ขนาดของกราฟลูกบาศก์แบบสุ่ม

พิจารณากราฟลูกบาศก์แบบสุ่มที่เชื่อมต่อกัน $G=(V,E)$ ของ $n =|V|$ จุดยอดที่ดึงมาจาก $G(n, 3$ -reg $)$ (ตามที่นิยามไว้ที่นี่คือ $3n$ คือเลขคู่และกราฟสองกราฟใด ๆ มีความน่าจะเป็นเหมือนกัน)

แน่นอนมี $n$ ที่เป็นไปได้ค้นหาความกว้างแรกหนึ่งสำหรับแต่ละโหนดเริ่มต้น $s \in V$ Vความกว้างแรกค้นหา $B_G$ เริ่มต้นที่โหนด $s \in V$ กำหนดระดับ $d(s, v)$ ในแต่ละโหนด $v \in V$ ที่ $d(s, v)$ คือระยะห่างระหว่าง $s$ และ $v$ ในG $G$

$B_G$

L (s, {u, v}) = max {d (s, u), d (s, v)}

$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$

e = {u, v} \in E

$e=\{u,v\} \in E$

ได้รับเฉพาะความกว้างแรกค้นหาให้เป็นจำนวนขอบที่ได้รับมอบหมายระดับและให้\} กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจำนวนขอบของระดับที่มีขอบมากกว่าระดับอื่นใด สุดท้ายให้เป็นสูงสุดสำหรับการใด ๆ ของการค้นหาความกว้างแรกของG $B_G$ $\alpha(B_G,i)$ $i$ $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ $\alpha(B_G)$ $\alpha(G)$ $\alpha(B_G)$ $n$ $G$

ขอให้เราโทรกว้างของG $\alpha(G)$ $G$

คำถาม

อย่างไรคาดว่ามูลค่าของเติบโตเป็นมีแนวโน้มที่จะอินฟินิตี้? จำได้ว่าคือสุ่มลูกบาศก์ แม่นยำมากขึ้นสิ่งที่ฉันอยากจะรู้ก็คือว่าคาดว่ามูลค่าของเป็น(n) $\alpha(G)$ $n$ $G$ $\alpha(G)$ $o(n)$

ตั้งแต่คือแม้ จำกัด มีการพิจารณาเพื่อที่ฉันไม่สนใจแปลก 's $n$ $n$

graph-theory co.combinatorics

— Giorgio Camerani
แหล่งที่มา

(1) โปรดระบุจากการกระจายความน่าจะเป็นที่คุณวาดกราฟลูกบาศก์ของคุณ (2) คุณสนใจที่จะคาดหวังเป็นฟังก์ชันของหรืออย่างอื่นหรือไม่? (3) ฉันคิดว่าเป็นเลขคู่ (มิฉะนั้นจะไม่มีกราฟลูกบาศก์) ดังนั้นผมคิดว่าวงเงินที่มีการพิจารณาเพื่อให้คุณไม่ดูแลคี่ 's

α (G)

$\alpha(G)$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— โยชิโอะโอคาโมโตะ

@YoshioOkamoto: (1) จาก -regตามที่กำหนดไว้ในstanford.edu/class/msande337/notes/… (มีค่าเท่ากันและกราฟสองกราฟใด ๆ มีความน่าจะเป็นแบบเดียวกัน) (2) ฉันได้เสริมคำถามเพื่อชี้แจงประเด็นนี้ (3) ใช่แม้และ จำกัด จะถือเพื่อที่ฉันไม่สนใจแปลก 's

G (n, 3

$G(n, 3$

)

$)$

3 n

$3n$

n

$n$

n

$n$

— Giorgio Camerani

@SureshVenkat: ขอบคุณที่มีการปรับปรุงการอ่านคำถาม ;-)

— Giorgio Camerani

ฉันขอบอกว่ามันค่อนข้างจะเป็นไปได้ที่จะมีความเข้มข้นของผลลัพธ์ในกราฟลูกบาศก์แบบสุ่มซึ่งหมายความว่าค่าที่คาดหวังค่าความน่าจะเป็นสูงและอื่น ๆ จะเหมือนกันทั้งหมด หาก OP ไม่ชัดเจนฉันคิดว่าคำตอบสำหรับคำถามเหล่านี้จะเป็นคำตอบที่สมเหตุสมผลสำหรับคำถามนี้

α (G)

$\alpha(G)$

— Peter Shor

@ WalterBishop: ให้ฉันถามคำถามอีกหนึ่งคำถาม คุณจะกำหนดอย่างไรถ้าถูกตัดการเชื่อมต่อ?

α (G)

$\alpha(G)$

G

$G$

— โยชิโอะโอคาโมโตะ

คำตอบ:

แอมพลิจูด สำหรับกราฟตัวขยาย กราฟแบบสุ่ม 3 แบบทั่วไปนั้นเป็น asymptotically เกือบจะเป็นกราฟที่ขยายได้(ดู Wikipedia)ดังนั้นความคาดหวังของแอมพลิจูดจะเป็นเนื่องจากความน่าจะเป็นที่จะไม่ได้กราฟตัวขยายเท่ากับเมื่อไปที่ . $\alpha(n) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $0$ $n$ $\infty$

สำหรับกราฟตัวขยายที่มีพารามิเตอร์สำหรับชุดจุดยอดใด ๆ ที่มีจะมีเพื่อนบ้านของชุด ตอนนี้ให้จำนวนของจุดในระดับเป็นกับ 1 จากนั้นเราได้จากคุณสมบัติการขยายตัวที่ตราบใดที่ไม่ใหญ่เกินไป (เช่นเรายังไม่ได้รวมจุดยอดครึ่ง) ตอนนี้มองหาระดับซึ่งมีจุดสุดยอด{3} นั่นคือดังนั้นและ $\beta$ $s$ $s \leq n/2$ $\beta s$ $j$ $\ell_j$ $\ell_0=1$ $j$

ℓ_{j} \geq β \sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i}

$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$

ℓ_{j}

$\ell_j$

\frac{n}{3}

$\frac{n}{3}$

\sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i} < n / 3

$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$

\sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq n / 3

$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$ . หากระดับนี้มีขนาดใหญ่เช่นเราก็เสร็จแล้ว มิฉะนั้นระดับถัดไปจะมีขนาด และ เราเสร็จแล้ว

ℓ_{j} \geq n / 6

$\ell_j \geq n/6$

ℓ_{j + 1} \geq β \sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq β \frac{n}{3},

$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$

ในขณะที่การพิสูจน์นี้ดูที่จำนวนของจุดยอดในระดับมากกว่าจำนวนของขอบ (ซึ่ง OP ถามเกี่ยวกับ) มีอย่างน้อยที่สุดเท่าขอบจำนวนมากที่เพิ่มเข้ามาในขั้นตอนที่เป็นจุดยอดในระดับเนื่องจากจุดสุดยอดแต่ละจุด ขอบบาง $i$ $i$

— Peter Shor
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบ! นี่เป็นเรื่องที่น่าประหลาดใจมาก (อย่างน้อยสำหรับฉัน): แม้ว่าจำนวนรวมของขอบคือและจำนวนระดับคือที่สุด ระดับที่แออัดยังคงมีขอบ ดังนั้นขอบไม่กระจัดกระจายในระดับ: ปรีชา (ประจักษ์ผิด) คือสัญชาตญาณว่ายกเว้นสองสามระดับแรกและระดับสุดท้ายควรจะมีระดับกลางที่ขอบจะ ค่อนข้างกระจัดกระจาย

m = 1.5 \cdot n \in Θ (n)

$m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

— Giorgio Camerani

ด้วย "ประจักษ์" คุณหมายถึงว่าคุณใช้การทดสอบจริงหรือ มีค่าประมาณสำหรับกราฟแบบสุ่มลูกบาศก์ดูftp-sop.inria.fr/mascotte/personnel/Stephane.Perennes/Bol88.pdf

β

$\beta$

0.1845

$0.1845$

— didest

ใช่ฉันวิ่งทดสอบจากถึงและวัดปริมาณ{m} ถ้าเข้าหาเป็นที่เพิ่มขึ้นนี้จะได้ให้หลักฐานเชิงประจักษ์ว่า(n) ประมาณ ,ประมาณในขณะที่ประมาณ ,ประมาณ (แน่นอนฉันไม่เคยคิดว่าตัวเลขเหล่านี้เป็นหลักฐานเชิงประจักษ์เพราะยังน้อยเกินไปที่จะแสดงถึง asymptotic) อย่างไรก็ตามเมื่อฉันพูดว่า "ปรีชาเชิงประจักษ์"

n = 100

$n = 100$

n = 150000

$n = 150000$

k = \frac{α (G)}{m}

$k = \frac{\alpha(G)}{m}$

k

$k$

0

$0$

n

$n$

α (G) \in o (n)

$\alpha(G) \in o(n)$

n = 100

$n=100$

k

$k$

0.3

$0.3$

n = 150000

$n=150000$

k

$k$

0.26

$0.26$

n = 150000

$n = 150000$

— Giorgio Camerani

... ฉันหมายถึงความรู้สึกผิด (จริง) มากกว่าผลของการทดสอบ: ฉันค่อนข้างรู้สึกว่า BFS เหล่านั้นจะต้องมีรูปร่าง "ไส้กรอก" (เช่นเล็ก ๆ ที่สุดขั้วและความคงเส้นคงวาตรงกลาง) "พวกเขาต้องเป็นอย่างนั้น" ฉันคิด หลักฐานข้างต้นแสดงให้เห็นว่าปรีชาของฉันผิดธรรมดา กระนั้นฉันก็ยังประหลาดใจ: edge,ระดับ แต่ไม่ใช่ในแต่ละระดับ

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

O (\frac{n}{l o g (n)})

$O(\frac{n}{log(n)})$

— Giorgio Camerani

คำตอบของ Peter Shor ดีมาก แต่ก็มีอีกวิธีหนึ่งที่จะตอบคำถามนี้ได้: การพิสูจน์ว่า treewidth นั้นถูก จำกัด ขอบเขตด้วยแอมพลิจูดสองเท่า (เวอร์ชันเวอร์เท็กซ์) เนื่องจากเรารู้ว่าตัวขยาย 3 แบบปกติมีความกังวลเชิงเส้นเราจึงเสร็จสิ้น

ดูการสร้างการสลายตัวของต้นไม้ที่กำหนดให้ต้นไม้ BFS สไลด์ 15 ของงานนำเสนอนี้: http://www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าขนาดของกระเป๋าทุกใบนั้นถูกผูกไว้ด้านบนโดยสองเท่าของระดับที่กว้างที่สุด

— didest
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับคำตอบของคุณการนำเสนอนั้นมีประโยชน์มาก

— Giorgio Camerani