ข้อเสนอและการตัดสินต่างกันอย่างไร?

ฉันสับสนกับข้อแตกต่างเล็กน้อยระหว่างข้อเสนอและการตัดสินเมื่อสัมผัสกับทฤษฎีประเภทสัญชาตญาณ มีใครสามารถอธิบายให้ฉันฟังได้ว่าอะไรคือประเด็นของการแยกแยะพวกเขาและอะไรที่ทำให้พวกเขาแตกต่าง? โดยเฉพาะอย่างยิ่งในมุมมองของ Curry-Howard Isomorphsim

ก่อนอื่นคุณควรรู้ว่าโดยทั่วไปไม่มีความเห็นพ้องกันเกี่ยวกับข้อกำหนดเหล่านี้และคำจำกัดความของพวกเขาขึ้นอยู่กับระบบที่ใช้งานได้เนื่องจากคุณถามเกี่ยวกับทฤษฎีประเภทของสัญชาตญาณฉันจะอ้าง Pfenning:

การตัดสินเป็นสิ่งที่เราอาจรู้นั่นคือเป้าหมายของความรู้ การตัดสินนั้นชัดเจนถ้าจริง ๆ แล้วเรารู้

ข้อเสนอในทางกลับกันตามที่ Martin-Löfเป็นชุดของการพิสูจน์ ในการตีความนี้หากชุดของการพิสูจน์สำหรับข้อเสนอว่างเปล่าแล้วมันเป็นเท็จและเป็นอย่างอื่นจริง

ข้อเสนอถูกตีความว่าเป็นชุดที่มีองค์ประกอบที่เป็นตัวแทนการพิสูจน์ของข้อเสนอ

Nordström et al กล่าว ในทางกลับกันในตรรกะคลาสสิกและโดยทั่วไปข้อเสนอเป็นวัตถุที่แสดงออกในภาษาซึ่งอาจเป็น "จริง" หรือ "เท็จ"

เพื่อให้คุณมีสัญชาตญาณพิเศษ; จากมุมมองของฉันการตัดสินเป็นเรื่องเกี่ยวกับโลหะและข้อเสนอเชิงตรรกะ

ผมขอแนะนำให้ "ลอจิกที่สร้างสรรค์" โดยแฟรงก์ Pfenning , "พิสูจน์และประเภท" Jean-Yves ราร์ดและ"การเขียนโปรแกรมใน Martin-Löfประเภททฤษฎี"โดยเบนท์สตรอม, et al ทั้งสามมีอิสระบนอินเทอร์เน็ต อันสุดท้ายน่าจะใกล้เคียงกับสิ่งที่คุณต้องการมากที่สุดเพราะมันมุ่งเน้นไปที่การเขียนโปรแกรมและมีรายละเอียดมากยาวเกี่ยวกับความหมายของคำเหล่านี้และอีกมากมาย

บางทีฉันอาจลองให้คำตอบที่เลื่อนลอยน้อยกว่า

มีภาษาเป็นภาษาตรรกะที่เรากำลังศึกษาอยู่ ในภาษานี้มีสิ่งที่เรียกว่า "ข้อเสนอ" ซึ่งควรจะเป็นสิ่งที่เป็นจริงหรือเท็จ

มี meta-language ซึ่งเป็นภาษาตรรกะซึ่งเราพยายามอธิบายว่าสิ่งใดในภาษาฐานเป็นจริงหรือเท็จ ข้อความที่เราทำในภาษาเมตานี้เรียกว่า "การตัดสิน"

โปรดทราบว่าข้อเสนอทั้งหมดของภาษาฐานมีสถานะของข้อมูลในภาษาเมตา พวกเขาดีเท่าสายอักขระ คุณไม่สามารถถามสตริงได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ การตัดสินคือล่ามที่ตีความสตริงเป็นข้อเสนอและตัดสินว่าเป็นจริงหรือเท็จ

ฉันจะพยายามย่อคำตอบอื่น ๆ ให้ละเอียดยิ่งขึ้น มีความแตกต่างระหว่างข้อความที่พูดว่า"พ่อบ้านทำมัน" และนางมาร์เปิ้ลประกาศว่า"พ่อบ้านทำมัน" ในกรณีที่สองพ่อบ้านอาจเสียอิสรภาพ

ในมาร์ตินLöf 's ทฤษฎีประเภทคำตัดสินเป็นส่วนหนึ่งของการพูดการกระทำ มีการตัดสินสี่ (หรือห้าตามวิกิพีเดีย):

• (เป็นชนิด / ชุด / ข้อเสนอ)$A \ \mathsf{Type}$$A$
• ( sเป็นสมาชิก / หลักฐานการ A )$s : A$$s$$A$
• ( sและ tเท่ากับสมาชิก / การพิสูจน์ของ A ),$s=t : A$$s$$t$$A$
• ( Aและ Bเป็นประเภท / ชุด / ข้อเสนอที่เท่ากัน)$A=B$$A$$B$
• ( Γบริบท well-formed)$\Gamma \ \mathsf{Context}$$\Gamma$

เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้หมายความว่าเราต้องกลับไปที่ Frege สัญลักษณ์หมุนของ Frege เป็นคำพูด มันอ้างเนื้อหา (ซึ่งต่อไปนี้มันคือการตัดสิน) ในทฤษฎีประเภทของ Martin-Löfเรามีการตัดสินสี่ (ห้า) ด้านบน ในทฤษฎีเหล่านี้ข้อเสนอเป็นเพียงแค่ประเภท$\vdash$

$A$$A$$t$$A$$t : A$$t$$A$$\vdash t:A$

ฉันจะเพิ่ม "Foundations of Constructive Mathematics" ของ Michael Bees ลงในคำแนะนำในคำตอบของ Anthony มาร์ติน - โลฟได้พูดคุยหลายครั้งซึ่งอธิบายทฤษฎีของเขาเป็นอย่างดี แต่น่าเสียดายที่พวกเขาส่วนใหญ่ยังไม่ได้กลายเป็นรูปแบบที่ตีพิมพ์โดยเขา (แต่ตรวจสอบเว็บไซต์นี้ )

การตัดสินคือองค์ประกอบของสองสิ่ง:

1. $P$
2. $\cal A$

${\cal A} [P]$

$[P]$$[P]$$[T]$$H_1, \dots, H_n \vdash A_1, \dots, A_n$ที่ logics บางคนมีการตัดสินที่ไม่เทียบเท่ากับข้อเสนอของภาษาของตรรกะ เชิงประพจน์ประเภทต่าง ๆ มีให้เห็นในตรรกะคลาสสิกค่อนข้างประถม

ทฤษฎีประเภทของมาร์ติน - โลฟหันหน้าไปทางครอบครัวที่มีความซับซ้อนมากขึ้นในการตัดสินด้วยเหตุผลสามประการ: ประการแรกมันถูกพิมพ์อย่างพึ่งพาซึ่งหมายความว่าข้อเสนอเกิดขึ้นในฐานะหน่วยงานทางไวยากรณ์ภายในเงื่อนไข ประการที่สองเขาใช้ไวยากรณ์เพื่อกำหนดว่าสัญลักษณ์ใดที่มีเงื่อนไขและข้อเสนอที่ถูกต้อง แต่ใช้ระบบเชิงอนุมานเพื่อทำเช่นนั้น - สิ่งที่สมเหตุสมผลที่ต้องทำเนื่องจากข้อเสนอในทฤษฎีที่พิมพ์เช่นนั้นโดยทั่วไปแล้วไม่มีบริบท ประการที่สามเขาคิดค้นทฤษฎีนวนิยายเรื่องความเท่าเทียมกันมักจะเรียกว่าความเท่าเทียมกันเชิงประพจน์ซึ่งใช้ประโยชน์จากทฤษฎีเบต้า - กทพ. (หรือในบางสายพันธุ์เพียงทฤษฎีเบต้า) และการตัดสินว่าคำสองคำนี้มีรูปแบบปกติร่วมกัน เบต้า / กทพ. เทียบเท่าของสองคำศัพท์ - สมเหตุสมผลอีกครั้ง

การตัดสินแสดงความเท่าเทียมเบต้า / กทพสามารถกำจัดได้โดยไม่ยากเกินไป - มีเหตุผลสำหรับกฎการแนะนำสำหรับความเท่าเทียมกันเชิงประพจน์ว่าทั้งสองคำนั้นมีค่าเทียบเท่าเบต้า (ความเท่าเทียมเบต้า - กทพ. มีปัญหามากกว่าเล็กน้อย) - แต่กำจัดการตัดสิน คำที่อาศัยอยู่ประเภทนั้นยากกว่ามาก วิธีที่แย่ที่สุดที่ฉันสามารถคิดได้ในการทำเช่นนี้คือสร้างการอนุมานประเภทใหม่ในเทอมไวยากรณ์ซึ่งนำไปสู่ทฤษฎีที่ซับซ้อนและใช้งานง่ายกว่าโดยรวม

การเรียกร้องข้อเสนอและข้อความล้วนเหมือนกัน แต่ jugement เป็นข้อเสนอที่ได้รับการตรวจสอบแล้ว (ไม่ว่าจะถูกหรือผิด) รับรองหรือใช้เป็นข้อสรุป ไม่จำเป็นต้องใช้สูตรแฟนซีเช่นคำตอบข้างต้นดูเหมือนจะละเมิด ...