พิสูจน์ความสัมพันธ์ระหว่างโปรแกรมอรรถประโยชน์ที่คาดหวังและโปรแกรมอรรถประโยชน์ของค่าเฉลี่ย

สมมติว่าเป็นฟังก์ชั่นที่เว้าและเพิ่มความน่าเบื่อ ถ้าเรารู้ว่า $U(x)$

U [E (p)] > U [E (q)]

$U\left[E(p)\right] > U\left[E(q)\right]$

ที่และคือการแจกแจงความน่าจะเป็นเราจะพิสูจน์ได้อย่างไร $p$ $q$

E (U_{p}) > E (U_{q})

$E(U_p) > E(U_q)$

expected-utility

— Mino
แหล่งที่มา

รูปร่างของคืออะไร? เว้า? นูน?

u (x)

$u(x)$

— Herr K.

@HerrK คิดว่ามันเว้าเพิ่มขึ้นน่าเบื่อ

— Mino

คำถามนี้ได้รับการข้ามโพสต์ที่นี่

— luchonacho

ข้อสรุปที่คุณต้องการพิสูจน์นั้นไม่เป็นความจริงเสมอไป ฉันจะให้คำตอบกราฟิกและคณิตศาสตร์ให้คุณ

การวิเคราะห์เชิงกราฟ

ลองพิจารณาตัวอย่างในภาพด้านล่าง:

มีอยู่คนหนึ่งจับสลากคือมีผลตอบแทนที่คาดว่าจะและและค่าเฉลี่ย(z) มูลค่าที่คาดว่าจะจับสลากนี้ในแง่ของการเป็นยูทิลิตี้(z)] $z_1$ $z_2$ $E(z)$ $U[E(z)]$

ตอนนี้ถือว่าการจับสลากที่สองที่มีสูงขึ้นและขนาดเล็กเช่นว่ามูลค่าที่คาดว่าจะเหมือนกันคือ(z) มูลค่าที่คาดว่าจะจับสลากนี้จะเหมือนกัน(z)] แต่เพราะความแปรปรวนที่ต่ำกว่าในการจับสลากที่สองอีจุดในการจับสลากที่สองคือการใกล้ชิดกับ D (ในกรณีที่รุนแรงโดยไม่มีความไม่แน่นอน D และ E เหมือนกัน) กล่าวอีกนัยหนึ่งในลอตเตอรี่หนึ่งต่ำกว่าในล็อตเตอรีสองแม้ว่าพวกเขาจะจ่ายเหมือนกันโดยเฉลี่ย $z_1$ $z_2$ $E(z)$ $U[E(z)]$ $E[u(z)]$ $E[u(z)]$

ความขัดแย้งของคำสั่งของคุณดังต่อไปนี้ทันที ใช้การจับสลากที่สองเพียงแค่แนะนำและลดโดยมีขนาดเล็ก\ทีนี้รายได้ที่คาดหวังจากลอตเตอรีนั้นต่ำกว่าเล็กน้อยซึ่งตรงข้ามกับที่คุณถาม เห็นได้ชัดว่ามีขนาดเล็กซึ่งความสัมพันธ์ระหว่างในลอตเตอรี่ทั้งสองยังคงเหมือนเดิม $z_1$ $\epsilon$ $E(z)$ $\epsilon$ $E[u(z)]$

การพิสูจน์ตามตรรกะเดียวกันในกรณีของบุคคลที่รักความเสี่ยง (ที่ต้องการความไม่แน่นอนที่แน่นอนกับความมั่นใจและฟังก์ชั่นยูทิลิตี้นูน)

ที่จริงแล้วมีเพียงกรณีเดียวที่ข้อความของคุณมีไว้สำหรับความเป็นกลางที่เสี่ยง สิ่งนี้สามารถเห็นได้ในกราฟด้วย

การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์

ครั้งแรกที่เรารู้ว่า 0 จากนั้นเป็นความจริงที่: $\dfrac{d U(x)}{d x}>0$

U (x_{p} + π) = E [U (x_{p})]

$U(x_p + \pi)=E[U(x_p)]$

U (x_{q} + ϕ) = E [U (x_{q})]

$U(x_q + \phi)=E[U(x_q)]$

ที่คำในวงเล็บด้านซ้ายมือเป็นเทียบเท่าแน่นอน สัญลักษณ์ของและขึ้นอยู่กับลักษณะของฟังก์ชั่นยูทิลิตี้ มีสามกรณี: $\pi$ $\phi$

ความเกลียดชังความเสี่ยง

ถ้ายูทิลิตีเป็นเว้า (เช่นเอเจนต์นั้นไม่ชอบความเสี่ยง)และเป็นค่าบวก ดังนั้น: $\pi$ $\rho$

U (x_{p}) < U (x_{p} + π) = E [U (x_{p})]

$U(x_p) < U(x_p + \pi) = E[U(x_p)]$

U (x_{q}) < U (x_{q} + ϕ) = E [U (x_{q})]

$U(x_q) < U(x_q + \phi) = E[U(x_q)]$

สมมติว่า : $U(x_p) > U(x_q)$

E [U (x_{p})] = U (x_{p} + π) > U (x_{p}) > U (x_{q})

$E[U(x_p)] = U(x_p + \pi) > U(x_p) > U(x_q)$

อย่างไรก็ตาม(x_q) จะเห็นว่าไม่มีอะไรมากสามารถพูดเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างและ(x_q)] ผลลัพธ์ที่คุณต้องการพิสูจน์ไม่จำเป็นต้องเก็บไว้ในกรณีนี้ $E[U(x_q)] > U(x_q)$ $E[U(x_p)]$ $E[U(x_q)]$

การยอมรับความเสี่ยง

หลักฐานนั้นเหมือนกันทุกประการ แต่กลับมีสัญญาณ

ความเสี่ยงที่เป็นกลาง

$\pi$ และเป็นศูนย์ $\phi$

U (x_{p}) = E [U (x_{p})]

$U(x_p) = E[U(x_p)]$

U (x_{q}) = E [U (x_{q})]

$U(x_q) = E[U(x_q)]$

สมมติว่าแสดงถึง: $U(x_p) > U(x_q)$

E [U (x_{p})] > E [U (x_{q})]

$E[U(x_p)] > E[U(x_q)]$

ดังนั้นในกรณีนี้ข้อสรุปที่คุณต้องการพิสูจน์ว่าเป็นจริง

— luchonacho
แหล่งที่มา

ตัวอย่าง conterex ของคุณล้มเหลวภายใต้สมมติฐานพิเศษนี้ไหม math.stackexchange.com/questions/2360958/…

— Mino

@Mino คุณไม่ควรข้ามคำถาม ในกรณีใด ๆ ฉันคิดว่ามันล้มเหลวในการที่สั่งซื้อครั้งแรกสุ่มปกครอง (FSD) หมายถึงสองลอตเตอรี่ในช่วงเดียวกันไม่สามารถมีค่าเฉลี่ยเท่ากันเพราะน่าจะต้องมีความแตกต่างกัน (พวกเขาสะสมได้เร็วขึ้นกว่าในหนึ่งกว่าในอีกกรณีหนึ่ง ในขณะที่ในตัวอย่างของฉันความน่าจะเป็นไม่สะสมเร็วขึ้นในหนึ่งเดียว แต่กลับมีซึ่งเป็นการละเมิด FSD) ดังนั้นตัวอย่างกราฟิกของฉันจึงไม่เกี่ยวข้องกับกรณีดังกล่าว

z

$z$

z

$z$

z

$z$

— luchonacho

ฉันได้เวลาที่ต่างกันสองครั้งฉันไม่รู้จะทำยังไง ฉันคิดว่าคำตอบทั้งสองนั้นดีมากด้วยกันในแง่ที่ว่าพวกเขาไม่ซ้ำกันและพวกเขาเสริมซึ่งกันและกันเพื่อความเข้าใจที่ดี (จากด้านข้างของฉันอย่างน้อย) ข้อเสนอแนะใด ๆ ยินดีต้อนรับ

— Mino

@Mino ฉันจะทิ้งพวกเขาไว้ ในขณะที่พวกเขายืนพวกเขาจะไม่เหมือนกัน ในอีกทางหนึ่งคุณคิดว่า FSD ในที่นี้คุณไม่ต้องทำ คำตอบดูเหมือนจะแตกต่างกันในทั้งสองกรณี หากพวกเขาช่วยให้คุณเข้าใจปัญหานั้นอาจจะไม่เป็นไร

— luchonacho