การกรองและการเติมสารเติมแต่งในทฤษฎีการเป็นตัวแทนของ Martingale

หมายเหตุ: คำถามนี้เป็นคำถามที่เกี่ยวข้องกับคำถามต่อไปนี้เกี่ยวกับตลาดเสร็จสมบูรณ์ในเวลาอย่างต่อเนื่อง ในคำถามที่เชื่อมโยงคำตอบระบุว่าตลาดที่สมบูรณ์ในการตั้งค่านี้เป็นผลมาจากทฤษฎีการเป็นตัวแทน Martingale

ฉันพยายามที่จะเข้าใจคำแถลงของทฤษฎีตามที่ระบุไว้ในบทความของ Wikipedia :

ให้เป็นเคลื่อนที่มาตรฐานกรองพื้นที่น่าจะเป็นและปล่อยให้จะเสริมการกรองที่สร้างโดยBถ้าเป็นตารางที่ integrable ตัวแปรสุ่มที่วัดด้วยความเคารพแล้วมีอยู่เป็นกระบวนการที่สามารถคาดเดาซึ่งถูกดัดแปลงด้วยความเคารพต่อเช่นว่า $B_t$ $(\Omega, \mathcal F, \mathcal F_t, P)$ $\mathcal G_t$ $B$ $X$ $\mathcal G_\infty$ $C$ $\mathcal G_t$ ดังนั้น
$X = E [X] + \int_{0}^{\infty} C_{s} d B_{s} .$ $X = E[X] + \int_0^\infty C_s dB_s.$ $E [X ∣ G_{t}] = E [X] + \int_{0}^{t} C_{s} d B_{s} .$ $E[X \mid G_t] = E[X] + \int_0^t C_s dB_s.$

ในคำจำกัดความนี้ความสัมพันธ์กับ Martingales อยู่ที่ไหน ฉันเห็นว่ามีการสันนิษฐานว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกี่ยวข้องกับและฉันคิดว่ามันมีบางอย่างเกี่ยวข้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าเป็น "การเพิ่มการกรองที่สร้างโดย " นอกจากนี้ "การเพิ่มการกรองคืออะไร" $X$ $\mathcal G_\infty$ $\mathcal G_t$ $b$

finance martingales probability

— jmbejara
แหล่งที่มา

$B$

$\mathcal{C}$ $0$ $\sigma\{B_{s} \: : \: s \leq t\}$
$\mathcal{N}$ $A$ $A \subset B$ $B \in \mathcal{C}$ $\mathbb{P}(A)=0$ $A \in \mathcal{N}$

$\{\mathcal{F}_{t}\}$ $t$ $\mathcal{F}_{t}$ $\sigma\{B_{s} \: : \: s \leq t\}$ $\mathcal{N}$

จุดนี้คือการบริจาคการกรองที่มีคุณสมบัติบางอย่างที่ได้รับการพิจารณาเป็นประโยชน์

$X_{t}:=\mathbb{E}(X\:|\:\mathcal{G}_{t})$

— Rusan Kax
แหล่งที่มา

X_{t} \equiv E [X | G_{t}]

$X_t\equiv E[X|\mathcal{G}_t]$

E [X_{t + s} | G_{t}] = E [E [X | G_{t + s}] | G_{t}] = E [X | G_{t}] = X_{t}

$E[X_{t+s}|\mathcal{G}_t]=E[E[X|\mathcal{G}_{t+s}]|\mathcal{G}_t]=E[X|\mathcal{G}_t]=X_t$