Osborne, Nash equilibria และความถูกต้องของความเชื่อ

ใน Osborne's An An Introduction to Game Theory Nash ดุลยภาพได้อธิบายไว้ดังนี้ (หน้า 21–22):

ครั้งแรกผู้เล่นแต่ละคนเลือกการกระทำของเธอตามรูปแบบของการเลือกที่มีเหตุผลให้ความเชื่อของเธอเกี่ยวกับการกระทำของผู้เล่นคนอื่น ประการที่สองความเชื่อของผู้เล่นทุกคนเกี่ยวกับการกระทำของผู้เล่นคนอื่นนั้นถูกต้อง

ดูเหมือนว่าสำหรับฉันแล้วคำจำกัดความนี้ไม่เทียบเท่ากับคำจำกัดความของสมดุลของแนชอย่างสมบูรณ์ในฐานะโปรไฟล์กลยุทธ์ที่กลยุทธ์ของผู้เล่นแต่ละคนเป็นการตอบสนองที่ดีที่สุดต่อกลยุทธ์ของผู้อื่น

คำจำกัดความทั่วไปไม่ได้เกี่ยวกับความเชื่อดังนั้นจึงอนุญาตให้มีความเป็นไปได้ที่ความเชื่ออาจไม่ถูกต้อง

เพื่อเป็นไปได้เล็กน้อยพิจารณา Dilemma ของนักโทษ สมมติว่าผู้เล่นแต่ละคนเชื่อว่าผู้เล่นคนอื่นจะไม่ยอมรับ เนื่องจากการรับสารภาพเป็นกลยุทธ์ที่โดดเด่นผู้เล่นแต่ละคนจะยังคงสารภาพ ดังนั้นการกระทำจึงเป็นดุลยภาพของแนชแม้ว่าความเชื่อของผู้เล่นจะตรงกันข้ามกับการกระทำที่เกิดขึ้นจริง

ฉันถูกต้องในความเข้าใจนี้หรือไม่ว่าคำจำกัดความของออสบอร์นนั้นมีลักษณะอื่นที่ไม่ใช่ดุลยภาพของแนช?

การแนะนำภาษาแห่งความเชื่อที่นี่แปลกเล็กน้อยเนื่องจากความเชื่อนั้นมีความหมายที่เฉพาะเจาะจงมากในส่วนอื่น ๆ ของทฤษฎีเกม

อันที่จริงคำอธิบายของออสบอร์นเป็นการระลึกถึงความสมดุลย์ของ Bayes Nash เราสามารถนำความคิดของความเชื่อลงในรูปแบบปกติของเกมข้อมูลที่สมบูรณ์ดังนี้สมมติว่ามีความน่าจะผู้เล่นแต่ละคนเป็น "กลยุทธ์" ชนิดที่จะเล่นตาม (แนช) สมดุลและมีความน่าจะเป็นเขาจะเลือกกลยุทธ์แบบสุ่มอย่างสม่ำเสมอ (เพราะพูดว่าเขาไม่สนใจทุกการกระทำ) เราจึงมีเกมแบบเบย์ที่คิดเกี่ยวกับความเชื่อเป็นธรรมชาติมากขึ้นฉัน1 - $a_i$$i$$1-a_i$

แนวคิดการแก้ปัญหาเบส์แนชแล้วบอกว่ายุทธศาสตร์ที่ดีที่สุดจะต้องได้รับการเล่นที่คาดว่าจะเกิดจากผู้เล่นอื่น ๆ 'กลยุทธ์และความเชื่อของพวกเขามากกว่าประเภทโดยนัยi} ถ้าเราดูที่ขีด จำกัด เป็นสำหรับทั้งหมดแล้วความสมดุลของ Bayes Nash ของเกมนี้จะตรงกับแนวคิดการแก้ปัญหาที่อธิบายโดย Osborne$i$ a i → 1 $\{a_j\}_{j\neq i}$$a_i\rightarrow 1$$i$

ฉันคิดว่าเหตุผลที่ออสบอร์นเขียนไว้เช่นนี้เป็นสิ่งที่สอนได้เพราะนี่คือข้อความเบื้องต้น เมื่อเราแนะนำนักเรียนเกี่ยวกับเกมแบบคงที่เราจะบอกพวกเขาว่าผู้เล่นตอบสนองการกระทำของผู้เล่นคนอื่นได้ดีที่สุด นักเรียนต้องการรู้ว่า "พวกเขาจะตอบสนองต่อกลยุทธ์ที่เลือกพร้อมกันได้อย่างไรโดยไม่รู้ว่ากลยุทธ์นั้นจะเป็นอย่างไร" นี่คือคำถามเชิงปรัชญาหลายประการ คำตอบทั่วไปคือ$i$

• หากเกมเป็นเกมที่เล่นบ่อย ๆ (วางประเด็นอื่น ๆ ของผลลัพธ์ที่สามารถคงอยู่ในเกมซ้ำ) เราสามารถคิดว่าแนชเป็นดุลยภาพในแง่ที่ว่าถ้าเรามาบรรจบกันเราสามารถพัฒนาบรรทัดฐานโดยที่ผู้คนยังคงดำเนินต่อไป เพื่อเล่นดุลยภาพนั้นไปเรื่อย ๆ (และคาดว่าคนอื่นจะทำแบบเดียวกัน)
• หากเกมเป็นแบบยิงครั้งเดียวเรามักจะเรียกความคิดที่ว่าผู้เล่นจะพยายามคาดเดาว่าคนอื่นจะทำอะไรและความคิดของเราจะทำให้ความคิดนั้นถูกต้อง

ดูเหมือนว่าคำทำนายในจุดที่สองนั้นตรงกับ "ความเชื่อ" ที่ออสบอร์นเรียกใช้ อย่างไรก็ตามมันเป็นสิ่งสำคัญที่จะเน้นว่าการคาดการณ์เหล่านี้ / "ความเชื่อ" เป็นเพียงเครื่องมือที่ไม่เป็นทางการ / ใช้งานง่ายเพื่อช่วยให้เราสามารถกำหนดสิ่งที่เกิดขึ้นในสภาวะสมดุลและไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของคำนิยามของความสมดุลดังกล่าว แนวคิดของแนชดุลเองก็ไม่เชื่อเรื่องพระเจ้าในความเชื่อของความเชื่อ (ตามที่คุณบันทึกไว้ในความคิดเห็นมันถูกกำหนดเฉพาะการกระทำ) ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมเมื่อออสบอร์นไปอย่างเป็นทางการกำหนดแนชดุลเขาทำเช่นนั้นโดยไม่เรียก ความคิดของความเชื่อเลย

การแนะนำความเชื่อทำให้แนวคิดของ NE เทียบเคียงกับแนวคิดการปรับแต่งอื่น ๆ เช่น PBE และดุลยภาพตามลำดับ แต่ความหมายของ NE ไม่เปลี่ยนแปลง

หนังสือเรียนเล่มเล็กระดับบัณฑิตโดย Mas-Colell, Whinston และ Green (MWG) มีผลกับเรื่องนี้

ข้อเสนอ 9.C.1 โปรไฟล์กลยุทธ์คือความสมดุลของ Nash ในรูปแบบเกมถ้าหากมีระบบความเชื่อเช่นนั้นแกมมาE$\sigma$$\Gamma_E$$\mu$

1. รายละเอียดกลยุทธ์เป็นเหตุผลตามลำดับที่กำหนดระบบความเชื่อที่ข้อมูลทุกชุดดังกล่าวว่า 0$\sigma$$\mu$ $H$$\Pr(H|\sigma)>0$
2. ระบบความเชื่อนั้นได้มาจากโปรไฟล์กลยุทธ์ผ่านกฎของ Bayes ทุกครั้งที่ทำได้$\mu$$\sigma$

ดังนั้นตัวอย่างภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกของนักโทษที่คุณให้ซึ่งผู้เล่นมีความเชื่อตรงข้ามกับกลยุทธ์ที่แท้จริงของคู่ต่อสู้ล้มเหลวในเงื่อนไขที่สองซึ่งจำเป็นต้องมีความเชื่อที่จะได้รับจากกฎของเบย์เมื่อทำได้ ในความเป็นจริงนี่คือการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของข้อกำหนดที่สองของคำจำกัดความของออสบอร์น: ความเชื่อของผู้เล่นเกี่ยวกับการกระทำของผู้เล่นคนอื่นนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างภาวะที่กลืนไม่เข้าคายไม่ออกของนักโทษของคุณใช้งานได้เพียงเพราะเป็นเกมที่มีกลยุทธ์ที่โดดเด่น ออสบอร์นนั้นถูกต้อง

เพื่อให้ตอบสนองต่อกลยุทธ์ของผู้เล่นอื่นได้ดีที่สุดดังที่นิยามไว้ฉันจะต้องรู้กลยุทธ์ของพวกเขา กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันต้องมีความเชื่อเกี่ยวกับสิ่งที่พวกเขากำลังทำและความเชื่อเหล่านั้นจะต้องถูกต้อง นี่คือการเสริมสร้างแนวคิดของการหาเหตุผลเข้าข้างตนเอง

คุณทำให้เป็นจุดที่น่าสนใจเกี่ยวกับวิธีการที่จะได้รับ "สมดุล" ที่แปลกในเกมที่มีกลยุทธ์ที่โดดเด่น มันมีค่าเท่ากับผลลัพธ์ที่เทียบเท่าและโดยที่อาจผิดและวางน้ำหนักบวกในกลยุทธ์ที่ไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้ แต่ฉันไม่เคยเห็นดุลยภาพของแนชที่รวมถึงความเชื่อ คำจำกัดความที่ฉันจำได้ไปคือ "โปรไฟล์กลยุทธ์คือดุลยภาพของแนชถ้า$(\sigma,\mu_1)$$(\sigma,\mu_2)$$\mu_2$$\sigma\in \Sigma$$\sigma_i\in B_i(\sigma_{-i})$... "ฉันเชื่อว่านี่หมายถึงว่าการกำหนดความเชื่อนั้นไม่จำเป็นเพราะความเชื่อนั้นเป็นการประเมินที่ถูกต้องของรายละเอียดกลยุทธ์การอ้างอิงหนึ่งในหนังสือของฉันมันให้คำจำกัดความตามปกติพร้อมการอ้างอิงของ Nash (1950) และ จากนั้นไปเพื่อหารือเกี่ยวกับสมมติฐานพื้นฐานสองข้อข้อที่หนึ่งคือความเชื่อที่ถูกต้องและอีกข้อคือบทละครที่มีเหตุผลให้ความเชื่อที่ถูกต้อง

ฉันอาจจะทำซ้ำสิ่งที่ได้รับการกล่าวก่อน แต่นี่คือสิ่งที่ฉันใช้เวลานี้

ฉันคิดว่าเราประสบปัญหาปกติเมื่อเปรียบเทียบสองรุ่นที่แตกต่างกัน "ความเท่าเทียมกัน" หมายถึงอะไรที่ไม่ชัดเจนอย่างสมบูรณ์เพราะคำจำกัดความทั้งสองอยู่ในโลกที่แตกต่างกันหรือแบบจำลองที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตามหาก "ความเท่าเทียมกัน" ถูกกำหนดอย่างถูกต้องฉันคิดว่าใคร ๆ ก็สามารถเข้าใจถึงคำจำกัดความของออสบอร์นและแสดงว่ามัน "เทียบเท่า" กับ NE

แนวคิดวิธีการแก้ปัญหาพื้นฐานส่วนที่ยกมาจะเป็นดังนี้:

Belief equilibrium (BE):> โปรไฟล์กลยุทธ์และโปรไฟล์ความเชื่อสำหรับผู้เล่นทุกคน$s^*$$b^*$$i$

$$u_i ( s^*_i ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \geq u_i ( s' ~|~ s_{-i} = b^*_{i}) \text{ for all } s' \in S_i$$ และ $$b^*_i = s^*_{-i}$$

ทีนี้ปัญหาถ้าเราจะได้คำแถลง "ความเท่าเทียม" ก็คือในอีกด้านหนึ่งเรามีสิ่งที่ "มีชีวิต" ในโลกที่มี ... ความเชื่อและอีกความคิด NE ที่มีชีวิตอยู่ในโลก ... ยกเว้นความเชื่อ ดังนั้นคำแถลงความเท่าเทียมเช่น "NE BE" อาจหมายถึงอะไร$\Leftrightarrow$

1) BE NE$\Rightarrow$

ทิศทางของความหมายนี้อาจไม่มีข้อโต้แย้งเพราะเราเปลี่ยนจากความซับซ้อนเป็นแบบจำลองที่ง่ายกว่า "ทุก ๆ BE เป็น NE" ควรหมายความว่าถ้าเราดูที่กลยุทธ์ดุลยภาพของ BE เพียงอย่างเดียว (นั่นคือโดยไม่มีการสนับสนุนความเชื่อ ) มันควรจะเป็น NE หนึ่งสามารถตรวจสอบว่าเป็นกรณีนี้$p$

2) NEพ.ศ.$\Rightarrow$

นี่คือส่วนที่ยุ่งยาก มันหมายความว่า "ทุก ๆ NE เป็น BE"? ไม่แน่นอนว่า "NE บวกกับโปรไฟล์ความเชื่อใด ๆเป็น BE" ตามที่ OP แสดงพร้อมกับตัวอย่างเคาน์เตอร์ของเขา ยังเป็นกรณีที่ "NE ใด ๆ ที่สามารถทำ BE สำหรับความเชื่อบางอย่าง " ฉันคิดว่าในแง่นี้เราควรเข้าใจการเรียกร้อง "ความเท่าเทียม" ของออสบอร์น

โปรดสังเกตว่าเรายังมีคำสั่ง "คล้าย - คล้ายกันมากขึ้น" ต่อไปนี้: " ผลลัพธ์ของเกมคือผลลัพธ์ NE ถ้าหากมันเป็นผลลัพธ์ BE" เท่านั้น