวคิดของความสอดคล้องเชิงสังเกตระหว่างหนึ่งของถ่านหินกับอีกสิ่งหนึ่งฉันมีความคิด ทฤษฎีบทโฮโมมอร์ฟิซึมอ่อนแอ แนวความคิดคือเราสามารถ "ปลอม" โฮโมมอร์ฟิซึมของแนวร่วมถ้าเรารู้ว่าฟังก์ชันการสังเกตการณ์ล่วงหน้า ดังนั้นเราอาจพอใจ o b s = o b $hom$$F$

$$obs = obs \circ hom$$ แต่สำหรับหนึ่ง o b sเท่านั้น $$obs = obs \circ hom$$ $obs$

ตัวอย่างเช่นสมมติและให้o ขsกำหนดเป็น o ขs : ∀ ⟨ , ค⟩ → { 0 , 1 } 2 o ขs = ⟨ ( π 1 ∘ ค) , ( π 1 ∘ ค∘ π 2 ∘ ค$FX = \{0,1\} \times X$$obs$

$$obs : \forall \langle A, c\rangle. A \to \{0,1\}^2$$ นั่นคือ o b sใช้สององค์ประกอบแรกของกระแส $$obs = \langle (\pi_1 \circ c), (\pi_1 \circ c \circ \pi_2 \circ c) \rangle$$ $obs$

จากนั้น F-coalgebra homomorphism จะต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่ามันรักษาองค์ประกอบทั้งหมดของกระแสในขณะที่ homomorphism ที่อ่อนแอสำหรับเพียงต้องการรักษาสององค์ประกอบแรกของกระแส$obs$

ในการวิจัยของฉันความคิดนี้จะเป็นประโยชน์ในการแสดงให้เห็นว่า coalgebra หนึ่งมีความสอดคล้องกับการสังเกตอื่นโดยแสดงให้เห็นว่าทุกฟังก์ชั่นการสังเกตเชิงเส้น จำกัด มี homomorphism ที่อ่อนแอจาก coalgebra แรกไปยัง กล่าวอีกนัยหนึ่งการสังเกตการณ์เชิงเส้น จำกัด ทุกครั้งในถ่านหินแรกสามารถทำซ้ำได้ในถ่านหินที่สอง

(สิ่งที่ฉันหมายถึงโดยฟังก์ชั่นการสังเกตแบบเชิงเส้นส่วนใหญ่รู้สึกไม่เกี่ยวข้อง แต่เพื่อประโยชน์ในการแบ่งปัน ... ฟังก์ชั่นการสังเกตการณ์เชิงเส้นเป็นสิ่งที่มากกว่าหรือน้อยกว่าที่ใช้แต่ละสถานะของผู้ให้บริการตั้งเพียงครั้งเดียว และผู้ใช้จะไม่ได้รับอนุญาตให้ย้อนกลับและแกล้งทำเป็นไม่เคยถามคำถาม)

คำถามของฉันจึง:

1. สิ่งนี้ได้รับการวิจัยแล้วหรือยัง? "ความอ่อนแอของโฮโมมอร์ฟิซึมอ่อนแอ" มีอยู่แล้วภายใต้ชื่ออื่น ๆ บางที?

2. มีวิธี "ทฤษฎีหมวดหมู่" เพิ่มเติมเพื่อนำเสนอสิ่งนี้หรือไม่?

แก้ไข : ลบคำถามสองข้อที่ไม่สำคัญ

`morphisms ที่อ่อนแอ 'ที่คุณอธิบายมีชื่อในการตั้งค่าที่ จำกัด เพียงเล็กน้อย พวกเขาสามารถนิยามได้ค่อนข้างทั่วไปตามที่ฉันจะอธิบาย

$T : \mathsf{Set} \to \mathsf{Set}$$\mathsf{Set}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \leq \omega$. นักคณิตศาสตร์โมดัลได้ศึกษา bisimulations n-step สำหรับ Kripke frames ซึ่งเท่ากับ bisimulations n-step สำหรับ coalgebras สำหรับ powerset functor ความต้องการของคุณว่าพวกเขาเป็นหน้าที่ซึ่งตรงข้ามกับความสัมพันธ์ทำให้พวกเขาทำหน้าที่แบ่งเป็นสองส่วน

$\mathbb{C}$$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$$T$$\mathsf{Set}$$\mathbb{C}$

$1 \quad \xleftarrow{!_{T1}} \quad T1 \quad \xleftarrow{T !_{T1}} \quad T^2 1 \quad \xleftarrow{T^2 !_{T1}} \quad \dots \quad T^\omega 1 \quad \xleftarrow{f_\omega^{\omega + 1}} \quad T(T^\omega 1) \quad \xleftarrow{Tf_\omega^{\omega + 1}} \quad \dots$

$1$$\mathbb{C}$$\mathsf{Set}$$1 = \{*\}$$!_{T1} : T1 \to 1$$\mathsf{Set}$$T1$$*$$T^n 1$$T$$T^\omega 1$$\omega$$T^\alpha 1$$\alpha$

$T$$(Z,\gamma)$$\mathbb{C}$$\mathsf{beh}_\gamma^\alpha : Z \to T^\alpha 1$$\alpha$$\alpha < \omega$

$\mathsf{beh}_\gamma^0 : Z \to 1$

$\mathsf{beh}_\gamma^{n+1} = T\mathsf{beh}_\gamma^n \circ \gamma : Z \to T^{n+1} 1$

$Z$$\alpha$$T$$(A,\gamma)$$(B,\delta)$$\mathbb{C}$$f : A \to B$$\alpha$

$\mathsf{beh}_\delta^\alpha \circ f = \mathsf{beh}_\gamma^\alpha$

$\alpha$$f(z)$$\delta$$\alpha$$z$$\gamma$

อย่างไรก็ตามฉันหวังว่านี่จะเป็นประโยชน์ คุณสามารถค้นหาการอ้างอิงต่าง ๆ โดย googling 'terminal sequence coalgebra' หรือ 'final sequence coalgebra'

ตามกฎแล้วเราควรหลีกเลี่ยงคำศัพท์ที่หนักเกินไปเช่นอ่อนแอปกติธรรมดา ฯลฯ เว้นแต่ว่าแนวคิดนั้นมีความเป็นสากลอยู่บ้าง โดยเฉพาะอย่างยิ่งดูเหมือนว่าแนวคิดของคุณไม่สอดคล้องกับความคิดปกติของโฮโมมอร์ฟิซึมที่อ่อนแอหลังจากที่ลูกศรพลิก

มักจะมีคำอธิบายที่เป็นคำอธิบายมากขึ้นเมื่อใดก็ตามที่คุณทำอะไรที่เป็นสากลน้อยลงเช่น "โฮโมมอร์ฟิซึมที่อ่อนแอแบบสังเกตการณ์" ซึ่งย่อมาจาก "โอ๊ย - โฮโมมอร์ฟิซึม"

ฟังก์ชั่นการสังเกตของคุณมีการนำเสนอเชิงทฤษฎีตามหมวดหมู่แล้ว ฉันกังวลมากขึ้นเกี่ยวกับการทำให้ชัดเจนว่ามันหมายถึงอะไรและทำไมมันจึงน่าสนใจ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคุณควรให้ตัวอย่างที่ให้ข้อมูลและไม่ใช่ตัวอย่างเมื่อมีการแนะนำแนวคิดที่ผิดปกติในการพิมพ์