ผลตอบแทนที่คาดหวังของตัวเลือกการวางอเมริกัน

ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับตัวเลือกของชาวอเมริกันและแหล่งที่มาทำให้ฉันสับสนในส่วนที่ตัวเลือกที่ใส่อเมริกันถือเป็นสินทรัพย์ที่ไม่จ่ายเงินปันผล

ฉันเข้าใจว่าผลตอบแทนของตัวเลือกการย้ายแบบอเมริกันเมื่อครบกำหนดได้รับจาก $$ \ max \ left \ {KS (T), 0 \ right \} $$ โดยที่ $ K $ คือราคาการใช้สิทธิและ $ S (T) เป็นราคาของหลักทรัพย์อ้างอิงที่ครบกำหนด

แหล่งข้อมูลบางแห่งระบุว่าการพิจารณา n-arbitrage ปัญหาตัวเลือกการย้ายแบบอเมริกันมีวัตถุประสงค์เพื่อค้นหาค่าตัวเลือก $$ P (S, t) = \ sup_ \ tau EG_ \ tau $$ โดยที่ $ G_ \ tau $ คือฟังก์ชัน gain และ E คือความคาดหวัง

ในความเข้าใจของฉันฟังก์ชั่น gain เทียบเท่ากับฟังก์ชัน payoff ดังนั้น $$ V (S, t) = \ sup_ \ tau E [max \ left \ {KS (\ tau), 0 \ right \}] $$ สำหรับ ทั้งหมดหยุดเวลา $ \ tau $

อย่างไรก็ตามฉันยังเจอแหล่งที่บอกว่า $$ (S, t) = \ sup_ \ tau E [e ^ {- r (\ tau-t)} \ max \ left \ {KS, 0 \ right \}] $$ สำหรับการหยุดทุกครั้ง $ \ tau $

อะไรคือคำอธิบายเบื้องหลังสิ่งนี้

คำอธิบายที่อยู่เบื้องหลังสิ่งนี้อาจเป็นอย่างที่คุณพูดถึง

[... ] ผลตอบแทนของตัวเลือกการวางอเมริกัน เมื่อครบกําหนด ได้รับจาก   $$ \ สูงสุด \ left \ {K-S (T), 0 \ ขวา \} $$

และ

[... ] แหล่งที่มา [... ] บอกว่า $$ (S, t) = \ sup_ \ tau E [e ^ {- r (\ tau-t)} \ max \ left \ {KS (\ tau) , 0 \ ขวา \}] $$

ดังนั้นความแตกต่างระหว่างทั้งสองดูเหมือนจะเป็นปัจจัยลดราคาพิจารณาว่าไกลแค่ไหน (ในเวลา) เรามาจากวันที่ใช้สิทธิ / หยุด (ซึ่งเหมือนกับวันที่ครบกำหนดถ้า $ \ tau = T $) ซึ่งหมายถึงการคำนวณ ( อย่างต่อเนื่อง) มูลค่าปัจจุบันของผลตอบแทนฟิวเจอร์สนี้ ถ้า $ (\ tau-t \ rightarrow0) \ land (\ tau = T \ lor t \ rightarrow T) $, สมการทั้งสองจะเท่ากัน

หากมีการตัดสินใจ (ด้วยเหตุผลบางอย่าง) ว่าตัวเลือกจะถูกใช้เมื่อครบกำหนดเช่น $ \ tau = T $ และว่า "ตอนนี้", $ t $, คือ "เปลี่ยนเป็นวันที่ล่วงหน้านี้ $ T $" คือ $ t \ Tarrow ขวา $ หนึ่งรับ

$ T-t \ rightarrow 0 \ หมายถึง \ sup_T e ^ {- r (T-t)} \ rightarrow 1 $

$ \ นัย \ sup_T E [e ^ {- r (T-t)} \ max \ left \ {K-S (T), 0 \ right \}] $

$ \ rightarrow E [\ max \ left \ {K-S (T), 0 \ right \}] \ rightarrow \ max \ left \ {K-S (T), 0 \ right \} $

ที่แถวด้านบนสุดแสดงให้เห็นว่าผลตอบแทนที่คาดหวังจะแน่นอน