อัลกอริทึมการค้นหาชุดย่อย

9

สมมติว่าฉันมีรายการ $\cal X$ จากชุดย่อยของ $\{1, ..., n\}$ . ฉันสามารถทำการประมวลผลล่วงหน้าในรายการนี้หากจำเป็น หลังจากการประมวลผลล่วงหน้านี้ฉันจะได้รับชุดใหม่ $A \subseteq \{1, ..., n \}$ . ฉันต้องการระบุชุดใด ๆ $B \in \mathcal X$ กับ $B \subseteq A$ .

อัลกอริทึมที่เห็นได้ชัด (ไม่มีการประมวลผลล่วงหน้า) ต้องใช้เวลา $O(n |\cal X|)$ - คุณเพียงแค่ทดสอบ $A$ ต่อแต่ละ $B \in \mathcal X$ แยกต่างหาก มีอะไรดีไปกว่านี้อีกไหม?

ถ้ามันช่วยคุณได้ $A$ จำนวนการแข่งขันทั้งหมด $B \in \mathcal X$ ถูกล้อมรอบด้วยบางสิ่งบางอย่างเช่น $O(1)$ .

ds.algorithms ds.data-structures

— เดวิดแฮร์ริส
แหล่งที่มา

3

นี่ไม่ใช่คำตอบ เป็นการสังเกตที่ง่าย แต่ยาว ฉันหวังว่ามันจะมีประโยชน์

เวอร์ชันการตัดสินใจของปัญหาของคุณคือ: $\cal X$ มีชุดย่อยของ $A$ ?

ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับปัญหาการประเมินฟังก์ชั่นบูลีนโมโนโทนของ $n$ ตัวแปร เซตย่อยของ $\{1,\ldots,n\}$ เทียบเท่ากับ $n$ - สตริงดังนั้นครอบครัว $\cal X$ เทียบเท่ากับฟังก์ชันบูลีน $f$ ของ $n$ ตัวแปร รับฟังก์ชั่น $f$ หนึ่งสามารถกำหนดฟังก์ชั่นโมโนโทนน้อยที่สุดที่ไม่ใหญ่กว่า $f$ คือ $g(y)=(\exists x\subseteq y,\,f(x))$ . จากนั้นปัญหาต้นฉบับจะถูกลดลงเป็นการประเมิน $g(A)$ . ในทางกลับกันปัญหาของการประเมินฟังก์ชั่นโมโนโทนบูลสามารถลดลงเป็นปัญหาดั้งเดิมได้ $f=g$ หรือโดยการเลือก $f$ ที่ทำให้ $\cal X$ ที่มีขนาดเล็ก

ในทางปฏิบัติ BDDs มักจะทำงานได้ดี ดังนั้นวิธีหนึ่งที่เป็นไปได้คือสร้าง BDD สำหรับ $f$ ได้มาจากมัน BDD สำหรับ $g$ แล้วประเมินผล $g$ . ขนาดเฉลี่ยของ BDD สำหรับ $g$ ต้องเพราะมีหลายเสียงเดียวฟังก์ชั่นบูล ดังนั้นในทางทฤษฎีนี่เป็นทางออกที่ไม่ดี $\Omega\left(\binom{n}{n/2}\right)$

แต่ (1) การวิเคราะห์ที่ดีกว่าอาจเป็นไปได้และ (2) อาจมีการปรับแต่งวิธีการนี้ที่ทำให้ดีขึ้น ตัวอย่างเช่นฉันไม่ได้ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างขนาดของและขนาดBDD ของแต่อย่างใด (ต้องมีความสัมพันธ์กัน แต่ฉันไม่รู้ว่ามันง่ายหรือใช้งานได้ที่นี่) $\cal X$ $g$

เพื่อความสมบูรณ์อัลกอริธึมที่ง่ายสำหรับการคำนวณ BDD สำหรับจาก BDD สำหรับมีดังต่อไปนี้ นี่เป็นมาตรฐานหรือการทำงานของ BDDs $g$ $f$

m (x ? f_{1} : f_{0}) = x ? (m (f_{0}) \lor m (f_{1})) : m (f_{0})

$m(x?f_1:f_0)=x?(m(f_0)\lor m(f_1)):m(f_0)$

\lor

$\lor$

— Radu GRIGore
แหล่งที่มา

2

นี่ไม่ใช่สิ่งที่เทียบเท่าหรือไม่มากไปกว่าการคำนวณคำตอบสำหรับแต่ละชุดย่อยของ , แคชผลลัพธ์ทั้งหมดในต้นไม้ไบนารีที่มีขนาดแล้วมองไปทางขวา ส่งผลให้ (ในเวลา ) เมื่อคุณได้รับ?

{1, 2, . . ., n}

$\{1,2,...,n\}$

2^{n}

$2^n$

O (n)

$O(n)$

A

$A$

— mjqxxxx

การใช้พื้นที่เอ็กซ์โปเนนเชียลในการจัดเก็บข้อมูลที่ประมวลผลล่วงหน้าดูเหมือนจะเป็นการโกงถึงฉันแม้ว่าจะไม่ได้รับอนุญาตในคำถามก็ตาม แต่ฉันอาจจะลำเอียงไปที่โบสถ์แห่งความซับซ้อนกรณีที่เลวร้ายที่สุด

— Tsuyoshi Ito

mjqxxxx และ Tsuyoshi: ฉันเห็นด้วยกับคุณทั้งคู่ ฉันเขียนข้อความใหม่เพื่อที่ฉันหวังว่ามันจะชัดเจนยิ่งขึ้นว่าฉันเห็นด้วย :)

— Radu GRIGore

3

บางทีคุณสามารถใช้เทคนิค "การดึงข้อมูล": ในช่วงการประมวลผลล่วงหน้าสร้างดัชนีกลับหัว (ในกรณีของคุณง่าย ๆอาร์เรย์สองมิติก็เพียงพอแล้ว) ที่แมปองค์ประกอบให้กับชุดในที่มี:\} $n \times | {\cal X}|$ $x_i \in \{1,...,n\}$ $\cal X$ $inv(x_i)= \{ X_j \in {\cal X} \; | \; x_i \in X_j \}$

ตั้งค่าเป็นจำนวนเต็มอาร์เรย์ของความยาว. $occ$ $|\cal X|$

แล้วสำหรับแต่ละดึงและสำหรับแต่ละทำ $y_i \in A$ $inv(y_i)$ $X_j \in inv(y_i)$ $occ[j] = occ[j]+1$

ในตอนท้ายชุดที่คุณต้องการเป็นผู้ที่[เจ] $|X_j|=occ[j]$

คุณสามารถเร่งความเร็วของกระบวนการโดยพลการ (โดยเสียค่าใช้จ่ายของพื้นที่เอ็กซ์โปเนนเชียล) โดยการทำดัชนีองค์ประกอบสองชิ้นขึ้นไปพร้อมกัน

— Marzio De Biasi
แหล่งที่มา