Delaunay triangulations บนทรงกลมเพิ่มมุมต่ำสุดหรือไม่?

Delaunay triangulations ในเครื่องบินเพิ่มมุมต่ำสุดในสามเหลี่ยม การถือแบบเดียวกันนี้เป็นจริงสำหรับการหาจุดสามเหลี่ยม Delaunay บนทรงกลมหรือไม่? (ที่นี่ "มุม" เป็นมุมท้องถิ่นในละแวกใกล้เคียงจุดสุดยอดที่ปลาย)

แรงบันดาลใจจาก แต่ไม่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้ใน Math.SE

cg.comp-geom delaunay-triangulation

— Suresh Venkat
แหล่งที่มา

แน่นอนว่าสถานที่ให้บริการจะจัดไว้สำหรับชุดที่มีการแปลไปยังพื้นที่เล็ก ๆ ของทรงกลมแบนราบเนื่องจากมันมีความหลากหลาย คำถามที่แท้จริงก็คือว่าจะมีการเสียสละทรัพย์สินหรือไม่ในขณะที่คะแนนกระจายไปทั่วทรงกลม ฉันเดาว่าน่าจะเป็นที่แรกที่มีการสามเหลี่ยม Delaunay คุณจะต้องใช้รูปสามเหลี่ยมไขมันมากกว่าในกรณี Euclidean ดังนั้นทรัพย์สินจะเก็บไว้

— Josephine Moeller

สิ่งนี้ไม่ได้ติดตามมาจากความจริงที่ว่าการฉายภาพสามมิติจากจุดทั่วไปบนทรงกลมทำแผนที่วงกลมเป็นวงกลมและรักษามุมระหว่างเส้นโค้งตัดกัน (~ edge) เพราะความสอดคล้องกันหรือไม่ หรือว่าฉันขาดอะไรไป?

— บางคน

@someone ใช่ว่าควรทำ อย่างน้อยที่สุดมัน อาจจะมีการผูกปมหรือสอง แต่นั่นจะเป็นความคิดกลาง ฉันสงสัยเกี่ยวกับเรื่องนี้ ฉันไม่ทราบว่าการทำแผนที่ stereographic นั้นสอดคล้องกัน

— Josephine Moeller

@SureshVenkat ตอนนี้ที่คุณพูดถึงพื้นที่ซึ่งเกินความจริงบางทีฉันมีสัญชาตญาณของฉันไปข้างหลัง ในพื้นที่ซึ่งเกินความจริงคุณต้องคำนึงถึงความจริงที่ว่ามี "วงกลม" ที่ผิดกฎหมาย (เช่นไฮเปอร์มาร์เก็ตและสยองขวัญ) ในขณะที่อยู่ในพื้นที่ทรงกลมที่คุณทำไม่ได้; คุณสามารถค้นหาวงกลมที่ผ่านจุดสามจุดได้เสมอ

— Josephine Moeller

ฉันไม่คิดว่ามันจะใช้งานได้ คุณต้องการตรวจสอบให้แน่ใจว่าการฉายภาพนั้นนำวงกลมที่ยิ่งใหญ่ไปยังเส้น (เนื่องจากคุณวัดมุมระหว่างขอบของสามเหลี่ยมซึ่งเป็นวงกลมใหญ่ / ตรง) ฉันไม่คิดว่าคุณจะทำสิ่งนี้ไม่ได้ด้วยภาพสามมิติ คุณสามารถทำได้ด้วยการฉายภาพจากจุดที่อยู่ตรงกลางของทรงกลมซึ่งใช้วงกลมเป็นวงรี

— Peter Shor

ศัตรูคนแรก: นี่เป็นคำตอบแรกของฉัน โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์นี้ไม่ถูกต้อง ดูอาร์กิวเมนต์ที่สองของฉันด้านล่าง

ฉันไม่คิดว่ามันเป็นเรื่องจริง เหตุผลที่มันทำงานในระนาบคือในวงกลมมุมที่ถูกจารึกไว้ที่ถูกคายด้วยคอร์ดนั้นเป็นครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน ดังนั้นหากเรามีรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็ก ๆ จุดใด ๆ ที่จะทำให้มุมที่มีขนาดใหญ่กว่าด้วยขอบตรงข้ามอยู่ภายในวงกลม Delaunay ที่ว่างเปล่าและไม่ใช่จุดใดจุดหนึ่งในการกำหนดค่าที่เรากำลังค้นหาสมการของสามเหลี่ยม

ทีนี้สมมติว่าคุณมีสามเหลี่ยมเดอลูเนย์บนทรงกลม วางจุดที่กึ่งกลางของทรงกลมและฉาย pionts ทั้งหมดลงบนระนาบ ขอบของสามเหลี่ยม (วงกลมใหญ่บนทรงกลม) ถูกนำไปที่ส่วนของเส้นตรง แต่วงกลมที่ให้สมบัติลูกบอลว่างจะถูกนำไปที่จุดไข่ปลาและหากมีจุดนอกวงรีที่คาดการณ์ไว้ แต่ภายในวงกลมของรูปสามเหลี่ยมจุดนี้จะทำให้มุมกว้างขึ้นด้วยขอบ

แก้ไข:

รอสักครู่ คำตอบนี้ผิดอย่างสิ้นเชิงเพราะการฉายภาพกลางไม่ได้รักษามุมไว้ ฉันยังคงคิดว่าการคาดคะเนผิดเพราะฉันมีข้อโต้แย้งที่ซับซ้อนมากขึ้นว่าทฤษฎีบทเกี่ยวกับมุมที่ถูกจารึกไว้ไม่ได้อยู่บนทรงกลม นี่คือเหตุผล:

ARGUMENT ที่สอง:

เหตุผลที่สิ่งนี้เก็บไว้ในระนาบคือมุมที่ถูกจารึกไว้ที่ถูกคายด้วยคอร์ดคือครึ่งหนึ่งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน นั่นเป็นเพราะในแผนภาพข้างล่างเรามี

ค Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} ค Y)

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$ และ

ค Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} ค Y) .

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$ เราจะได้ลบ

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} X_{1} ค X_{2} .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

ภาพเรขาคณิต

ทีนี้ในเรขาคณิตทรงกลมเราได้

ค Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} ค Y + A (X_{2} ค Y))

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$ และ

ค Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} ค Y + A (X_{1} ค Y)),

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$ ที่ไหน

A (X Y Z)

$A(XYZ)$ หมายถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยม XYZ เราจะได้ลบ

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} (X_{1} ค X_{2} + A (X_{2} ค Y) - A (X_{1} ค Y)) .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

สำหรับสถานทีของคะแนน $Y$ ทำให้มุมคงที่ $X_1YX_2$ เป็นวงกลมเราจึงต้องการความแตกต่างของพื้นที่ $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ ขึ้นอยู่กับความยาวของแสง $X_1X_2$ . อย่างไรก็ตามสิ่งนี้ไม่เข้ากันกับการสังเกตว่า $A(XCY)$ คือ $0$ สำหรับ $X$ เยื้องตรงข้าม $Y$ และสำหรับ $X=Y$ แต่จะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ

ดังนั้นสถานทีของจุด $Y$ ด้วยมุมคงที่ $X_1YX_2$ ไม่ใช่วงกลม ซึ่งหมายความว่าสำหรับบางรูปสามเหลี่ยม $X_1YX_2$ เราสามารถหาจุด $Y'$ นอกวงกลมของ $X_1YX_2$ ดังนั้นมุม $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$ . จากนั้นเราสามารถใช้สิ่งนี้เพื่อสร้างตัวอย่างกับการคาดเดาที่ Delaunay triangulations บนทรงกลมจะทำให้ได้มุมที่น้อยที่สุด

— ปีเตอร์แคระ
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้คาดหวังว่าคำถามนี้จะยุ่งยากขนาดนั้น :) รอรูปภาพอย่างกระตือรือร้น

— Suresh Venkat