ฟังก์ชั่นที่แคลคูลัสแลมบ์ดาไม่สามารถคำนวณได้

12

ฉันแค่อยากรู้ตัวอย่างของฟังก์ชั่นที่สามารถคำนวณได้โดยแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์

ในฐานะที่ฉันเป็นผู้เริ่มต้นการกล่าวซ้ำ ๆ ของข้อมูลพื้นฐานบางอย่างจะได้รับการชื่นชม

ขอบคุณ

แก้ไข: โดย lambda calculi ที่พิมพ์ฉันตั้งใจจะรู้เกี่ยวกับ System F และแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ง่าย ตามฟังก์ชั่นฉันหมายถึงฟังก์ชันใด ๆ ที่คำนวณได้ของทัวริง

— Timothy Zacchari
แหล่งที่มา

สาขาวิชาการพิมพ์จำนวนมากที่มีอยู่สำหรับ

-calculi และคำตอบคำขอของคุณขึ้นอยู่ส่วนหนึ่งที่ทางเลือกของการพิมพ์วินัยคุณมีในใจ นอกจากนี้ยังขึ้นอยู่กับความหมายของฟังก์ชัน ตัวอย่างหนึ่งของความแตกต่างคือการพิมพ์สาขาเช่นSystem Fสามารถพิมพ์โปรแกรม normalizing เท่านั้นในขณะที่ untyped

-calculus มีคำศัพท์ที่ไม่ทำให้เป็นมาตรฐาน

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

— Martin Berger

ฉันกำลังคิดถึง System F และแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ง่าย ตามฟังก์ชั่นฉันหมายถึงฟังก์ชั่นที่คำนวณได้

— Timothy Zacchari

15

ตัวอย่างที่ดีคือการให้ Godelization: ในแลมบ์ดาแคลคูลัสสิ่งเดียวที่คุณสามารถทำได้ด้วยฟังก์ชั่นคือการใช้มัน เป็นผลให้ไม่มีวิธีการเขียนฟังก์ชั่นปิดประเภทซึ่งใช้ฟังก์ชั่นการโต้แย้งและส่งกลับรหัส Godel สำหรับมัน $(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N}$

การเพิ่มสิ่งนี้เป็นสัจพจน์กับ Heyting เลขคณิตมักจะถูกเรียกว่า "วิทยานิพนธ์คริสตจักรที่สร้างสรรค์" และเป็นสัจพจน์ที่ต่อต้านคลาสสิกอย่างยิ่ง กล่าวคือมันสอดคล้องกับการเพิ่มลงใน HA แต่ไม่รวมอยู่ในเลขคณิตของ Peano! (โดยทั่วไปเป็นความจริงแบบคลาสสิกที่ทัวริงหยุดทำงานหรือไม่และไม่มีฟังก์ชั่นการคำนวณที่สามารถเห็นความจริงข้อนี้)

— Neel Krishnaswami
แหล่งที่มา

ฉันไม่เข้าใจว่าสิ่งนี้สอดคล้องกับทฤษฎี extensional: ใช้ f และ g เท่ากันอย่างต่อเนื่อง แต่มีการใช้งานที่แตกต่างกันและรหัส godel ที่แตกต่างกัน ฟังก์ชันของคุณคืนค่าหมายเลขเดิมสำหรับ f และ g หรือไม่

— ดี้

3

มันไม่สอดคล้องกับส่วนขยาย! อย่างไรก็ตามใน HA

และ

เป็นสิ่งเชื่อมต่อแบบลอจิคัลไม่ใช่ฟังก์ชัน / บันทึก ดังนั้นพวกเขาจะต้องสามารถใช้งานได้จริง แต่ผู้ใช้งานของพวกเขาไม่จำเป็นต้องมีมิติ Andrej Bauer เป็นผู้เชี่ยวชาญในเรื่องนี้ดังนั้นหากคุณถามคำถามคุณแน่ใจว่าจะได้รับคำตอบที่ดี

\forall

$\forall$

\exists

$\exists$

— Neel Krishnaswami

11

คำตอบที่ง่ายที่สุดคือความจริงที่ว่าแลมบ์ดาแคลคูลัสนั้นสอดคล้องกับ logics (เพียงพิมพ์แลมบ์ดาแคลคูลัส -> ตรรกะภาคแสดงระบบ f -> ตรรกะลำดับที่สอง) และตรรกะที่สอดคล้องกันไม่สามารถพิสูจน์ความมั่นคงของตนเองได้

$f$ $f$ ตรรกะลำดับที่สองซึ่งจะหมายถึงตรรกะลำดับที่สองนั้นไม่สอดคล้องกัน)

$f$ $f$

Caveat 2: บางครั้งโดย "แคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ง่าย ๆ " ผู้คนหมายถึง "แคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้อย่างง่ายดาย" ด้วยตัวดำเนินการคงที่หรือฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำ นี่จะเป็นPCF ที่มากหรือน้อยซึ่งสามารถคำนวณฟังก์ชันใด ๆ ที่คำนวณได้เช่นเดียวกับแคลคูลัสแลมบ์ดาที่ไม่ได้พิมพ์

— Rob Simmons
แหล่งที่มา

10

$\lambda$ $Y$ $\lambda$

$\lambda$ $Y$

— Andrej Bauer
แหล่งที่มา

ด้วยเหตุผลบางอย่างฉันมีมันอยู่ในหัวของฉันที่คุณสามารถทำ Ackermann ในระบบ F ...

— ร็อบซิมมอนส์

@ Rob ดังที่ฉันเข้าใจ Andrej ไม่ได้พูดแบบนั้น

— Kaveh

1

λ

$\lambda$

λ

$\lambda$

โอ้ใช่ฉันแค่โง่ (เนื่องจากคำถามนั้นค่อนข้างคลุมเครือระหว่างการพูดคุยเกี่ยวกับ System F และการพูดคุยเกี่ยวกับ STLC ฉันเลือกระบบที่แข็งแกร่งกว่าและลืมคำถามที่ง่ายกว่า)

— Rob Simmons

λ

$\lambda$

λ m . m (λ f n . n f (f \underline{1})) s u c

$\lambda m.m(\lambda f n.n f(f \underline{1}))~\mathsf{suc}$

(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)

$(((((f \to e) \to f \to e) \to h) \to ((((f \to e) \to f \to e) \to h)$

\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d

$\to h \to g) \to g) \to (((b \to c) \to a \to b) \to (b \to c) \to a \to c) \to d) \to d$

Y

$Y$

6

$\mathtt{a}^*$

— Sam Tobin-Hochstadt
แหล่งที่มา

5

(p \to p) \to p \to p

$(p \to p) \to p \to p$

p

$p$

2

$\lambda$

@ การแข่งรถ: ขอบคุณ! ตอนนี้ฉันอาศัยอยู่ที่ประเทศเยอรมนีดังนั้นนี่จึงเป็นสิ่งที่ดีเป็นพิเศษในการฝึกฝนภาษาเยอรมันของฉัน :)

— Neel Krishnaswami

4

วิสัยทัศน์หนึ่งของข้อ จำกัด ของการคำนวณอย่างธรรมดาที่ฉันชอบคือมุมการคำนวณ ในแคลคูลัสที่พิมพ์ตามปกติอย่างยิ่งเช่นแกนแคลคูลัสแลมบ์ดาที่พิมพ์ได้อย่างง่ายๆระบบ F หรือแคลคูลัสของสิ่งก่อสร้างคุณมีหลักฐานว่าในที่สุดเงื่อนไขทั้งหมดสิ้นสุดลงในที่สุด

หากการพิสูจน์นี้เป็นสิ่งที่สร้างสรรค์คุณจะได้รับอัลกอริทึมคงที่เพื่อประเมินคำศัพท์ทั้งหมดด้วยขอบเขตบนที่รับประกันได้ในเวลาการคำนวณ หรือคุณสามารถศึกษาการพิสูจน์ (ไม่จำเป็นต้องสร้างสรรค์) และดึงขอบเขตบนออกมา - ซึ่งมีแนวโน้มว่าจะมีขนาดใหญ่มากเนื่องจากแคลคูลัสเหล่านั้นแสดงออก

ขอบเขตนี้ให้ตัวอย่างของฟังก์ชัน "ธรรมชาติ" ที่ไม่สามารถพิมพ์ได้ในแลมบ์ดา - แคลคูลัสนี้: ฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่เหนือกว่าขอบเขตนี้

ถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้องคำที่พิมพ์ในแลมบ์ดาแคลคูลัสที่พิมพ์ง่ายสามารถประเมินได้ในหอคอยแห่งเอ็กซ์โปเนนเชียล: O(2^(2^(...(2^n)..); ฟังก์ชั่นที่เติบโตเร็วกว่าหอคอยทุกแห่งจะไม่สามารถแสดงให้เห็นได้ในแคลคูลัส System F สอดคล้องกับตรรกะลำดับที่สองของสัญชาตญาณดังนั้นพลังในการคำนวณจึงมีมหาศาล ในการยึดความสามารถในการคำนวณของทฤษฎีที่ทรงพลังยิ่งกว่านั้นเรามักจะให้เหตุผลในแง่ของทฤษฎีเซตและทฤษฎีแบบจำลอง

— gasche
แหล่งที่มา

0

$\Delta = \lambda x. x x$ $\Delta \Delta \to_\beta ~\Delta \Delta$ $\Delta$ $A$ $A = A \to A$

— ชาร์ลส์
แหล่งที่มา

λ

$\lambda$

A

$A$

A \equiv A \to A

$A\equiv A \to A$

ใช่คุณพูดถูก แต่ฉันคิดว่า (บางทีฉันผิด) ว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะมีรูปแบบดังกล่าวในแลมบ์ดา - แคลคูลัสหรือระบบ F ซึ่งเป็นประเภทธรรมดา

— Charles

Δ Δ

$\Delta\Delta$

Δ Δ

$\Delta\Delta$

@Kaveh ทำไมมีประเภทAเช่นที่A \ident A \rightarrow Aไม่แปลก? ฟังดูไร้สาระสำหรับฉันฉันกำลังมองอะไร

— Martijn

คุณอาจกำลังคิดถึงคลาสสิกเกี่ยวกับเซตและช่องว่างของฟังก์ชันเหนือสิ่งเหล่านั้น คิดเช่นเกี่ยวกับสตริงไบนารีที่ จำกัด และฟังก์ชันที่คำนวณได้เหนือพวกเขา

— Kaveh