การผูกขาดเป็นเพียงความเข้าใจผิดทางคณิตศาสตร์

head-scratcher เล็กน้อย (และเป็นตัวอย่างที่ดีว่าทำไมเราควรระวังสัญกรณ์)

พิจารณาการทำกำไรให้เกิดประโยชน์สูงสุดจากการผูกขาดซึ่งแก้ไขเหนือราคา

$$ \ max \ pi = PQ (P) - C (Q (P)) \ tag {1} $$

ทำตามขั้นตอนประจำ ( ดูโพสต์นี้ )

เรามาถึงผลลัพธ์ที่สำคัญว่าในราคาที่เพิ่มกำไรกำไรความยืดหยุ่นราคาของอุปสงค์ควรสูงกว่า $ 1 $ ในแง่สัมบูรณ์หรือต่ำกว่า $ -1 $ ในเงื่อนไขพีชคณิต คือในราคาที่เราทำกำไรได้สูงสุด

$$ \ eta ^ * = \ frac {\ partial Q} {\ partial P} \ cdot \ frac {P} {Q} & lt; -1 \ Rightarrow \ frac {\ partial Q} {\ partial P} P & lt; -Q $$

$$ \ Rightarrow \ frac {\ partial Q} {\ partial P} P + Q & lt; 0 \ tag {2} $$

แต่ $ \ frac {\ partial Q} {\ partial P} P + Q $ คืออนุพันธ์ของ $ PQ (P) $ และ $ PQ (P) = TR $, รายรับรวม ดังนั้น $ \ frac {\ partial Q} {\ partial P} P + Q = MR $, รายได้ส่วนเพิ่มและเราเพิ่งได้รับว่าที่ราคาเพิ่มกำไรและเพื่อให้มีความยืดหยุ่นมากกว่า $ 1 $ ในแง่สัมบูรณ์เราต้องมี $ MR ^ * & lt; 0 $

แต่ตอนนี้เราก็เช่นกันที่จุดเพิ่มผลกำไรเรามี $ MR ^ * = MC ^ * & gt; 0 $

ดังนั้นจึงไม่มีทางออกดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าการผูกขาดเป็นเพียงความเข้าใจผิดทางคณิตศาสตร์

ตอนนี้ฉันเข้าสู่ปัญหา (?) เพื่อเขียนโพสต์ยิ้มแย้มแจ่มใสนี้ฉันหวังว่าบางคนจะเข้าสู่ช่วงเวลาไม่กี่สิบวินาทีเพื่อเขียนคำตอบที่ชัดเจนเพื่อชี้ให้เห็นว่าเคล็ดลับอยู่ที่ใด

$ PQ (P) = TR $, รายรับรวม

$ \ frac {∂Q} {∂P} P + Q $ คืออนุพันธ์ของ $ PQ (P) $ เกี่ยวกับ $ P $ .

$ MR $, Marginal Revenue เป็นอนุพันธ์ของ $ TR $ เกี่ยวกับ $ Q $ .

ดังนั้นโดยทั่วไป $ \ frac {∂Q} {∂P} P + Q \ neq MR $

เพื่อเติมเต็ม @AdamBailey คำตอบต่อจุดประสงค์ของโพสต์นี้คือเพื่อเตือนผู้อ่านที่สนใจถึงผลของการเปลี่ยนตัวแปรการตัดสินใจในความคิดของเรา

เราคุ้นเคยกับการคิดว่าอุปสงค์เป็น "ราคาขึ้นอยู่กับปริมาณ" หรือ "ปริมาณขึ้นอยู่กับราคา" แต่ในด้านต้นทุนการผลิตเรามักจะคิดต้นทุนโดยอัตโนมัติตามปริมาณไม่ใช่ราคาขาย

ดังนั้นการมีความชัดเจนอย่างน่าเบื่อเล็กน้อยเมื่อมีการจ่ายสัญกรณ์ หนังสือของ Caputo ) ในตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจงสัญลักษณ์ $ TR $, $ MR $, $ MC $ จะไม่เปิดเผยตัวแปรการตัดสินใจและนี่คือจุดที่มีการใช้เล่ห์เหลี่ยม แต่ถ้าเราเขียน

$$ \ max \ pi = TR [Q (P)] - C [Q (P)] $$

เราจะส่งสัญญาณชัดเจนว่าตัวแปรการตัดสินใจขั้นสุดท้ายของเราคือราคาและอื่น ๆ

$$ f.o.c: \; \; \; MR (Q) \ cdot \ frac {\ partial Q} {\ partial P} - MC (Q) \ frac {\ partial Q} {\ partial P} = 0 $$

$$ \ implies (MR (Q) - MC (Q)) \ cdot \ frac {\ partial Q} {\ partial P} = 0 \ implies MR (Q) = MC (Q) $$

ในขณะเดียวกันเราก็จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่า

$$ \ frac {\ partial TR} {\ partial P} = MR (Q) \ cdot \ frac {\ partial Q} {\ partial P} = \ frac {\ partial Q} {\ partial P} Q + Q $ $

และเพื่อให้ข้อกำหนดเกี่ยวกับความยืดหยุ่นของราคาของอุปสงค์นำไปสู่

$$ \ frac {\ partial TR} {\ partial P} = MR (P) = Q \ frac {\ partial Q} {\ partial P} Q + Q & lt; 0 \ หมายถึง MR (Q) \ cdot \ frac {\ partial Q} {\ partial P} & lt; 0 \ หมายถึง MR (Q) & gt; 0 $$

(ตั้งแต่ $ \ frac {\ partial Q} {\ partial P} & lt; 0 $) ดังนั้นในจุดที่ดีที่สุดรายได้เล็กน้อย ด้วยความเคารพต่อปริมาณ ควรเป็นบวก แต่รายได้เล็กน้อย ด้วยความเคารพต่อราคา ควรเป็นลบ