การค้นหาฟังก์ชั่นความต้องการของวอลรัส

ถ้าฉันมีฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ผลรวมเช่นนี้โดยที่เป็นนูน $U(y) = \sum_{j=1}^J u(y_j)$ $u$

มีวิธีที่จะค้นหาความต้องการวอลรัสสำหรับฟังก์ชั่นดังกล่าวโดยไม่ต้องใช้แคลคูลัสหรือไม่หรือคุณจำเป็นต้องใช้ lagrange เพื่อแก้ปัญหาสำหรับ j, ... , J?

utility walrasian

— Giskard
แหล่งที่มา

\begin{array}{rcl} max_{{y_{j} \geq 0 : 1 \leq j \leq J}} & \sum_{j = 1}^{J} u (y_{j}) \\ s.t. & \sum_{j = 1}^{J} p_{j} y_{j} \leq m \end{array}

$\begin{eqnarray*} \max_{\{y_j \geq 0 : 1\leq j\leq J\}} && \sum_{j=1}^{J} u(y_j) \\ \text{s.t.} && \sum_{j=1}^{J} p_jy_j \leq m\end{eqnarray*}$

p_{j} > 0

$p_j > 0$

j

$j$

m > 0

$m > 0$

หากนูนและเพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดผู้บริโภคที่ดีที่สุดจะใช้เงินทั้งหมดของเขาในราคาที่ถูกที่สุดเสมอ นั่นคือการซื้อหน่วยของสินค้า 1 เมื่อจะเป็นการใช้ประโยชน์สูงสุดสำหรับผู้บริโภค $u$ $\frac{m}{p_1}$ $p_1 \leq \min_j p_j$

นี่คือข้อพิสูจน์ : ก่อนอื่นให้สังเกตว่าในผู้บริโภคที่ดีที่สุดจะไม่ใช้จ่ายน้อยกว่ารายได้ของเขาเพราะสาธารณูปโภคของเขาเพิ่มขึ้น ดังนั้นเราเหลือกลุ่มที่เขาใช้จ่ายรายได้ทั้งหมดของเขา ตอนนี้ชุดการบริโภคใด ๆ ที่มีค่าใช้จ่ายเท่ากับรายรับของเขาสามารถเขียนเป็นชุดการรวมกลุ่มประเภทที่ผู้บริโภคใช้จ่ายเงินทั้งหมดของเขาไปยังสิ่งที่ดี

ตัวอย่างเช่นในกรณีสินค้าสองรายการ: ใด ๆในบรรทัดงบประมาณสามารถเขียนเป็นชุดนูนของและขวา) $(y_1, y_2)$ $\left(\frac{m}{p_1}, 0\right)$ $\left(0,\frac{m}{p_2}\right)$

เนื่องจากเป็นนูนและผลรวมของฟังก์ชันนูนเป็นนูนดังนั้นเราจึงรู้ว่ายูทิลิตี้เป็นนูน โดยนูนของ , ยูทิลิตี้ที่รวมกันนูนของการรวมกลุ่มของประเภทที่ผู้บริโภคใช้จ่ายเงินทั้งหมดของเขาในสินค้าเดียวมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับการรวมกันของยูทิลิตี้นูนที่ชุดเหล่านั้นและในทางกลับกันน้อย มากกว่าหรือเท่ากับค่าสูงสุดของยูทิลิตี้ที่บันเดิลเหล่านั้น สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าผู้บริโภคจะไม่มีวันสูญเสียเลยโดยเปลี่ยนทางเลือกของเขาเป็นกลุ่มซึ่งเขาซื้อชุดที่ถูกที่สุด $u$ $U$ $U$

ตัวอย่าง: ในกรณีสินค้าสองรายการเราสามารถเขียนบันเดิลใด ๆ บันเดิลใด ๆในบรรทัดงบประมาณเป็นที่1 ดังนั้นในการนูนของ , $(y_1, y_2)$ $\lambda\left(\frac{m}{p_1}, 0\right)+(1-\lambda)\left(0,\frac{m}{p_2}\right)$ $0 \leq \lambda \leq 1$ $U$

\begin{array}{rcl} U (y_{1}, y_{2}) = U (λ (\frac{m}{p_{1}}, 0) + (1 - λ) (0, \frac{m}{p_{2}})) & \leq & λ U (\frac{m}{p_{1}}, 0) + (1 - λ) U (0, \frac{m}{p_{2}}) \\ \leq & max (U (\frac{m}{p_{1}}, 0), U (0, \frac{m}{p_{2}})) \end{array}

$\begin{eqnarray*} U(y_1, y_2) = U\left(\lambda\left(\frac{m}{p_1}, 0\right)+(1-\lambda)\left(0,\frac{m}{p_2}\right)\right) & \leq & \lambda U\left(\frac{m}{p_1}, 0\right)+(1-\lambda)U\left(0,\frac{m}{p_2}\right) \\ & \leq & \max\left( U\left(\frac{m}{p_1}, 0\right),U\left(0,\frac{m}{p_2}\right)\right)\end{eqnarray*}$ นี่หมายความว่ายูทิลิตี้สูงสุดที่หรือขวา) เมื่อพิจารณาจากมันจะตามมาว่ามันจะมากที่สุดเมื่อหนึ่งใช้งานที่ถูกกว่า

(\frac{m}{p_{1}}, 0)

$\left(\frac{m}{p_1}, 0\right)$

(0, \frac{m}{p_{2}})

$\left(0,\frac{m}{p_2}\right)$

U (y_{1}, y_{2}) = u (y_{1}) + u (y_{2})

$U(y_1, y_2) = u(y_1)+u(y_2)$

— Amit
แหล่งที่มา