อะไรคือจุดที่เรียกว่า -calculus an algebra?

การเรียก -calculus กับพีชคณิตแทนที่จะเป็นแคลคูลัสแตกต่างกันอย่างไร ฉันตั้งคำถามนี้ขึ้นเพราะฉันอ่านบางบรรทัด " -calculus ไม่ใช่แคลคูลัส แต่เป็นพีชคณิต" (iirc มาจาก Dana Scott) ประเด็นคืออะไร? ขอบคุณ$\lambda$$\lambda$

แคลคูลัสเป็นระบบการคำนวณที่ยึดตามการแสดงออกของสัญลักษณ์ พีชคณิตเป็นระบบของการแสดงออกเชิงสัญลักษณ์และความสัมพันธ์ระหว่างพวกเขา [*] นั่นคือแคลคูลัสเป็นระบบในการหาคำตอบและพีชคณิตเป็นวิธีการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างคำศัพท์

แคลคูลัสเป็นทั้งแคลคูลัสหรือพีชคณิตขึ้นอยู่กับว่าคุณต้องการที่จะคิดว่าและกฎกฎลดมุ่งเน้นหรือสม unoriented หากคุณคิดว่ากฎนั้นเป็นสิ่งที่มุ่งเน้นคุณจะต้องแก้ไขลำดับการประเมินผลและกฎนั้นจะบอกคุณถึงวิธีการใช้คำศัพท์และสร้างแบบฟอร์มปกติ หากคุณคิดว่าเป็นกฎที่ไม่ให้ความสนใจพวกเขาก็ให้ความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกับคุณใน -terms$\lambda$$\beta$$\eta$$\lambda$

[*] นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความหมวดหมู่ของพีชคณิตซึ่งเป็นคำจำกัดความที่เป็นทางการค่อนข้าง จำกัด กว่าความคิดที่ไม่เป็นทางการ ความแตกต่างคือนิยามที่เป็นทางการของพีชคณิตครอบคลุมเพียงแค่ระบบเหล่านั้นที่ไม่มีการเชื่อมโยงตัวแปร ดังนั้นผู้ผสม SKI จึงสร้างพีชคณิต แต่ -calculus ไม่ได้$\lambda$

ตามเนื้อผ้าพีชคณิตเป็นพาหะที่มีการดำเนินการที่สอดคล้องกับสมการบางอย่าง (คิดว่า "กลุ่ม") มีหลายวิธีที่ความคิดทั่วไปสามารถ:

• จีบราส์หลายเรียงมีหลายชุดผู้ให้บริการ ตัวอย่างจะเป็นโมดูลเหนือวงแหวนRซึ่งเราต้องการพิจารณาเรื่องทั้งหมดเป็นพีชคณิตเดียว อีกตัวอย่างที่ค่อนข้างโง่เป็นกราฟซึ่งมีสองชุดผู้ให้บริการEขอบและVของจุดและสองการดำเนินงานแหล่งs : E → Vและเป้าหมายE → Vพอใจสมการไม่มี$M$$R$$E$$V$$s : E \to V$$E \to V$

• สัจพจน์ทั่วไปที่มากกว่าซึ่งไม่ใช่แค่สมการอาจได้รับอนุญาต ตัวอย่างเช่นสัจพจน์ของสนามเป็นสมการทั้งหมดยกเว้นสำหรับ 1 อีกตัวอย่างคือสิ่งที่เหมือนกับโดเมนอินทิกรัล$x \neq 0 \implies x \cdot x^{-1} = 1$

• การดำเนินงานทั่วไปที่มากขึ้นอาจได้รับอนุญาตโดยเฉพาะอย่างยิ่งการ arity อนันต์หรือการดำเนินการตามลำดับที่สูงกว่าซึ่งทำหน้าที่เป็นอาร์กิวเมนต์ ตัวอย่างของการใช้งาน infinitary คือในจีบราส์กลางจุดกึ่งกลางของ Martin Escardo และ Alex Simpson ถ้าคุณไปไกลในทิศทางนี้คุณจะไปถึงพระ$M$

ในความรู้สึกนี้ untyped แคลคูลัสเป็นพีชคณิตเพราะมันเป็นที่ที่ระบุไว้ในแง่ของการตั้งค่าของผู้ให้บริการที่มีบางส่วน (ขั้นสูง) การดำเนินงานที่น่าพอใจสมบางคน ( βและη )$\lambda$$\beta$$\eta$

มีคำจำกัดความที่ชัดเจนของสิ่งที่พีชคณิตอยู่ในทฤษฎีหมวดหมู่: ดูบทความนี้เป็นตัวอย่าง ใช้เวลาไม่กี่ปีในการทำความเข้าใจว่าโครงสร้างที่มีตัวแปรขอบเขตสามารถเข้าใจได้ในบริบทเดียวกับโครงสร้างพีชคณิตคำที่ใช้กันทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์และปรากฎว่าแนวคิดเชิงพีชคณิตของ F-algebras นั้นสามารถรวมกันได้ สอง. ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับแง่มุมทางประวัติศาสตร์ของการแก้ปัญหา แต่วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้คือ algebras presheaf ที่นำเสนอโดย Fiore, Plotkin และ Turi (มีที่นี่ ) ตัดสินคำถามและกระตุ้นแนวทางที่แตกต่างกัน แต่คล้ายกันให้ดูเช่นHirshowitz et al และปริญญาเอกนักเรียนของเขาJulianna Zsido

บางคนออกจากซากวิจัยที่จะทำเกี่ยวกับวิธีการใช้แนวคิดเด็ดขาดเพื่อ refactor และลึกมากขึ้นความเข้าใจในโครงสร้างที่มีตัวแปรผูกพันของเราในความหวังของการขจัดประโยค "cruft" ซึ่งมักจะประกอบด้วยส่วนใหญ่บทที่น่าเบื่อของวิทยานิพนธ์ใน -calculi และที่เกี่ยวข้อง โครงสร้าง$\lambda$

ในขณะที่มันเป็นความจริงที่ว่าแนวคิดของ "แคลคูลัส" น้อยกว่าที่กำหนดไว้ในความคิดของ - "พีชคณิต" กว้าง "แคลคูลัส" โดยทั่วไปหมายถึงกระบวนการคำนวณขณะที่จีบราส์มีรูปแบบของการก่อสร้างด้วยทฤษฎีที่เท่าเทียมกัน
คุณสามารถพูดได้ว่ามีความรู้สึกว่า algebras "มีอยู่แล้ว" เป็นโครงสร้างและเราเป็นเพียงการเปิดเผยความจริงเกี่ยวกับพวกเขามากกว่าที่จะใช้วิธีการบางอย่างเพื่อสร้างคำตอบใหม่ที่ไม่เคยมีมาก่อน

หากคุณคิดเกี่ยวกับสิ่งที่สกอตต์พยายามที่จะทำให้สำเร็จด้วยโดเมนสก็อตคำแถลงของเขาสมเหตุสมผล: เขาพยายามค้นหาโครงสร้างทางคณิตศาสตร์และพีชคณิตที่กำหนดไว้ล่วงหน้า เขาต้องการที่จะกำจัดความรู้สึกที่ว่าความหมายของคำศัพท์นั้นเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจากกระบวนการเฉพาะ

คุณอาจสนใจคำตอบก่อนหน้าเกี่ยวกับคำถามที่เกี่ยวข้อง: ความหมายเชิง Denotational คืออะไร?

$\beta$$\eta$$M$$N$

ถ้าสกอตต์เคยเรียกแลมบ์ดาแคลคูลัสว่า "พีชคณิต" (ซึ่งฉันค่อนข้างสงสัย) จากนั้นเขาก็จะทำให้จุดที่ค่อนข้างบอบบางกล่าวคือคุณสามารถคิดแคลคูลัสแลมบ์ดาว่ามีความหมายเบื้องต้น

แต่ถึงกระนั้นเขาก็ยังมีช่วงเวลาที่ยากลำบากที่จะเชื่อว่าพีชคณิตของการอ้างสิทธิ์ของเขาเพราะเขาไม่มีสมการในแคลคูลัสแลมบ์ดาเขามีความเท่าเทียม (เช่นที่ระดับเมตาดาต้า) "Combinatory พีชคณิต" ตรงกันข้ามเป็นเรื่องปกติอย่างสมบูรณ์

ไม่มีสิ่งเช่นแคลคูลัสแต่มีวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดชัดเจนที่เรียกว่าพีชคณิตแม้ว่าคำนั้นมีประโยชน์หลายอย่าง อย่างไรก็ตามการเดาของฉันคือชื่อที่ได้รับในความหมายของ

(... ) การศึกษาบทคัดย่อของระบบตัวเลขและการดำเนินการภายใน

$\lambda$