ค้นหาระยะทางสั้นที่สุดของคะแนนใน Pairwise เป็น o (n log n) หรือไม่

แบบฝึกหัดต่อไปนี้มอบให้กับนักเรียนที่ฉันควบคุมดูแล:

กำหนดจุดบนเครื่องบินประดิษฐ์อัลกอริธึมที่หาคู่ของจุดที่ระยะทางน้อยที่สุดในทุกจุด อัลกอริทึมควรใช้ในเวลาที่o ( n 2 )$n$$o(n^2)$

มี (ค่อนข้าง) แบ่งและพิชิตอัลกอริทึมง่ายๆที่แก้งานในเวลาที่เป็น )$\Theta(n \log n)$

คำถามที่ 1 : มีอัลกอริทึมที่แก้ปัญหาที่เกิดขึ้นในเวลาที่เลวร้ายที่สุดหรือไม่?$\mathcal{o}(n \log n)$

สิ่งที่ทำให้ฉันสงสัยว่าสิ่งนี้อาจเป็นไปได้คือผลลัพธ์ที่ฉันจำได้ว่าได้เห็นในการพูดคุย (อ้างอิงชื่นชม) มันระบุสิ่งที่ตามเส้นที่ไม่เกินค่าคงที่จำนวนจุดสามารถจัดอยู่ในระนาบที่อยู่รอบ ๆ บางจุดPอยู่ภายในวงกลมรัศมีR ∈ RกับRระยะทางที่น้อยที่สุดระหว่างสองจุดที่เกี่ยวข้อง . ฉันคิดว่าc = 7จุดที่สร้างรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ากันหมดที่มีpอยู่ตรงกลาง (ในกรณีที่รุนแรง)$c \in \mathbb{N}$$p$$r \in \mathbb{R}$$r$$c=7$$p$

ในกรณีดังกล่าวอัลกอริทึมต่อไปนี้ควรแก้ไขปัญหาได้ในขั้นตอน$n$

fun mindist [] | p::[] = INFINITY
|   mindist p1::p1::[] = dist(P[0], P[1])
|   mindist p::r = let m = mindist(r) in
                     min(m, nextNeighbour(p, r, m))
                   end

โปรดทราบว่านี่คือ (อ้างว่าเป็น) ในเวลาเชิงเส้นเพราะมีเพียงจำนวนจุดคงที่ในrไม่ไกลmจากp(สมมติว่าข้อความข้างต้น); เฉพาะจุดเหล่านี้จะต้องมีการตรวจสอบเพื่อหาขั้นต่ำใหม่ มีการจับแน่นอน คุณจะใช้งานอย่างไรnextNeighbour(อาจมีการประมวลผลล่วงหน้าในเวลาเชิงเส้น)

คำถามที่ 2 : ให้ชุดของจุดและจุดP ∉ R ปล่อยm ∈ Rด้วย$R$$p \notin R$$m \in \mathbb{R}$

$\qquad m \leq \min\{\mathrm{dist}(p_1, p_2) \mid p_1, p_2 \in R\}$

และ

$\qquad R_{p,m} := \{p' \mid p' \in R \wedge \mathrm{dist}(p, p') \leq m\}$\}

สมมติว่ามี จำกัด เป็นไปได้หรือไม่ที่จะหามีระยะทางน้อยที่สุดจากใน (ตัดจำหน่าย) เวลา ? (คุณอาจสันนิษฐานว่าจะถูกสร้างขึ้นโดยการเพิ่มคะแนนที่ตรวจสอบหนึ่งต่อหนึ่ง) p ′ ∈ R p , m p O ( 1 ) R $R_{p,m}$$p' \in R_{p,m}$$p$$\mathcal{O}(1)$$R$$p$

มันเป็นไปไม่ได้ที่จะแก้ปัญหาในเวลาน้อยกว่าในโมเดลมาตรฐานเช่นใช้ต้นไม้ตัดสินใจเชิงพีชคณิต สิ่งนี้ติดตามจากงานของ Yao และ Ben-Or ที่แสดงให้เห็นว่าในรุ่นนี้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะตัดสินใจว่าชุดของตัวเลข input นั้นแตกต่างกันทั้งหมดหรือไม่ (ดูที่http://people.bath.ac.uk/masnnv /Teaching/AAlg11_8.pdf ) ในกรณีที่เกิดปัญหาของคุณลองจินตนาการว่าพวกเขาทั้งหมดอยู่ในสายจริง หากจุดสองจุดเหมือนกันผลลัพธ์ของคุณจะเป็นสองจุดที่มีระยะทางเป็นศูนย์ แต่ไม่เช่นนั้นการแก้ปัญหาของคุณก็จะแก้ปัญหา DISTINCT NUMBERS ได้เช่นกัน หากคุณต้องการสมมติว่าคะแนนทั้งหมดของคุณแตกต่างกันเพียงเพิ่มในn ฉันϵ x ฉัน n ϵ 2 n ϵ Ω ( n บันทึกn $cn\log n$$n$$i\epsilon$$x_i$อินพุตของปัญหา DISTINCT NUMBERS ในกรณีนี้หากเอาต์พุตของคุณมากที่สุดดังนั้นตัวเลขจะไม่แตกต่างกันทั้งหมด (ถึงแม้ว่าในกรณีนี้คุณต้องใช้รุ่นสัญญาที่มีความแตกต่างของตัวเลขสองตัวใด ๆ ที่แตกต่างกันอย่างน้อยแต่ฉันคิดว่าหลักฐานแบบเดียวกันนี้แสดงว่าคุณต้องการด้วย กรณี.)$n\epsilon$$2n\epsilon$$\Omega(n\log n)$

มีขั้นตอนวิธีเชิงเส้นตรงตามเวลาที่คาดหวังโดยราบิน ดูเช่นRabin พลิกเหรียญในบล็อกของ Lipton

เท่าที่ฉันเข้าใจคำถามที่ 2 อัลกอริทึมของ Rabin ก็ให้คำตอบเช่นกัน ในแต่ละขั้นตอนโครงสร้างข้อมูลเป็นกริดที่มีความกว้างของเซลล์น้อยกว่าระยะทางที่เล็กที่สุดระหว่างคู่ของจุดที่เห็นจนถึงหารด้วย (เพื่อไม่ให้เซลล์ใดมีมากกว่าหนึ่งจุด) ในการตอบแบบสอบถามในคำถาม 2 คุณเพียงต้องการแมปกับเซลล์ในกริดและดูจำนวนเซลล์ที่อยู่รอบ ๆ จากการวิเคราะห์อัลกอริธึมหากตรวจสอบชุดจุดอินพุทตามลำดับแบบสุ่มกว่าเวลาการอัพเดทที่ตัดจำหน่ายสำหรับกริดคือต่อจุดใหม่ตามที่คาดหวัง pO(1$\sqrt{2}$$p$$O(1)$