การตีความฟังก์ชั่นยูทิลิตี้

ฉันกำลังอ่าน ลูคัส (1980) และฉันสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับวิธีการที่เขากำหนดฟังก์ชันยูทิลิตี้

ดังนั้นจึงมีสินค้าที่ไม่สามารถจัดเก็บได้หนึ่งรายการที่มาในสี $ n $ และหน่วยหนึ่งหน่วยผลิตสีใดก็ได้ $ y $ หน่วยของสีใด ๆ เขาพูดว่า:

การบริโภคตอนนี้เป็นเวกเตอร์ $ (c_ {1t}, ... c_ {nt}) $ โดยที่ $ c_ {it} $ คือการใช้สี $ i $ ในช่วง $ t $

จนถึงตอนนี้ฉันไม่มีปัญหา แต่แล้วเขาก็นิยามยูทิลิตี้งวดปัจจุบันเป็น:

$ V (c_ {1}, ... c_ {n}) = U [\ pi_ {i = 1} ^ {n} (\ frac {c_ {i}} {\ alpha_ {i}}) ^ {\ alpha_ {i}}] $ โดยที่ U เป็นฟังก์ชันยูทิลิตี้มาตรฐาน $ \ sum _ {i} \ alpha_ {i} = 1 $ และ $ \ sum _ {i} c_ {i} = c $

สิ่งที่ทำให้ฉันสับสนคือการใช้ pi ตัวพิมพ์เล็กก่อน ลูคัสแน่นอนหมายถึงผู้ประกอบการคูณหรือไม่ คือ $ V (c_ {1}, ... c_ {n}) = U [(\ frac {c_ {1}} {\ alpha_ {1}}) ^ {\ alpha_ {1}} ... (\ frac {c_ {n}} {\ alpha_ {n}}) ^ {\ alpha_ {n}}] $

จากนั้นเขาก็บอกว่าราคาสัมพัทธ์ของสินค้าจะต้องเป็นเอกภาพซึ่งฉันเข้าใจ อย่างไรก็ตามส่วนต่อไปคือที่ซึ่งความสับสนหลักของฉันอยู่เขาพูดว่า:

ด้วยราคาเหล่านี้ผู้บริโภคจะเลือกสัดส่วนสี $ c_ {i} / c = \ alpha_ {i} $ และกำหนดค่าผสมนี้ $ V (c_ {1}, ... c_ {n}) = U (c) $ หากไม่มีการแก้ไขตัวอย่างเราสามารถคิดถึงตัวแทนทั้งหมดที่มี $ \ alpha $ -weights เดียวกันของตัวแทนจำหน่ายโดย c.d.f $ F (\ alpha) $ ของน้ำหนัก (... ) ในแต่ละกรณีเหล่านี้การผสมเอาท์พุทสมดุล (ต่อคน) คือ $ (\ bar {\ alpha_ {1}} y_ {1}, ... , \ bar {\ alpha_ {n}} y_ {n}) $ ในแต่ละช่วงเวลาโดยที่ $ \ bar {\ alpha_ {i}} = \ int \ alpha_ {i} dF (\ alpha) $

ฉันลองเทียบ MRS กับราคาสัมพัทธ์ (เช่น 1) แต่เนื่องจากฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับรูปแบบของฟังก์ชันยูทิลิตี้ฉันไม่รู้ว่าการทำงานของฉันนั้นถูกต้องหรือไม่ นอกจากนี้ฉันสับสนมากเกี่ยวกับคำจำกัดความของ $ \ alpha $ ตัวแทนมีน้ำหนักหมายความว่าอย่างไร มันเป็นเพียงวิธีหนึ่งที่ระบุว่าพวกเขามีการแจกจ่ายอย่างเท่าเทียมกันหรือไม่?

ใช่ $ \ Pi ^ n_ {i = 1} $ หมายถึง ผลคูณของลำดับ .

เกี่ยวกับการแก้ปัญหาของลูคัสลากรองจ์ปัญหาคือ:

$$ L (c_1, ... , c_n) = U (c_1, ... , c_n) - (c- \ sum c_i) $$

FOC เกี่ยวกับ $ c_i $ และ $ c_j $ คือ:

$$ \ frac {\ partial L} {\ partial c_i} = \ frac {\ partial U} {\ partial c_i} +1 = 0 $$

$$ \ frac {\ partial L} {\ partial c_j} = \ frac {\ partial U} {\ partial c_j} +1 = 0 $$

จากที่นี่คุณจะได้รับ (MRS):

$$ \ frac {\ partial U} {\ partial c_i} = \ frac {\ partial U} {\ partial c_j} $$

ตั้งแต่

$$ \ frac {\ partial U} {\ partial c_i} = \ left (\ frac {c_i} {\ alpha_i} \ right) ^ {- 1} \ Pi ^ n_ {i = 1} \ left (\ frac { c_i} {\ alpha_i} \ right) ^ {\ alpha_i} = \ left (\ frac {c_i} {\ alpha_i} \ right) ^ {- 1} U (c_1, ... , c_n) $$

จาก MRS คุณจะได้รับ:

$$ \ frac {c_i} {\ alpha_i} = \ frac {c_j} {\ alpha_j} $$

เมื่อใช้สิ่งเหล่านี้คำจำกัดความของ $ c = \ sum c_i $ และข้อเท็จจริงที่ว่า $ \ sum \ alpha_i = 1 $ คุณสามารถขอรับโซลูชันของ Lucas ได้

ในที่สุดเกี่ยวกับน้ำหนักฉันคิดว่านั่นเป็นเพียงการทำให้แบบจำลองน่าสนใจเนื่องจากผู้บริโภคอาจต้องการสีมากกว่าสีอื่น ๆ (พวกเขาใช้จ่าย $ \ alpha_i $% ของรายได้เป็น $ i $) ถ้าไม่พวกเขาจะใช้เงิน $ 1 / n $ ของรายได้ของแต่ละคน William of Ockham จะสังเกตอย่างถูกต้องหรือไม่ "พวกเขาทำไมต้องรำคาญด้วยหลายสี"