การจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกระดานหมากรุก?

ลองพิจารณาปัญหาในการค้นหาจำนวนอัศวินสูงสุดที่สามารถวางบนกระดานหมากรุกโดยที่พวกเขาทั้งสองไม่สามารถโจมตีซึ่งกันและกัน คำตอบคือ 32: มันไม่ยากเกินไปที่จะหาการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ (กราฟที่เกิดจากการเคลื่อนไหวของอัศวินเป็นสองฝ่ายและมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบสำหรับบอร์ด 4 × 4) ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นฝาปิดขอบขั้นต่ำ มันก็ไม่ยากที่จะพิสูจน์ว่าคำตอบคือ$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$สำหรับกระดานหมากรุกเมื่อใดก็ตามที่: มันพอเพียงที่จะแสดงการจับคู่สำหรับและทำฟุตเวิร์คเหนี่ยวนำเล็กน้อยm , n ≥ 3 3 ≤ m , n ≤ $m \times n$$m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

ในทางกลับกันถ้ากระดานหมากรุกมี toroidal และก็พิสูจน์ได้ว่าไม่จำเป็นต้องแสดงการจับคู่สำหรับกระดานขนาดเล็ก: แผนที่มี เพียงรอบความยาวเท่ากันดังนั้นจะต้องมีการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ( x , y ) → ( x + 1 , y + 2 $m, n$$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$

มีเทียบเท่ากระดานหมากรุกสี่เหลี่ยมหรือไม่เช่นมีวิธีที่ง่ายกว่าในการแสดงให้เห็นว่าสำหรับมีขนาดใหญ่พอสมควรจะมีการจับคู่กระดานหมากรุกที่สมบูรณ์แบบเสมอหรือไม่? สำหรับบอร์ดขนาดใหญ่บอร์ดสี่เหลี่ยมและบอร์ด toroidal เกือบเท่ากันในแง่ที่ว่าส่วนของขอบที่ขาดหายไปเป็นศูนย์ แต่ฉันไม่ได้ตระหนักถึงผลลัพธ์ทางทฤษฎีใด ๆ ที่จะรับประกันการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบในกรณีนั้น$m, n$

เกิดอะไรขึ้นถ้าแทนที่จะกระโดดในทิศทางใดอัศวินจะกระโดดกำลังสองในทิศทางใด หรือ, สำหรับเรื่องนั้น,กำลังสอง, ด้วยคี่และ coprime? หากมีเป็นวิธีที่ง่ายในการพิสูจน์ว่าคำตอบคือสำหรับขนาดใหญ่พอ (พูด, ) สิ่งที่ไม่มีลักษณะเหมือน?( 2 , 3 ) ( p , q ) p + q p , $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

คำตอบคือไม่สำหรับทุกขนาดใหญ่ม.,nถ้าเช่นP=6และQ=3 ทำไม? สังเกตว่าเพราะของเหลือ$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$ตอนนี้กราฟคือ (จุดยอด) รวมกันของกราฟสองฝ่ายทั้งสามและจากนั้นเราสามารถเลือกครึ่งที่ใหญ่กว่าได้ ตัวอย่างเช่นถ้าดังนั้นวิธีนี้เราสามารถวาง (อย่างน้อย) 5002 อัศวิน (นี่เป็นเพราะ x + $\mod 3$$m=n=100$มีหกคลาสซึ่งมีสามคู่ความแตกต่างระหว่าง cardinalities ของคู่คือ 1 , 1 , 2 )$x+y \mod 6$$1,1,2$

ฉันไม่ทราบว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราเพิ่มเงื่อนไขที่และqเป็นช่วงเวลาที่สัมพันธ์กัน (โปรดทราบว่านอกเหนือจากตัวหาร 2 นี้เทียบเท่ากับp + qและp - qเป็นช่วงเวลาที่สัมพันธ์กันในความเป็นจริงนี่คือเงื่อนไขที่เราต้องการและซึ่งยังแสดงให้เห็นว่าเป็นสิ่งจำเป็นp + qคี่)$p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$